高等代数(北大版)第7章习题参考答案.doc

第七章 线性变换

1．  判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）  在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；
2）  在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；
3）  在P中，A；
4）  在P中，A；
5）  在P[]中，A ；
6）  在P[]中，A其中P是一固定的数；
7）  把复数域上看作复数域上的线性空间， A。
8）  在P中，AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵.
解 1)当时,是;当时,不是。
2)当时,是;当时,不是。
3)不是.例如当,时,A, A,
A A(。
4)是.因取,有
A= A
=
=
= A+ A，
A A

= A，
故A是P上的线性变换。
5) 是.因任取,并令
则
A= A===A+ A，
再令则A AA，
故A为上的线性变换。
6)是.因任取则.
A=AA，
AA。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)kA(a)。
8)是，因任取二矩阵，则A(A+A，
A(k)=A，故A是上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A=B=C=E,ABBA,AB=BA，并检验(AB)=AB是否成立。
解 任取一向量a=(x,y,z)，则有
1) 因为
Aa=(x,-z,y), Aa=(x,-y,-z)，Aa=(x,z,-y), Aa=(x,y,z)，
Ba=(z,y,-x), Ba=(-x,y,-z)，Ba=(-z,y,x), Ba=(x,y,z)，
Ca=(-y,x,z), Ca=(-x,-y,z)，Ca=(y,-x,z), Ca=(x,y,z)，
所以A=B=C=E。
2) 因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，
所以ABBA。
3)因为AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，
所以AB=BA。
3) 因为(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，AB(a)=(-x,-y,z)，
所以(AB)AB。
3.在P[x] 中，AB，证明:AB-BA=E。
证 任取P[x]，则有
(AB-BA)=AB-BA=A(-B(=-=
所以 AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AB-BA=A (k>1)。
证 采用数学归纳法。当k=2时
AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2ª，结论成立。
归纳假设时结论成立，即AB-BA=A。则当时，有
AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+AA=A。
即时结论成立.故对一切结论成立。
5.证明：可逆变换是双射。
证 设A是可逆变换，它的逆变换为A。
若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A，有a=b，这与条件矛盾。
其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令Ab=a即可。因此,A是一个双射。
6.设,,,是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A,A,,A线性无关。
证 因A(,,,)=(A,A,,A)=(,,,)A，
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关，故A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关.。
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1) 第1题4)中变换A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；
2) [o; ,]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对的垂直投影，求A,B,AB在基,下的矩阵；
3) 在空间P[x]中，设变换A为，
试求A在基= (I=1,2,,n-1)下的矩阵A；
4) 六个函数 =ecos,=esin，=ecos,=esin，
=ecos,=esin，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基(i=1,2,,6)下的矩阵；
