8.7-距离改化公式.doc

测绘数据处理
§8.7 距离改化公式
椭球体上有两点及其大地线S，
在高斯投影面上的投影为，s是一条曲线，而连接两点的直线为D。
由S化至D所加的改正称为距离改正。
一般情况下高斯投影的长度比恒大于1，则有 。为求S与D的关系，先研究平面曲线长度s与其弦线长度D的关系；然后研究用大地坐标B、L和平面坐标x、y计算长度比m的公式；最后导出距离改化的计算公式。
8.7.1s与D的关系
设是弦上的微分线段，
表示弧线上的微分线段，它们的夹角为，则有
因此
由于是一个小角，最大不会超过方向改化值，因此可把展开为级数：
于是有
(8-117)
式中用的最大值代替。
已是二次项，D与s之差是四次项微小量。当取最大40//,s=50KM时，代入上式得，化算为相对中误差为。所以，对现有测量方法这个误差可忽略不计，完全可以认为大地线的平面投影曲线长度s等于其弦线长度D。
8.7.2长度比和长度变形
长度比m是指椭球面上某一点的微分元素，与其投影面上的相应的微分元素之比，即

由于长度比恒大于1，故称为长度变形。
1.用大地坐标表示的长度比公式
由（8-22）式第二式得
(8-118)
偏导数见(8-78)

将上式代入(8-118)得

再根据近似公式

得

(8-121)
实用时一般取至二次项，在带的边缘及低纬度处，有时用到项。
2.用平面坐标表示的长度比公式
在(8-121)式中如果能将用x,y表达，即可求得用平面坐标表示的长度比公式。利用正算公式(8-42)2式，
(8-42)2
级数回求公式，若
则
这里，，，，
求得
（忽略六次项）
（忽略六次项）
代入(8-121)式得
(8-125)

分析(8-121)(8-125)式：
①m随点的位置(B,L)或(x,y)而异，但在一点上与方向无关；
②当y=0 (或l=0)时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的m都等于1，即中央子午线投影后长度不变；
③当时，由于m是y（或l）的偶函数，且各项都为“+”号，故m恒大于1，即除中央子午线外其它投影后都变长了；
④长度变形（m-1）与成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变形愈大。
⑤在同一纬线上，即B=常数，长度变形（m-1）随l的增大而增大。
⑥在同一经线上，即l=常数，长度变形（m-1）随B的减少而增大，在赤道处(B=0)为最大。

8.7.3距离改化公式
长度比定义
由前面的分析知可用弦线来代替大地线的描写形，
积分之，
上式中长度比随点的位置而变，但当投影区域不大时，m的变化很缓慢，例如当y=300km，P1和P2两点的纬差达一度时，两点长度比之差小于4×10-7，因此用近似积分的方法而仍可得到较高的精度。现按辛普生近似积分公式，并且只把区间 分成两段，每段长s/2

又按式(8-125)

代入，并用代替对计算影响可忽略不计，
可认为中点处
又

又因项已是很微小，故完全可以作以下替换，

代入得大地线S归算到高斯平面上直线距离D的公式，
（8-133）
当S<70km,<350km(带的边缘) 计算精度小于0.001m，对于一
等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去项，对于三四等边长的归算又可再略去项。

84