1、第二章知识点u 状态空间表达式的建立：物理机理直接建立；高阶微分方程转化；传递函数建立u 组合系统的状态空间表达式：并联；串联；反馈u 线性变换：变换矩阵的计算u 离散时间系统的状态空间表达式2.0 建立下图所示系统的状态空间表达式，其中为小车质量，为相应的弹簧系数，为相应小车的位移，为外力。（这里忽略摩擦阻尼）1） 确定输入变量和输出变量。输入变量：输出变量：位移2） 将小车弹簧系统分为2个子系统，根据牛顿第二定律（）分别写出微分方程。首先对小车进行分析，得到如下微分方程 (1)同理，对小车进行分析，可有 (2)3） 根据上述2个子系统微分方程的阶次选择状态变量。选取系统的状态变量为将子系统
2、的微分方程写成一阶微分方程组的形式，得系统的状态方程为 系统的输出方程为最后写成矩阵形式，状态空间表达式可写为：2.1有电路图如图所示，设输入为，输出为，试自选状态变量并列写出其状态变量表达式。解： 系统如图图确定了输入输出变量，根据电路定律列写微分方程设两端电压为，两端的电压为，则 (1) (2)根据微分方程的阶次选择状态变量设状态变量为，由式(1)和(2)得：状态空间表达式为：即: 2.2 建立图所示系统的状态空间表达式,其中，为重物质量，为弹簧系数，为阻尼，为外力，设，分别为，的位移量。 图解：确定输入量和输出量 令输入为输入量，的位移量，为输出量，根据牛顿定律列写微分方程 分别对重物，
3、进行受力分析后，得到如下微分方程根据上述2个子系统微分方程的阶次选择状态变量选取状态变量，。连同代入上面两个式子，经整理得状态方程为： 输出方程为： 写成矩阵形式为：2.4 如图所示的水槽系统。设水槽1的横截面积为，水位为；水槽2的横截面积为，水位为；设、为各水管的阻抗时，推导以水位、作为状态变量的系统微分方程式。但是，输入是单位时间的流入量，、为输出，是单位时间由水槽的流出量。 图水槽系统解：确定了单位时间的流入量为输入，单位时间由水槽的流出量、为输出量，在水槽1，考虑时间增量内水量的进出。单位时间的流入量是输入和有两个水槽的水位差决定的水量，流出量是。（类似电压，电阻，电流的意义）设水位的
4、增量为，则水量的增量是，则单位时间内的水量增量为同样，得到水槽2单位时间内的水位增量有如下关系。，设，则，因此可有下列微分方程输出方程为设，将上述微分方程组写成矩阵形式如下化对角(约当)标准型的步骤n 求取系统矩阵A的n个特征根和对应的特征向量n 令n 做变换2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。1) 解 ： 求特征值 求特征向量、对于：(对应的特征向量满足)，故有 、对于：同理有 n 构造，（令）求, 得到对角形的状态方程为2) 求特征值 求特征向量、对于有：(，求解3阶方程组易得)、对于有：、对于有：n 构造，（令）求。 求，故为所求。2.15 试将下列状态方程化为约当标准形。解： 求
5、特征值： 求特征向量、对于有：、对于有： 由，有由，有 构造，（令）求。 求，。所求的约当标准形为2.16 已知系统的状态空间表达式为求其对应的传递函数。解，（线性代数知识，设A=所对应的行列式detA中元素aij的代数余子式矩阵为则A-1=A=） 2.8 已知系统的微分方程1) ；2) ； 3) 。试列写出它们的状态空间表达式。解 1) 此题微分方程右边不含有输入函数导数，利用有高阶微分方程转化状态空间表达式的公式直接写出，令，则有状态空间表达式为：2) 已知系统的微分方程（），利用由传递函数建立状态空间表达式的方法。首先对微分方程取零初始条件下的拉氏变换，得到系统的传递函数后，再由传递函数求取状态空间表达式。本题利用直接法。对微分方程取拉氏变换得见教材中的公式(2.3.47a) 和(2.3.47b)从而3) 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程取零初试条件下的拉氏变换得：于是可知对应状态空间表达式为
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