现代控制理论(东大)第二章习题0922.doc

第二章知识点
u 状态空间表达式的建立：
物理机理直接建立；高阶微分方程转化；传递函数建立
u 组合系统的状态空间表达式：
并联；串联；反馈
u 线性变换：
变换矩阵的计算
u 离散时间系统的状态空间表达式
2.0 建立下图所示系统的状态空间表达式，其中为小车质量，为相应的弹簧系数，为相应小车的位移，为外力。（这里忽略摩擦阻尼）

1） 确定输入变量和输出变量。
输入变量：
输出变量：位移
2） 将小车弹簧系统分为2个子系统，根据牛顿第二定律（）分别写出微分方程。
首先对小车进行分析，得到如下微分方程
(1)
同理，对小车进行分析，可有
(2)
3） 根据上述2个子系统微分方程的阶次选择状态变量。
选取系统的状态变量为

将子系统的微分方程写成一阶微分方程组的形式，得系统的状态方程为

系统的输出方程为

最后写成矩阵形式，状态空间表达式可写为：

2.1有电路图如图所示，设输入为，输出为，试自选状态变量并列写出其状态变量表达式。
解： 系统如图

图
确定了输入输出变量，根据电路定律列写微分方程
设两端电压为，两端的电压为，则
(1)
(2)
根据微分方程的阶次选择状态变量
设状态变量为，，由式(1)和(2)得：

状态空间表达式为：

即:

□
2.2 建立图所示系统的状态空间表达式,其中，，为重物质量，为弹簧系数，为阻尼，为外力，设，分别为，的位移量。

图
解：确定输入量和输出量
令输入为输入量，，的位移量，为输出量，
根据牛顿定律列写微分方程
分别对重物，进行受力分析后，得到如下微分方程

根据上述2个子系统微分方程的阶次选择状态变量
选取状态变量，，，。连同代入上面两个式子，经整理得状态方程为：

输出方程为：

写成矩阵形式为：

2.4 如图所示的水槽系统。设水槽1的横截面积为，水位为；水槽2的横截面积为，水位为；设、、为各水管的阻抗时，推导以水位、作为状态变量的系统微分方程式。但是，输入是单位时间的流入量，、为输出，是单位时间由水槽的流出量。

图水槽系统
解：确定了单位时间的流入量为输入，单位时间由水槽的流出量、为输出量，
在水槽1，考虑时间增量内水量的进出。单位时间的流入量是输入和有两个水槽的水位差决定的水量，流出量是。（类似电压，电阻，电流的意义）
设水位的增量为，则水量的增量是，则单位时间内的水量增量为

同样，得到水槽2单位时间内的水位增量有如下关系。
，
设，则，，因此可有下列微分方程

输出方程为

设，，将上述微分方程组写成矩阵形式如下

□
化对角(约当)标准型的步骤
n 求取系统矩阵A的n个特征根和对应的特征向量
n 令
n 做变换
2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。
1)
解 ：
① 求特征值

② 求特征向量
、对于：(对应的特征向量满足)，故有

、对于：同理有

n ③ 构造，（令）求

,

得到对角形的状态方程为

2)
① 求特征值

② 求特征向量
、对于有：(，求解3阶方程组易得)

、对于有：

、对于有：

n ③ 构造，（令）求。

④ 求，

故

为所求。
□
2.15 试将下列状态方程化为约当标准形。

解：
① 求特征值：

② 求特征向量
、对于有：

、对于有：
由，有

由，有

③ 构造，（令）求。

④ 求，。

所求的约当标准形为

2.16 已知系统的状态空间表达式为

求其对应的传递函数。
解
，，，

（线性代数知识，设A=
所对应的行列式detA中元素aij的代数余子式矩阵为

则A-1=A＊=）

□
2.8 已知系统的微分方程
1) ；
2) ；
3) 。
试列写出它们的状态空间表达式。
解
1) 此题微分方程右边不含有输入函数导数，利用有高阶微分方程转化状态空间表达式的公式直接写出，

令，，，则有

状态空间表达式为：

2) 已知系统的微分方程（），利用由传递函数建立状态空间表达式的方法。
首先对微分方程取零初始条件下的拉氏变换，得到系统的传递函数后，再由传递函数求取状态空间表达式。本题利用直接法。
对微分方程取拉氏变换得

见教材中的公式(2.3.47a) 和(2.3.47b)

从而

3) 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程取零初试条件下的拉氏变换得：

于是可知对应状态空间表达式为