资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列说法正确的是( )
A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．相似多边形对应边的比等于相似比
B．相似多边形对应角平线的比等于相似比
C．相似多边形周长的比等于相似比
D．相似多边形面积的比等于相似比
3．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，∠C90°．若AB3，BC1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
6．如图， AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
7．若反比例函数y= 的图象经过点（2，﹣1），则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
8．已知⊙O的半径为5，若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法判断
9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )
A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D．n mile
10．抛物线y＝﹣x2+1向右平移2个单位长度，再向下平移3个长度单位得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+4 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣2
C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝﹣（x+2）2﹣2
11．下面是“育”“才”“水”“井"四个字的甲骨文，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列函数，当时，随着的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知x=1是一元二次方程x²+ax+b=0的一个根，则代数式a²+b²+2ab的值是____________.
14．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出______个．
15．已知，二次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是________．
16．如图，已知四边形ABCD是菱形，BC∥x轴，点B的坐标是(1，)，坐标原点O是AB的中点.动圆⊙P的半径是，圆心在x轴上移动，若⊙P在运动过程中只与菱形ABCD的一边相切，则点P的横坐标m 的取值范围是_________．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝4，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是_____（保留π）．
18．已知，P为等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则S△ABC＝_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m).
（1）求k、m的值；
（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N.
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.
21．（8分）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
（1）a＝_____；b＝_____；c＝_____；
（2）填空：（填“甲”或“乙”）．
①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是_____；
②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是_____；
③成绩相对较稳定的是_____．
22．（10分）解下列方程：
（1）（y﹣1）2﹣4＝1；
（2）3x2﹣x﹣1＝1．
23．（10分）如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为1．
（1）求k的值；
（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
24．（10分）如图所示，请画出这个几何体的三视图．
25．（12分）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图1摆放，点D为AB边的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，且BC=2.
（1）求证：△ADC∽△APD；
（2）求△APD的面积；
（3）如图2，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，过点的双曲线与矩形的边交于点．
(1)求双曲线的解析式以及点的坐标；．
(2)若点是抛物线的顶点；
①当双曲线过点时，求顶点的坐标；
②直接写出当抛物线过点时，该抛物线与矩形公共点的个数以及此时的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定方法一一判断即可；
【详解】A、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项不符合题意；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意；
C、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故本选项不符合题意；
D、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形、正方形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．
2、D
【分析】根据相似多边形的性质判断即可．
【详解】若两个多边形相似可知：①相似多边形对应边的比等于相似比；
②相似多边形对应角平线的比等于相似比
③相似多边形周长的比等于相似比，
④相似多边形面积的比等于相似比的平方，
故选D．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比相等、应面积的比等于相似比的平方．
3、D
【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答
【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，
分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是D．
故选D．
【点睛】
本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.
4、A
【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，
∴sinA=.
故选A.
5、A
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=64°，
∴∠BOD=2∠A=128°.
故选A.
6、C
【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出∠COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出∠DOB=∠COB，最后即可得出答案.
【详解】∵∠A=20°，
∴∠COB=2∠A=40°，
∵CD⊥AB，OC=OD，
∴∠DOB=∠COB=40°，
∴∠COD=∠DOB+∠COB=80°.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
7、A
【解析】把点（1，-1）代入解析式得-1=，
解得k=-1．
故选A．
8、B
【解析】比较OP与半径的大小即可判断.
【详解】，，
，
点P在外，
故选B．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内.
9、D
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【详解】过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=1．
在Rt△ACD中，cos∠ACD=，
∴CD=AC•cos∠ACD=1×．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD=30，
∴AB=AD+BD=30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
10、B
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝﹣x2+1向右平移2个单位长度所得的抛物线的解析式为：y＝﹣(x﹣2)2+1．
再向下平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝﹣(x﹣2)2﹣2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
11、C
【解析】根据中心对称图形与轴对称图形的区别判断即可，轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合,关键抓两点：一是沿某直线折叠,二是两部分互相重合；中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,关键也是抓两点：一是绕某一点旋转,二是与原图形重合．
【详解】解：A.不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C.是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【点睛】
本题考查的知识点是轴对称图形与中心对称图形的判断，熟记二者的区别是解题的关键.
