万有引力定律知识点(含答案).pdf

万有引力定律万有引力定律一、开普勒行星运动定律开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。内容内容图示图示备注备注第一定律(轨道定律)所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个公共焦点上行星运动的轨道必有近日点和远日点第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等行星靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小，近日点速度最大，远日点速度最小。第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等表达式k.a3T2K 值只取决于中心天体的质量通常椭圆轨道近似处理为圆轨道也适于用卫星绕行星的运动二、万有引力定律及其应用1内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比2表达式：，G为引力常量：G6.671011 Nm2/kg2.221rmmGF 3适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离三、环绕速度1第一宇宙速度又叫环绕速度 得：7.9 km/s.rmvrMmGmg212gRrGMv1第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度第二宇宙速度(脱离速度)：v211.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度(逃逸速度)：v316.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度特别提醒:(1)两种周期自转周期和公转周期的不同(2)两种速度环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度(3)两个半径天体半径R和卫星轨道半径r的不同四、近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题1近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较比较内容比较内容赤道表面的物体赤道表面的物体近地卫星近地卫星同步卫星同步卫星向心力来源万有引力的分力万有引力向心力方向指向地心重力与万有引力的关系重力略小于万有引力重力等于万有引力v11Rv2GMRv33(Rh)GMRh线速度v1v3v2(v2为第一宇宙速度)1自2GMR33自GMRh3角速度132a1 R2 1a2 R2 2GMR2a3(Rh)2 3 GMRh2向心加速度a1a3a2五、天体的追及相遇问题两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a 卫星的角速度为 a，b 卫星的角速度为 b，若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近(如图甲所示)。当它们转过的角度之差，即满足 atbt 时，两卫星第一次相距最远（如图乙所示）。图甲 图乙当它们转过的角度之差 2，即满足 atbt2 时，两卫星再次相距最近。经过一定的时间，两星又会相距最远和最近。1.两星相距最远的条件：atbt(2n1)(n0,1,2，)2.两星相距最近的条件：atbt2n(n1,2,3)3.常用结论：（1）同方向绕行的两天体转过的角度或（n=0、1、2、）时n2|21nTtTt21表明两物体相距最近。（2）反方向转动的天体转过的角度或（n=0、1、2、）时表n2|21nTtTt21明两物体相遇或相距最近。考点一考点一天体质量和密度的计算天体质量和密度的计算1解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即marmvrTmrmrMmG2222)2(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即（g表示天体表2RMmGmg 面的重力加速度)在行星表面重力加速度：，所以2RMmGmg 2RMGg 在离地面高为h的轨道处重力加速度：，得2)(hRMmGgm2)(hRMGg2天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于，故天体质量2RMmGmg GgRM2天体密度：GRgVM43(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.由万有引力等于向心力，即，得出中心天体质量；rTmrMmG22)2(2324GTrM若已知天体半径R，则天体的平均密度3233RGTrVM若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体23GTVM 的密度3.黄金代换公式：GMgR2 例 1.(多选)如图，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则()Av1v2v3Bv1v3v2Ca1a2a3 Da1a3a2【答案】BD例 2.（多选）“嫦娥二号”探月卫星于 2010 年 10 月 1 日成功发射，目前正在月球上方 100km的圆形轨道上运行。已知“嫦娥二号”卫星的运行周期、月球半径、月球表面重力加速度、万有引力恒量G。根据以上信息可求出：（）A卫星所在处的加速度 B月球的平均密度C卫星线速度大小 D卫星所需向心力【答案】ABC例 3.（多选）2014 年 11 月 1 日早上 6 时 42 分，被誉为“嫦娥 5 号”的“探路尖兵”载人飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥 5 号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间 t(t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为 s，航天器与月球的中心连线扫过角度为，引力常量为 G，则：（）A航天器的轨道半径为 B航天器的环绕周期为st2 C月球的质量为 D月球的密度为23Gts224Gt3【答案】BC例 4.