概率论试题及答案.doc

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试卷一

一、填空（每小题2分，共10分）
１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。
２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。
３．已知互斥的两个事件满足，则___________。
４．设为两个随机事件，，，则___________。
５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。

二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）
1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（ ）。
(A) 取到2只红球 (B) 取到1只白球
(C) 没有取到白球 (D) 至少取到1只红球
2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ ）。
(A) 随机事件 (B) 必然事件
(C) 不可能事件 (D) 样本空间
3. 设A、B为随机事件，则（ ）。
(A) A (B) B
(C) AB (D) φ
4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。
(A) 与互斥 (B) 与不互斥
(C) (D)
5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
6. 设相互独立，则（ ）。
(A) (B)
(C) (D) 00/35)=(x/35)-(-x/35)=0.9JI
7.设是三个随机事件，且有，则（ ）。
(A) 0.1 (B) 0.6
(C) 0.8 (D) 00/35)=(x/35)-(-x/35)=0.9JI0.7
8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（ ）。
(A) p2(1– p)3 (B) 4 p (1– p)3
(C) 5 p 2(1– p)3 (D) 4 p 2(1– p)3
9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（ ）。
(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) – P (C) ≤ 1
(C) P (A) + P (B) – P (C) ≥ 1 (D) P (A) + P (B) ≤ P (C)
三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。
求取到的两个球颜色不同的概率。

2. 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。
求能打开门的概率。

3. 一间宿舍住有6位同学，
求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。

4. 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，
求至少取到一个次品的概率。

5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。
求该种零件的次品率。

6. 已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。
求该产品的一级品率。

7. 一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，
求其中确实没有次品的概率。

8. 某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9。现从该厂的产品中有放回地取5件来检验，
求其中最多有一件次品的概率。

四、证明题（共6分）
设， 。证明

试卷一
参考答案

一、填空
1. 或
2. 出现的点数恰为5
3.
与互斥
则
4. 0.6

故

5.
至少发生一个，即为
又由 得
故

二、单项选择
1．
2. A
3. A
利用集合的运算性质可得.
4．
与互斥

故
5．

故
6．
相互独立

7.

且

则

8.

9. B

10. B

故 P (A) + P (B) – P (C) ≤ 1
三、计算与应用题
1. 解：
设 表示“取到的两球颜色不同”，则
而样本点总数
故
2. 解：
设 表示“能把门锁打开”，则，而
故
3. 解：
设 表示“有4个人的生日在同一月份”，则
而样本点总数为
故
4. 解：
设 表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品”
则 包含的样本点数为。而样本点总数为
故
5. 解：
设 “任取一个零件为次品”
由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格，
则
于是
6. 解：
设 表示“产品是一极品”，表示“产品是合格品”
显然，则
于是
即 该产品的一级品率为
7. 解：
设 “箱中有件次品”，由题设，有，
又设 “该箱产品通过验收”，由全概率公式，有

于是

8. 解：
依题意，该厂产品的合格率为，
于是，次品率为
设 表示“有放回取5件，最多取到一件次品”
则

四、证明题
证明
， ，
由概率的性质知 则

又
且

故

试卷二

一、填空（每小题2分，共10分）
1. 若随机变量 的概率分布为 ，，则__________。
2. 设随机变量 ，且 ，则__________。
3. 设随机变量 ,则 __________。
4. 设随机变量 ，则 __________。
5. 若随机变量的概率分布为

则 __________。

二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)
1. 设 与 分别是两个随机变量的分布函数，为使 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。
(A) (B)
(C) (D) 　　　
2. 设随机变量的概率密度为，则（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。
(A) (B)
(C) (D)
4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。
(A) (B)
(C) (D)
5. 设随机变量的概率密度为，，则的概率密度为（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
6. 设服从二项分布，则（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
7. 设，则（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
8．设随机变量的分布密度为 , 则（ ）。
(A) 2 (B) 1
(C) 1/2 (D) 4
9．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（ ）。
(A) 二项分布 (B) 指数分布
(C) 正态分布 (D) 泊松分布
10．设为服从正态分布的随机变量，则 ( )。
(A) 9 (B) 6
(C) 4 (D) -3

三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
1. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。
求抽取次数的概率分布。

2. 车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。
求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？
（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？

3. 某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为

求（1）常数；
（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。

4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。
求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；
（2），使电池寿命在内的概率不小于0.9。

5. 设随机变量。
求 概率密度。

6. 若随机变量服从泊松分布，即，且知。
求 。

7. 设随机变量的概率密度为。
求 和。

8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
求（1）的概率分布；
（2）。

四、证明题（共6分）
设随机变量服从参数为2的指数分布。
证明：在区间上，服从均匀分布。

试卷二
参考答案
一、填空
1. 6
由概率分布的性质有
即 ，
得 。
2.
，则

3. 0.5

4.