12、D
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出当x＞0时，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【详解】在y＝2x＋1中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
在中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
在中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
在y＝−x2−2x＝−（x＋1）2＋1中，当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断出当x＞0时，y随x的增大如何变化．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】把x=1代入x2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴12+a+b=0，
∴a+b=﹣1.
∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1.
14、4
【解析】试题分析：如图，能画4个,分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以C为圆心,CA为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形；以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形．因此最多能画出4个
考点：作图题．
15、
【分析】直接利用函数图象与x轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】解：如图所示，图象与x轴交于（-1，0），（1，0），
故当y＜0时，x的取值范围是：-1＜x＜1．
故答案为：-1＜x＜1．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确数形结合分析是解题关键．
16、或或或
【分析】若⊙P在运动过程中只与菱形ABCD的一边相切，则需要对此过程分四种情况讨论，根据已知条件计算出m的取值范围即可．
【详解】解：由B点坐标(1，)，及原点O是AB的中点可知AB=2，直线AB与x轴的夹角为60°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD=2，
设DC与x轴相交于点H，则OH=4，
（1）当⊙P与DC边相切于点E时，连接PE，如图所示，
由题意可知PE=，PE⊥DC，∠PHE=60°，
∴PH=2，
∴此时点P坐标为(-6,0)，所以此时．
（2）当⊙P只与AD边相切时，如下图，
∵PD=，∴PH=1，
∴此时，
当⊙P继续向右运动，同时与AD，BC相切时，PH=1，所以此时，
∴当时，⊙P只与AD相切；
，
（3）当⊙P只与BC边相切时，如下图，
⊙P与AD相切于点A时，OP=1，此时m=-1，
⊙P与AD相切于点B时，OP=1，此时m=1，
∴当，⊙P只与BC边相切时；
，
（4）当⊙P只与BC边相切时，如下图，
由题意可得OP=2，
∴此时．
综上所述，点P的横坐标m 的取值范围或或或．
【点睛】
本题考查圆与直线的位置关系，加上动点问题，此题难度较大，解决此题的关键是能够正确分类讨论，并根据已知条件进行计算求解．
17、4．
【分析】连接AD，分别求出△ABC和扇形AMN的面积，相减即可得出答案.
【详解】解：连接AD，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°，BD＝CD＝，
∴AB＝2AD，由勾股定理知BD2+AD2＝AB2，
即+AD2＝（2AD）2
解得AD＝2，
∴△ABC的面积＝，
扇形MAN得面积＝，
∴阴影部分的面积＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是圆中求阴影部分的面积，解题关键在于知道阴影部分面积等于三角形ABC的面积减去扇形AMN的面积，要求牢记三角形面积和扇形面积的计算公式.
18、
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，则△BPE为等边三角形，得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，延长BP，作AF⊥BP于点F，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数，在Rt△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在Rt△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
∴∠APF＝30°，
∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝．
∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12．
∴△ABC的面积＝AB2＝（25+12）＝；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
三、解答题（共78分）
19、（1），；（2）平均数为12元；（3）学生的捐款总数为7200元.
【分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是，由众数的定义即可得出结果；
（2）由加权平均数公式即可得出结果；
（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．
【详解】（1）本次调查的样本容量是，这组数据的众数为元；
故答案为，；
（2）这组数据的平均数为（元）；
（3）估计该校学生的捐款总数为（元）．
【点睛】
此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．
20、 (1) k的值为3，m的值为1；（2）0<n≤1或n≥3.
【解析】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．
详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，
∴m=3-2=1，
∴A（3，1），
将A（3，1）代入y=，
∴k=3×1=3，
m的值为1.
（2）①当n=1时，P（1，1），
令y=1，代入y=x-2，
x-2=1，
∴x=3，
∴M（3，1），
∴PM=2，
令x=1代入y=，
∴y=3，
∴N（1，3），
∴PN=2
∴PM=PN，
②P（n，n），
点P在直线y=x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，
M（n+2，n），
∴PM=2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∴0＜n≤1或n≥3
点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．
21、（1）7，7.5，4.2；（2）①乙，②乙；③甲
【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的定义分别计算即可解决问题；
（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲，从方差来看，乙的方差大于甲，所以甲的成绩相对较稳定.