（多选）若宇航员在月球表面附近自高 h 处以初速度 v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为 L已知月球半径为 R，万有引力常量为 G则下列说法正确的是：（）A月球表面的重力加速度 B月球的质量2022hvgL月22022hR vmGL月C月球的第一宇宙速度 D月球的平均密度2ovvhRL2232ohvGL【答案】ABC【解析】平抛运动的时间再根据 h=gt2得，得，故 A 正确；由与0Ltv122022hvgL月2GmgR月月，可得：故 B 正确；第一宇宙速度：，解2022hvgL月22022hR vmGL月2022 vhvg RRL月得故 C 正确；月球的平均密度，故 D 错误；故选 ABC.02vvhRL202234332mhvGR LR月【名师点睛】解决本题的关键知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力这两个理论的运用。考点二考点二卫星运行参量的比较与运算卫星运行参量的比较与运算1卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，marmvrTmrmrMmG2222)2(2卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 减小增大减小减小增大时当半径aTvrrGMaGMrTrGMrGMv2332例 5.据报道，2016 年 2 月 18 日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来”，嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自 2013 年 12 月 14 日月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月工作最长记录。假如月球车在月球表面以初速度竖直上抛出0v一个小球，经时间 t 后小球回到出发点，已知月球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是：（）A、月球表面的重力加速度为0vtB、月球的质量为20vGtRC、探测器在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动02v RtD、探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为0Rtv【答案】C【名师点睛】根据竖直上抛求得月球表面的重力加速度，再根据重力与万有引力相等和万有引力提供卫星圆周运动向心力分析求解是关键 例 6.某卫星发射中心在发射卫星时，首先将该卫星发射到低空轨道 1，待测试正常后通过点火加速使其进入高空轨道 2，已知卫星在上述两轨道运行时均做匀速圆周运动，假设卫星的质量不变，在两轨道上稳定运行时的动能之比为。如果卫星在两轨道的向心加速1:4:21kkEE度分别用、表示，角速度分别用、表示，周期分别用、表示，轨道半径分别1a2a121T2T用、表示。则下列比例式正确的是：（）2r A：=41 B：=211a2a12C：=18 D：=121T2T2r【答案】C【解析】在两轨道上稳定运行时的动能之比为，则根据可得1:4:21kkEE212kEmv，根据公式可得，所以轨道 1 和轨道 2 的半径之比为12:2:1vv 22MmvGmrrGMvr，根据公式可得，故：=161，根据公式12:1:4r r 2MmGmar2MaGr1a2a可得可得：=81，根据公式可得：=18，22MmGmrr3GMr122 rvT1T2T故 C 正确；【名师点睛】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清222224MmvrGmmrmmarrT楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算例 7.（多选）假设若干年后，由于地球的变化，地球半径变小，但地球质量不变，地球的自转周期不变，则相对于现在：（）A地球表面的重力加速度变大B发射一颗卫星需要的最小发射速度变大C地球同步卫星距离地球表面的高度变大D地球同步卫星绕地球做圆周运动的线速度变大【答案】ABC【名师点睛】地球表面物体的重力在不考虑地球自转的影响时，就等于地球对物体的万有引力，由此可得，可知不同高度出的g值关系；同步卫星的特点是在赤道所在平面，周2rMmGmg 期与地球自转周期相同，应用的模型是同步卫星绕地球做匀速圆周运动。考点三考点三宇宙速度宇宙速度 卫星变轨问题的分析卫星变轨问题的分析1第一宇宙速度v17.9 km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度 2第一宇宙速度的两种求法：(1)，所以rmvrMmG212rGMv 1(2)，所以.rmvmg21gRv 13.当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：(1)当卫星的速度突然增加时，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离rmvrMmG22心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时减小rGMv(2)当卫星的速度突然减小时，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做rmvrMmG22近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时增大rGMv 4.处理卫星变轨问题的思路和方法（1）要增大卫星的轨道半径，必须加速；（2）当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大5.卫星变轨问题的判断：(1)卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大(2)卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小(3)圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同.6.