5. 0.25
由题设，可设

即

0
1

0.5
0.5
则

二、单项选择
1. ()
由分布函数的性质，知
则 ，经验证只有满足，选
2. ()
由概率密度的性质，有
3. ()
由概率密度的性质，有
4. ()
由密度函数的性质，有
5. ()
是单减函数，其反函数为 ，求导数得
由公式，的密度为
6. ()
由已知服从二项分布，则
又由方差的性质知,
7. ()

于是
8. (A) 由正态分布密度的定义,有

9. (D)

∴如果时,只能选择泊松分布.
10. (D)
∵ X为服从正态分布N (-1, 2), EX = -1
∴ E(2X - 1) = -3
三、计算与应用题
1. 解：
设为抽取的次数
只有个旧球,所以的可能取值为：
由古典概型，有

则

1
2
3
4

2. 解：
设 表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，
，于是
（1）的最可能值为 ，即概率达到最大的
（2）

3. 解：
（1）由 可得
（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作”，则

而
故
4. 解：

（1）

（查正态分布表）

（2）由题意

即 查表得 。
5. 解:
对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，
又由题设知
故由公式知：
6. 解:
，则
而
由题设知
即
可得
故
查泊松分布表得，

7. 解:
由数学期望的定义知,
而
故
8. 解:
（1）的可能取值为且由题意,可得

即

0
1
2
3

（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有

四、证明题
证明：
由已知 则

又由 得 连续，单调，存在反函数
且
当时， 则
故

即

试卷三
一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分）
1. 设二维随机变量的联合分布律为，

则 __________，__________.
2. 设随机变量和相互独立，其概率分布分别为，

则 __________.
3. 若随机变量与相互独立，且，，
则 服从__________分布.
4. 已知与相互独立同分布，且

则 __________.
5. 设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有
__________.

二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)
1. 若二维随机变量的联合概率密度为 ，则系数（ ）.
(A) (B)
(C) (D)
2. 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则下列结论正确的是（ ）.
(A) (B)
(C) (D)
3. 设随机向量(X , Y)的联合分布密度为, 则（ ）.
(A) (X , Y) 服从指数分布 (B) X与Y不独立
(C) X与Y相互独立 (D) cov(X , Y) ≠0
4. 设随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（ ）.
(A) (B)
(C) (D)
5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布, 且
, 则下列各式中成立的是（ ）.
(A) (B) (C) (D)
6．设随机变量的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（ ）.
(A) (B)
(C) (D)
7. 若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数（ ）.
(A) (B) (C) (D)
8. 设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（ ）.
(A)
(B)
(C)
(D)
9. 设是个相互独立同分布的随机变量，，
则对于，有（ ）.
(A) (B)
(C) (D)
10. 设,为独立同分布随机变量序列，且Xi ( i = 1,2,…)服从参数为λ的指数分布，正态分布N ( 0, 1 ) 的密度函数为, 则（ ）.

三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
1. 将2个球随机地放入3个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表示有球的盒子个数.
求二维随机变量的联合概率分布.
2. 设二维随机变量的联合概率密度为

（1）确定的值；
（2）求 .
3. 设的联合密度为

（1）求边缘密度和；
（2）判断与是否相互独立.
4. 设的联合密度为

求的概率密度.
5. 设，，且与相互独立.
求（1）的联合概率密度；
（2）；
（3）.
6. 设的联合概率密度为

求及.
7. 对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5.
求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.
8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.
问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.
四、证明题（共6分）
设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零.

试卷三
参考解答
一、填空
1.
由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得

2.

3.
相互独立的正态变量之和仍服从正态分布
且，
，
∴
4.

5.

二、单项选择
1. (B)
由
即
∴选择(B).

2. (B)
由题设可知，
故将标准化得

∴选择(B).
3. (C)

∴选择(C).
4. (C)
∵随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布, 则

∴选择(C).
5. (A)

∴选择(A).
6. (A)
∵由期望的性质知

∴选择(A).
7. (D)

∴选择(D).
8. (B)
与不相关的充要条件是
即
则
∴选择(B).
9. (C)

∴选择(C).
10. (A)
Xi ( i = 1,2,…)服从参数为λ的指数分布，则

故

∴选择(A).
三、计算与应用题
1. 解
显然的可能取值为；的可能取值为
注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有

即 的联合分布律为

2. 解
（1）由概率密度的性质有

可得
（2）设，则

3. 解
（1）

即

即 ，
（2）当时

故随机变量与不相互独立.
4. 解
先求的分布函数显然，随机变量的取值不会为负，因此
当 时，，
当 时，

故 的概率密度为

5. 解
（1） 与相互独立
的联合密度为

（2）

（3）

6. 解

于是
由对称性

故

.
7. 解
设 表示第次炮击命中目标的炮弹数，
由题设，有 ，
则次炮击命中目标的炮弹数 ，

因 相互独立，同分布，则由中心极限定理知
近似服从正态分布
于是

8. 解
设应检查个产品，其中次品数为，则由题设，
这里，可以认为较大，则由棣莫弗—拉普拉斯定理知，
近似服从正态分布
依题意，有
即
亦即
查表得
故至少应检查个产品，才能达到题设要求.

四、证明题
证
由协方差的定义及数学期望的性质，得

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