5) 已知P中线性变换A在基=(-1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,1)下的矩阵是，求A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；
6) 在P中，A定义如下：
，
其中
，
求在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；
7) 同上，求A在,,下的矩阵。
解 1) A=(2,0,1)=2+，A=(-1,1,0)=-+，A=(0,1,0)= ，
故在基,，下的矩阵为。
2）取=（1，0），=（0，1），则A=+，A=+，
故A在基，下的矩阵为A=。
又因为B=0，B=，所以B在基，下的矩阵为B=，另外，（AB）=A（B）=A=+，
所以AB在基，下的矩阵为AB=。
3）因为 ，
所以A，
A，

A
={}
=，
所以A在基,,,下的矩阵为A=。
4）因为 D=a-b,
D=b-a,，
D=+a-b,
D=+b+a,
D=+a-b,
D=+b+a，
所以D在给定基下的矩阵为D=。
5）因为(,,)=(,，)，所以
(,，)=(,,)=(,,)X，
故A在基,，下的矩阵为
B=XAX==。
6）因为(,,)=(,，)，
所以A(,,)=A(,，),
但已知A(,,)=(,，)，
故A(,，)=(,，)
=(,，)
=(,，)。
7）因为(,，)=(,,)，
所以A(,,)=(,,)
=(,,)。
8．在P中定义线性变换A(X)=X, A(X)=X, A(X)= X, 求A, A, A在基E, E, E, E下的矩阵。
解 因 AE=a E+cE, AE=a E+c E,
AE=bE+dE, AE= bE+d E,
故A在基E, E, E, E下的矩阵为A=。
又因AE=a E+b E, AE= cE+dE,
AE= aE+bE, AE= cE+d E,
故A在基E, E, E, E下的矩阵为A=。
又因AE= aE+abE+acE+bcE，
AE= acE+adE+cE+cdE，
AE= abE+bE+adE+bdE，
AE = bcE+bdE+cdE+dE，
故A在基E, E, E, E下的矩阵为。
9.设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为
A=，
1) 求A在基下的矩阵；
2) 求A在基下的矩阵，其中且；
3) 求A在基下的矩阵。
解 1)因A=+a，
A=，
A=，
故A在基下的矩阵为。
2)因 A=+，
A(k)=++，
A=+()+，
故A在下的矩阵为 。
3)因 A()=()()+()+()，
A=()+()+，
A=()+()+，
故A基下的矩阵为。
10. 设A是线性空间V上的线性变换，如果A0,但A=0，求证：
,A, A(>0)线性无关。
证 设有线性关系，
用A作用于上式,得
A=0(因A对一切n均成立)，
又因为A0,所以,于是有
，
再用A作用之,得 A=0.再由,可得=0.同理,继续作用下去,便可得
,
即证,A, A(>0)线性无关。
11.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量使得A，求证A在某组下的矩阵是 。
证 由上题知, ,A,A, A线性无关，故,A,A, A为线性空间V的一组基。又因为A A+ A，
A(A)=+ A+ A+ A，
……………………………
A（A）=+ A+ A + A ，
故A在这组基下的矩阵为
。
12． 设V是数域P上的维线性空间，证明：与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。
证 因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。
13. A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果A在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。
证 设A在基下的矩阵为A=()，只要证明A为数量矩阵即可。设X为任一非退化方阵，且
()=()X，
则也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是，从而有AX=XA，这说明A与一切非退化矩阵可交换。
若取
，
则由A=A知=0(ij)，即得
A=，
再取
=
由A=A，可得
。
故A为数量矩阵，从而A为数乘变换。
14.设,是四维线性空间V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为
，
1) 求A在基,下 的矩阵；
2) 求A的核与值域；
3) 在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵；
