椭圆双曲线抛物线特性总结.docx

椭圆方程

4、常用的公式及结论：
（1）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较其与、项分母的大小即可。若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上。
（2）对于椭圆的两种标准方程，都有，焦点都在长轴上，且a、b、c始终满足
5、直线与椭圆的位置关系
掌握直线与椭圆的位置关系，通过对直线方程与椭圆方程组成的二元二次方程组的解来讨论它们的位置关系。
（1）若方程组消元后得到一个一元二次方程，则根据Δ来讨论。
（2）对于直线与椭圆的位置关系，还可以利用“数形结合，以形助数”的方法来解决。

图形特征

几何性质
范围

顶点

焦点

准线

对称性

长短轴

离心率

焦半径

弦长公式：|AB|＝
若用k，y1及y2表示|AB|，则|AB|＝

标准方程
－＝1（a＞0，b＞0）
－＝1（a＞0，b＞0）
简图

中心
O（0，0）
O（0，0）
顶点
A1（－a，0），A2（a，0）
B1（0，a），B2（0，－a）
范围
|x|≥a
|y|≥a
焦点
F1（－c，0），F2（c，0）
F1（0，－c），F2（0，c）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
y＝±x
y＝±x
4. 焦半径公式
（1）当M（x0，y0）为－＝1右支上的点时，则|MF1|＝ex0＋a，|MF2|＝ex0－a。
（2）当M（x0，y0）为－＝1左支上的点时，|MF1|＝－（ex0＋a），|MF2|＝。
（3）当M（x0，y0）为－＝1上支上的点时，|MF1|＝ey0＋a，|MF2|＝ey0－a。
（4）当为下支上的点时，，
5. 常用的公式结论：
（1）对于双曲线的两种标准方程，a、b、c始终满足
（2）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法。首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值。应特别注意：
当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏。
已知渐近线的方程bx±ay＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ（λ≠0），再根据其他条件确定λ的值。若求得λ＞0，则焦点在x轴上，若求得λ＜0，则焦点在y轴上。
（3）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点的位置，防止将焦点坐标和准线方程写错。
（4）在解题过程中，应重视对双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量。
6. 直线与双曲线的位置关系
掌握直线与双曲线的位置关系，通过对直线方程与双曲线方程组成的二元二次方程组的求解来讨论它们的位置关系。
（1）若方程组消元后得到一个一元二次方程，则应根据Δ来讨论。
（2）对于直线与双曲线的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的方法来解决。
弦长公式：|AB|＝
若用k，y1及y2表示|AB|，则|AB|＝
1. 抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2. 抛物线的标准方程与几何性质
图形

标准
方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
焦点
坐标
（，0）
（－，0）
（0， ）
（0，－）
准线
方程
x=－
x=
y=－
y=
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
顶点
（0，0）
（0，0）
（0，0）
（0，0）
离心率
e=1
e=1
e=1
e=1
焦半径
｜PF｜=x0+
｜PF｜=－x0
｜PF｜=+y0
｜PF｜=－y0
参数p的几何
意义

参数p表示焦点到准线的距离，p越大，抛物线开口越阔。
对表格的说明：统观四种情况
（1）表示焦点F到准线的距离；
（2）抛物线的标准方程中若一次项是x，则对称轴为x轴，焦点在x轴上；若一次项是y，则对称轴为y轴，焦点在y轴上；（则对称轴看一次项）
（3）若标准方程中一次项前面的系数为正数，则抛物线开口方向为x轴或y轴的正方向；若一次项前面的系数为负数，则抛物线开口方向为x轴或y轴的负方向；（即符号决定抛物线开口方向）
（4）焦点坐标中横（纵）坐标的值是一次项系数的，准线方程中的数值是一次项系数的。
3. 直线与抛物线的位置关系
掌握直线与抛物线的位置关系，通过对由直线方程与抛物线方程组成的二元二次方程组的解来讨论它们的位置关系。
（1）若方程组消元后得到一个一元二次方程，则根据Δ的情况来讨论。
（2）判断直线与抛物线的位置关系时，还可以利用数形结合，以形助数的方法解决。
弦长公式：|AB|=
若用k，y1及y2表示|AB|，则|AB|=
4. 常用的结论
（1）抛物线方程的确定：先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程。
（2）解决有关抛物线的中点弦问题及弦长问题时与解决椭圆、双曲线一样，都可通过利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决。
（3）解决抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样，常用方法有轨迹法、代入法、定义法、参数法等，证明的方法是解析法。