资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．把同一副扑克牌中的红桃2、红桃3、红桃4三张牌背面朝上放在桌子上，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，A为反比例函数y=的图象上一点，AB垂直x轴于B，若S△AOB=2，则k的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．1
3．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )
A． B． C． D．2
6．在中，点在线段上，请添加一个条件使，则下列条件中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为
A．3：4 B．4：3
C．：2 D．2：
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，AB＝5，则BC的长为（ ）
A．5sin25° B．5tan65° C．5cos25° D．5tan25°
9．若，设，，，则、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数在下列（ ）范围内，y随着x的增大而增大．
A． B． C． D．
11．已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF=EF，②BF=，③AF=，④S△MEF=中正确的是
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
12．如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1,2)，B(3,3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（ ）
A．(2,-1) B．(1,-2) C． (-2,1) D． (-2,-1)
二、填空题（每题4分，共24分）
13．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为___．
14．已知在中，，，，那么_____________.
15．将二次函数化成的形式为__________．
16．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m．
17．如图，在中，，于，已知，则__________．
18．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为__________s．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某中学举行“中国梦，我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题.
（1）参加比赛的学生共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定分别从本次比赛中获利A、B两个等级的学生中，各选出1名学生培训后搭档去参加市中学生演讲比赛，已知甲的等级为A，乙的等级为B，求同时选中甲和乙的概率.
20．（8分）如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=，D是BC的中点．
小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任取一点E，连接EB．将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F，连接BF，小明发现：随着点E在线段AD上位置的变化，点F的位置也在变化，点F可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）如图2，当点F在直线AD上时，连接CF，猜想直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．
（2）若点F落在直线AD的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？
（3）当点E在线段AD上运动时，直接写出AF的最小值．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一动点，抛物线(是常数，且过点，与轴交于两点，点在点左侧，连接，以为边做等边三角形，点与点在直线两侧．
（1）求B、C的坐标；
（2）当轴时，求抛物线的函数表达式；
（3）①求动点所成的图像的函数表达式；
②连接，求的最小值．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中A点的坐标为（8，y），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，反比例函数y=的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若函数y=3x与y=的图象的另一支交于点M，求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比．
24．（10分）若边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，记旋转角为a．
（I）如图1，当a＝60°时，求点C经过的弧的长度和线段AC扫过的扇形面积；
（Ⅱ）如图2，当a＝45°时，BC与D′C′的交点为E，求线段D′E的长度；
（Ⅲ）如图3，在旋转过程中，若F为线段CB′的中点，求线段DF长度的取值范围．
25．（12分）元旦游园活动中，小文，小美，小红三位同学正在搬各自的椅子准备进行“抢凳子”游戏，看见李老师来了，小文立即邀请李老师参加，游戏规则如下：将三位同学的椅子背靠背放在教室中央，四人围着椅子绕圈行走，在行走过程中裁判员随机喊停，听到“停”后四人迅速抢坐在一张椅子上，没有抢坐到椅子的人淘汰，不能进入下一轮游戏.
（1）下列事件是必然事件的是 .
A．李老师被淘汰 B．小文抢坐到自己带来的椅子
C．小红抢坐到小亮带来的椅子 D．有两位同学可以进入下一轮游戏
（2）如果李老师没有抢坐到任何一张椅子，三位同学都抢坐到了椅子但都没有抢坐到自己带来的椅子（记为事件），求出事件的概率，请用树状图法或列表法加以说明.
26．解方程或计算
（1）解方程：3y(y-1)=2(y-1)
（2）计算：sin60°cos45°＋tan30°．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
∵共有6种等可能的结果，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的有4种情况，
∴从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为：；故选：D．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
2、A
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
【详解】由于点A是反比例函数图象上一点,则S△AOB=|k|=2；
又由于函数图象位于一、三象限，则k=4.
故选A.