4) 在A的值域中选一组基, 把它扩充为V的一组基, 并求A在这组基下的矩阵。
解 1)由题设,知
()=(,)，
故A在基下的矩阵为
B==
=。
2) 先求A(0).设 A(0)，它在,下的坐标为(,)，且A
在,下的坐标为(0,0,0,0,)，则
=。
因rank(A)=2，故由
，
可求得基础解系为X=,X=。
若令=(,)X，=(,)X，
则即为A(0)的一组基，所以
A(0)=。
再求A的值域AV。因为
A=，
A=，
A=，
A=，
rank(A)=2，故A ,A, A, A的秩也为2，且A ,A线性无关，故A ,A可组成AV的基，从而AV=L(A ,A)。
4) 由2)知是A(0)的一组基，且知, 是V的一组基，又
(, a, a)=(,)，
故A在基, 下的矩阵为
B= =。
4) 由2)知A=, A=
易知A, A,是V的一组基，且
(A, A,)=(,)，
故A在基A, A,下的矩阵为
C=
=。
15. 给定P的两组基
，
定义线性变换A:
A=(=1,2,3)，
1) 写出由基到基的过度矩阵；
2) 写出在基下的矩阵；
3) 写出在基下的矩阵。
解 1)由()=()X，引入P的一组基=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1)，则
()=(,,)=(,,)A，
所以
()=(,,)=(,,)B=(,,)AB，
故由基到基的过度矩阵为
X= AB==。
2)因
A()=()=()，
故A在基下的矩阵为
A=。
4) 因A()=A()X=()X，
故A在基下的矩阵仍为X.。
16.证明
与相似，其中()是1,2,的一个排列。
证 设有线性变换A，使
A==D，
则A(,)=(,)=(,)D，
于是D与D为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵,故
与相似。
17.如果A可逆,证明AB与BA相似。
证 因A可逆,故A存在，从而A(AB)A=( AA)BA=BA，所以AB与BA相似。
18.如果A与B相似，C与D相似，证明：。
证 由已知，可设B=XAX, D=YCY，则=，
这里=，故与相似。
19.求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量.已知A在一组基下的矩阵为：
1)A= 2)A= 3)A= 4)A=
5)A= 6)A= 7)A=
解 1)设A在给定基,下的矩阵为A，且A的特征多项式为
==-5-14=()()，故A的特征值为7，-2。
先求属于特征值=7的特征向量。解方程组，它的基础解系为，因此A的属于特征值7的全部特征向量为k (k)，其中=+。
再解方程组，它的基础解系为，因此A的属于特征值-2的全部特征响向量为k(k)，其中=4-5。
2)设A在给定基,下的矩阵为A，且当a=0时，有A=0，所以==，
故A的特征值为==0。解方程组，它的基础解系为,，因此A的属于特征值0的两个线性无关特征向量为=，=，故A以V的任一非零向量为其特征向量。
当a0时，==+=()()，故A 的特征值为=， = -。
当=时，方程组的基础解系为，故A 的属于特征值的全部特征向量为k(k)，其中=-+。
当= -时，方程组的基础解系为，故A 的属于特征值-的全部特征向量为 (k)，其中=+。
3)设A在 给定基,,,下的矩阵为A，因为=()()，故A的特征值为==。
当时,相应特征方程组的基础解系为X，故A 的属于特征值2的全部特征向量为 ++ (k不全为零)，其中=+，=+，=+。
当时，特征方程组的基础解系为X，故A 的属于特征值-2的全部特征向量为 (k)，其中=--。
4） 设A 在给定基下的矩阵为A，因
==()()()，
故A的特征值为=2，=1+，1-。
当=2时, 方程组的基础解系为，故A 的属于特征值2的全部特征向量为 (k)，其中=-。
当=1+时, 方程组的基础解系为，故A 的属于特征值1+的全部特征向量为 (k)，其中=-+(2)。
当=1-时, 方程组的基础解系为，故A 的属于特征值1的全部特征向量为 (k)，其中=-+(2)。
5) 设A 在给定基下的矩阵为A，因
==()()，
故A的特征值为。
当，方程组的基础解系为，故A的属于特征值1的全部特征向量为，其中,。
当时，方程组的基础解系为，故A的属于特征值-1的全部特征向量为，其中。
6) 设A 在给定基下的矩阵为A，因
==，
故A的特征值为。
当时，方程组的基础解系为，故A的属于特征值0的全部特征向量为，其中。
当时，该特征方程组的基础解系为，故A的属于特征值的全部特征向量为，其中。
当时，该特征方程组的基础解系为，故A的属于特征值的全部特征向量为，其中。
7) 设A 在给定基下的矩阵为A，因
==()()，
故A的特征值为。
当，该特征方程组的基础解系为，故A的属于特征值1的全部特征向量为，其中。
当，该特征方程组的基础解系为，故A的属于特征值-2的全部特征向量为，其中。