特别提醒:“三个不同”（1）两种周期自转周期和公转周期的不同（2）两种速度环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度（3）两个半径天体半径 R 和卫星轨道半径 r 的不同例 8.（多选）“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近，在距月球表面 200km 的p点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭圆轨道绕月飞行，如图所示。之后，卫星在p点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面 200km 的圆形轨道上绕月球做匀速圆周运动。用 T1、T2、T3分别表示卫星在椭圆轨道、和圆形轨道上运动的周期，用a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到p点的加速度，用v1、v2、v3分别表示卫星沿三个轨道运动到p点的速度，用F1、F2、F3分别表示卫星沿三个轨道运动到p点时受到的万有引力，则下面关系式中正确的是：（）A.a1=a2=a3 B.v1v2v3 C.T1T2T3 D.F1=F2=F3【答案】ACD例 9.（多选）2015 年 12 月 10 日，我国成功将中星 1C 卫星发射升空，卫星顺利进入预定转移轨道。如图所示是某卫星沿椭圆轨道也能地球运动的示意图，已知地球半径为 R，地球表面重力加速度 g，卫星远地点 P 距地心 O 的距离为 3R，则：（）A、卫星在远地点的速度小于33gRB、卫星经过远地点时的速度最小C、卫星经过远地点时的加速度小于9gD、卫星经过远地点时加速，卫星有可能再次经过远地点【答案】ABD【解析】若卫星以半径为 3R 做匀速圆周运动，则，在根据，整理22(3)3GMmvmRR2GMgR可以得到，由于卫星到达远地点 P 后做椭圆运动，故在 P 点速度小于，故33gRv 33gR选项 A 正确；根据半径与速度的关系可以知道，半径越大则速度越小，故远地点速度最小，故选项 B 正确；根据，则在远地点，故选项 C 错误；卫2(3)GMmmRg2()GMmmgR9gg星经过远地点时加速，则可以以半径为 3R 做匀速圆周运动，则可以再次经过远地点，故选项 D 正确。【名师点睛】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，以及知道变轨的原理，当万有引力小于向心力，做离心运动，当万有引力大于向心力，做近心运动 例 10.（多选）火星探测已成为世界各国航天领域的研究热点现有人想设计发射一颗火星的同步卫星若已知火星的质量 M，半径 R0，火星表面的重力加速度 g0自转的角速度 0，引力常量 G，则同步卫星离火星表面的高度为：（）A B C D 2003020g RR200320g R3020GMR320GM【答案】AC考点三考点三双星系统模型问题的分析与计算双星系统模型问题的分析与计算1双星系统模型的特点：(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等(2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；(3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即 r1r2L.2双星系统模型的三大规律：(1)双星系统的周期、角速度相同(2)轨道半径之比与质量成反比(3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关3.解答双星问题应注意“两等”“两不等”双星问题的“两等”：它们的角速度相等；双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的“两不等”：双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离；由m12r1m22r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等例 11.2015 年 7 月 14 日，“新视野”号太空探测器近距离飞掠冥王星冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，同时绕它们连线上的 O 点做匀速圆周运动O 点到冥王星的距离为两者连线距离的八分之一，下列关于冥王星与卡戎的说法正确的是：（）A质量之比为 81 B向心力大小之比为 17 C角速度大小之比为 17 D线速度大小之比为 17【答案】D【名师点睛】由于双星和它们围绕运动的中心点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，角速度相等，周期也必然相同例 12.2015 年 9 月 14 日，美国的 LIGO探测设施接收到一个来自 GW150914 的引力波信号，此信号是由两个黑洞的合并过程产生的。如果将某个双黑洞系统简化为如图所示的圆周运动模型，两黑洞绕O点做匀速圆周运动。在相互强大的引力作用下，两黑洞间的距离逐渐减小，在此过程中，两黑洞做圆周运动的：（）A周期均逐渐增大B线速度均逐渐减小C角速度均逐渐增大D向心加速度均逐渐减小【答案】C例 13.宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕两球 心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离不断缓慢增加，双星系统仍视为做匀速圆周运动，则下列说法正确的是：（）A双星相互间的万有引力保持不变 B双星做圆周运动的角速度均增大C双星做圆周运动的加速度均减小 D双星做圆周运动的周期均减小【答案】C例 14某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过 N 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题图所示。该行星与地球的公转半径比为A B C D231()NN23()1NN 321()NN32()1NN【答案】B【解析】由题意每过 N 年地球比行星多运动一周,即,1行地TNTN再结合开普勒第三定律有,B 正确。CRT323232)1-()(NNTTRR地行地行