【详解】解：（l）a＝（5+2×6+4×7+2×8+9）＝7（环），
b＝（7+8）＝7.5（环），
c＝ [（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（10﹣7）2+（9﹣7）2]
＝4.2（环2）；
故答案为：7，7.5，4.2；
（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲，乙的方差大于甲．
①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是：乙；
②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是乙；
③成绩相对较稳定的是：甲．
故答案为：乙，乙，甲．
【点睛】
本题考查了条形统计图、折线统计图、平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22、（1）y1＝3，y2＝﹣1；（2）x1＝，x2＝．
【分析】（1）先移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）（y﹣1）2﹣4＝1，
（y﹣1）2＝4，
y﹣1＝±2，
y＝±2+1，
y1＝3，y2＝﹣1；
（2）3x2﹣x﹣1＝1，
a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞1，
x＝，
x1＝，x2＝．
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用直接开方法和公式法解一元二次方程是解决此题的关键．
23、（1）k=-1； （2）x＜﹣2或0＜x＜2．
【解析】试题分析：(1)过点A作AD垂直于OC,由,得到,确定出△ADO与△ACO面积,即可求出k的值; (2)根据函数图象,找出满足题意x的范围即可.
解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，
∵AC=AO，
∴CD=DO，
∴S△ADO=S△ACD=6，
∴k=-1；
（2）根据图象得：当y1＞y2时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．
24、见解析.
【解析】根据三视图的画法解答即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】
本题考查几何体的三视图画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
25、 (1)见解析;(2) ;(3) 不会随着α的变化而变化
【解析】（1）先判断出△BCD是等边三角形，进而求出∠ADP=∠ACD，即可得出结论；
（2）求出PH，最后用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）只要证明△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明．
【详解】（1）证明：∵△ABC是直角三角形，点D是AB的中点，
∴AD=BD=CD，
∵在△BCD中，BC=BD且∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∴∠ACD=90°－∠BCD=30°，
∠ADE=180°－∠BDC－∠EDF=30°，
在△ADC与△APD中，∠A=∠A，∠ACD=∠ADP，
∴△ADC∽△APD.
（2）由（1）已得△BCD是等边三角形，∴BD=BC=AD=2，
过点P作PH⊥AD于点H，
∵∠ADP=30°=90°－∠B=∠A，
∴AH=DH=1， tanA=，
∴PH=.
∴△APD的面积=AD·PH=
（3）的值不会随着α的变化而变化.
∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠MPD=∠BCD=60°，
在△MPD与△NCD中，∠MPD=∠NCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，
∴△MPD∽△NCD，∴，
由（1）知AD=CD，∴，
由（2）可知PD=2AH，∴PD=，
∴．
∴的值不会随着α的变化而变化.
【点睛】
属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积等，综合性比较强，对学生综合能力要求较高.
26、（1），；（2）①；②三个，
【分析】（1）将C点坐标代入求得k的值即可求得反比例函数解析式，将代入所求解析式求得x的值即可求得E点坐标；
（2）①将抛物线化为顶点式，可求得P点的横坐标，再根据双曲线解析式即可求得P点坐标；②根据B点为函数与y轴的交点可求得t的值和函数解析式，再根据函数的对称轴，与x轴的交点坐标即可求得抛物线与矩形公共点的个数．
【详解】解:(1)把点代入，得，
∴
把代入，得，
∴；
(2)①∵抛物线
∴顶点的横坐标，
∵顶点在双曲线上，
∴，
∴顶点，
②当抛物线过点时，
，解得，
抛物线解析式为，
故函数的顶点坐标为，对称轴为，与x轴的交点坐标分别为
所以它与矩形在线段BD上相交于和，在线段AB上相交于，即它与矩形有三个公共点，此时．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式和求二次函数解析式，二次函数的性质．在求函数解析式时一般该函数有几个未知的常量就需要代入几个点的坐标，本题（2）（3）中熟练掌握二次函数一般式，交点式，顶点式三种表达式之间的互相转化是解决此题的关键．
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