20.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过度矩阵T，并验算TAT。
解 已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是有n个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T。
1) 因为() ，所以过渡矩阵T=，
TAT==。
。
，T=，
TAT=。
3)因为()=()，过渡矩阵T=，
TAT=。
4)因为(=(，
过渡矩阵T=，T。
5)因为 (=()，过渡矩阵 T=，
。
6)因为 (,
即过渡矩阵为 T=,
且T。
21.在P[x](n>1)中,求微分变换D的特征多项式，并证明D在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵。
解 取P[x]的一组基1,x,，则D在此基下的矩阵为
D=，
从而，
故D的特征值是重)，且D的属于特征值0的特征向量只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是1，它小于空间的维数n，故D在任一组基下的矩阵都不可能是对角形。
22.设 A=，求A。
解:因为(，
故A的特征值为，且A的属于特征值1的一个特征向量为X，A的属于特征值5的一个特征向量为X，A的属于特征值-5 的一个特征向量为X 。
于是只要记T=(X，则 T，
且 B。
于是A
= 。
23.设是四维线性空间V的一个基,线性变换A在这组基下的矩阵为
A。
1) 求A的基，，，下的矩阵；
2) 求A的特征值与特征向量；
3) 求一可逆矩阵T,使T成对角形。
解 1)由已知得(，
故求得A在基下的矩阵为
B=X。
2) A 的特征多项式为，
所以A的特征值为。
A的属于特征值的全部特征向量为，其中不全为零，且

。
A的属于特征值的全部特征向量为，其中 ，且
+6。
A的属于特征值的全部特征向量为,其中，且
。
3）因为
（，
所求可逆阵为 T=，且 T为对角矩阵。
24.1)设是线性变换A的两个不同特征值，是分别属于的特征向量，证明：不是A的特征向量；
2)证明:如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数乘变换。
证 1)由题设知A, A, 且，
若是A的特征向量，则存在使
A（）==，
A（）==，
即 。
再由的线性无关性，知，即，这是不可能的。
故不是A的特征向量。
2）设V的一组基为，则它也是A的n个线性无关的特征向量，故存在特征值 使
A 。
由1）即知。由已知，又有A ，即证A是数乘变换。
25.设V是复数域上的n维线性空间，A，B是V上的线性变换，且AB=BA.，证明：
1) 如过是A的一个特征值，那么是B的不变子空间；
2) A，B至少有一个公共的特征向量。
证 1)设，则A，于是由题设知
A(B)=B(A)=B((B)，
故B，即证是B的不变子空间。
3) 由1)知是B的不变子空间，若记B|=B，则B也是复数域上线性空间的一个线性变换，它必有特征值使BB=B (B,且B)，
显然也有A(B)= B，故B即为A与B的公共特征向量。
26. 设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换A在基下的矩阵是一若当块。证明：
1) V中包含的A-子空间只有V自身；
2) V中任一非零A-子空间都包含；
3) V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。
证 1)由题设,知
A()=()，
即，
设W为A-子空间,且W,则W， 进而有
WW，
WW，
………………………………….
W，
故W=L{}=V。
2)设W为任一非零的A-子空间,对任一非零向量W,有

不妨设,则A
=()+()+…+
=W
于是 W
同理可得 W，…，W
从而W，即证V中任一非零的A-子空间W都包含。
3）设WW是任意两个非平凡的A-子空间，则由2）知
W且W,
于是WW，故V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。
27．求下列矩阵的最小多项式：
, 2)
解 1)设，因为A-E=0，A的零化多项式，但
A-E,A+E，故A的最小多项式为。
2)因为，所以A的最小多项式为之一,代入计算可得A的最小多项式为。
二 补充题参考解答
1. 设A,B是线性变换, A= A, B=B证明:
1) 如果(A+B) =A+B那么AB=0;
2) 如果, AB=BA那么(A+B-AB)=A+B-AB.
证 1)因为A= A, B=B, (A+B) =A+B
由(A+B) =(A+B) (A+B)= A +AB+BA+ B,
故A+B= A +AB+BA+ B,
即AB+BA=0.
又2AB=AB+AB=AB-BA= AB-BA= AB+ABA= A (AB+BA)= A0=0
所以AB=0.
2) 因为A= A, B=B, AB=BA
所以(A+B-AB)= (A+B-AB) (A+B-AB)
= A+BA- AB A+ AB+ B- AB-AB-BAB +ABAB
= A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB
= A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB
= A+B- AB。
2. 设V是数域P上维线性空间,证明:由V的全体变换组成的线性空间是维的。
证 。
V的全体线性变换与同构,故V的全体线性变换组成的线性空间是维的。
3. 设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
1) 在中有一次数的多项式,使;
2) 如果,那么,这里；
3) A可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式。
证 1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是维的，所以+1个线性变换A,A,、、、,A,E，一定线性相关,即存在一组不全为零的数使
A+A+A+E=0，
令,
且。
这就是说，在中存在一次数的多项式,使。即证。
2)由题设知因为，
所以=0。
3)必要性.由1)知,在中存在一次数的多项式,使。即
A+A+A+E=0，
若即为所求。若，

A+A+A+E=0， A可逆，故存在，
得A+A+…+E=0
令++…+，即为所求。
充分性.设有一常数项不为零的多项式
使，
即，
所以，
于是，
又，
故A可逆。
4. 设A是线性空间V上的可逆线性变换。
1) 证明: A的特征值一定不为0；
2) 证明:如果是的A特征值，那么是的特征值。
证 1)设可逆线性变换A对应的矩阵是A,则矩阵A可逆,A的特征多项式为
，A可逆 ,故。
又因为A的特征值是的全部根，其积为,故A的特征值一定不为0。
2)设是的A特征值,那么存在非零向量,使得。
5.设A是线性空间V上的线性变换，证明；A的行列式为零的充要条件是A以零作为一个特征值。
证:设线性变换A矩阵为A,则 A的特征值之积为。
必要性，设,则A的特征值至少有一个为零,即一另为一个特征值。
充分性，设A有一个特征值,那么。
6. 设A是一个n阶下三角矩阵，证明：
1) 如果,那么A相似于一对角矩阵；
2) 如果，而至少有一，那么A不与对角矩阵相似。
证：1)因为A的多项式特征是
=，
又因，
故A有n个不同的特征值，从而矩阵A一定可对角化，故A似于对角矩阵。
2)假定
A=与对角矩阵B=相似，
则它们有相同的特征值,因为A的特征多项式
=，
所以,
由于 B==是数量矩阵，它只能与自身相似，故A不可能与对角矩阵相似。
7.证明:对任一复系数矩阵A ,存在可逆矩阵T,使
证:存在一组基,使与矩阵A相应的线性变换A在该基下的矩阵成若尔当标准形J，且
，
，
若过度矩阵为P，则
，
重排基向量的次序，使之成为一组新基，则由新基到旧基的过渡矩阵为
Q=，其中B=，
于是 )=)，
故在此新基下的矩阵即为上三角形

即存在可逆矩阵T=PQ,使成上三角形。
8. 如果是线性空间V的两两不同的线性变换，那么在V中必存在向量,使也两两不同。
证 令
V ()，
因为，故`非空。
又因为两两不同,所以对于每两个而言,总存在一个向量,使，故是V的非空真子集。
设，于是，即。
又，于是，故是V的真子空间。
1)如果都是V的非平凡子空间,在V中至少有一个向量不属于所有的,设则
()，
即证: 存在向量使两两不同。
2)如果{}中有的平凡子空间，则只能是零空间。对于这种,只要取，就有,故这样的可以去掉。因而问题可归于1),即知也存在向量使两两不同。
。
证 因为是设的维数
为r,的维数为s.
今在中取一组基把它扩充成的一组基,
则=，
且线性无关，所以。
10.设：
()()+。
证 在 A,B,则线性变换AB。
因为,A,B,AB的秩,所以对于矩阵A,B,AB有(AB)(A)+，
故对于,
()()+。
11.设：
1)；
2) 。
证1)必要性，若
，
于是，。同理可证 。
充分性，若,,任取
，于是，同理可证,故。
2)必要性.若对任意,作向量,因为
()=-=0，
所以
又(=，
所以，由的任意性，故有。
作向量,则=，
所以。
又。
充分性，若
，知。
同理可证，即证。