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义．
3、A
【解析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为，
故选A．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
4、A
【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
【详解】连接AC，如图，
∵BC是的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
故选A．
【点睛】
本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．
5、A
【解析】解：在直角△ABD中，BD=2，AD=4，则AB=，
则cosB=．
故选A．
6、B
【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【详解】解：如图，
在中，∠B的夹边为AB和BC，
在中，∠B的夹边为AB和BD，
∴若要，
则，即
故选B.
【点睛】
此题主要考查的是相似三角形的判定，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
7、C
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：2.
故选C
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比．
8、C
【分析】在Rt△ABC中，由AB及∠B的值，可求出BC的长．
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，AB＝5，
∴BC＝AB•cos∠B＝5cos25°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形及其应用是解题的关键．
9、B
【分析】根据，设x=1a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可．
【详解】解：∵，设x=1a，y=7a，z=5a，
∴=，
==1，
==1．
∴A＜B＜C．
故选：B．
【点睛】
本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键．
10、C
【分析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x的取值范围.
【详解】，
∵图像的对称轴为x=1，a=-1，
∴当x时，y随着x的增大而增大，
故选：C.
【点睛】
此题考查二次函数的性质，当a时，对称轴左减右增.
11、D
【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出的长，再利用相似三角形的性质求出△BMF的面积即可
【详解】解: ∵AG=AE, ∠FAE=∠FAG=45°,AF=AF,
∴△AFE △AFG,
∴EF=FG
∵DE=BG
∴EF=FG=BG+FB=DE+BF故①正确
∵BC=CD=AD=4，EC=1
∴DE=3，设BF=x，则EF=x+3,CF=4-x,
在Rt△ECF中，（x+3）2=（4-x）2+12
解得x=
∴BF= ,AF= 故②正确，③错误，
∵BM∥AG
∴△FBM~△FGA
∴
∴S△MEF=，故④正确，
故选D．
【点睛】
本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题
12、A
【解析】先找出对应点，再用线段顺次连接作出图形，根据图形解答即可.
【详解】如图，
.
故选A.
【点睛】
本题考查了轴对称作图及中心对称作图，熟练掌握轴对称作图及中心对称的性质是解答本题的关键，中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、2020.
【分析】把x=m代入方程计算即可求解．
【详解】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，
则原式＝2019+1＝2020，
故答案为2020.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
14、1
【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【详解】∵cotB=，
∴AC= =3BC=1．
故答案是：1．
【点睛】
此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．
15、
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
所以．
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：为常数)；
(2)顶点式：；
(3)交点式(与轴)：．
16、1
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
【详解】解：在中，当y=0时，
整理得：x2-8x-20=0，
（x-1）（x+2）=0，
解得x1=1，x2=-2（舍去），
即该运动员此次掷铅球的成绩是1m．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
17、
【分析】根据，可设AC=4x，BC=5x，利用勾股定理可得AB=3x，则.
【详解】在Rt△ABC中，
∵
∴设AC=4x，BC=5x
∴
∴
故答案为：.
【点睛】
本题考查求正切值，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.
18、1
【解析】根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．则t==1s，
故答案为1．
三、解答题（共78分）
19、（1）20，72，1;（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，用360°乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得m的值；
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）根据题意得：3÷15%=20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为×360°=72°；
C级所占的百分比为×100%=1%，
故m=1，
故答案为：20，72，1．
（2）等级B的人数为20-（3+8+4）=5（人），
补全统计图，如图所示：
（3）列表如下：
乙
B
B
B
B
甲
甲、乙
甲、B
甲、B
甲、B
甲、B
A
A、乙
A、B
A、B
A、B
A、B
A
A、乙
A、B
A、B
A、B
A、B
所有等可能的结果有15种，同时选中甲和乙的情况有1种，
所以同时选中甲和乙的概率为．
【点睛】
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
20、（1），证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF的最小值为1
【分析】（1）结合题意，根据旋转的知识，得， ，再根据三角形内角和性质，得；结合AB=AC=1，D是BC的中点，推导得，即可完成解题；
（2）由（1）可知：EB=EF=EC，得到B，F，C三点共圆，点E为圆心，得∠BCF=∠BEF=10°，从而计算得，完成求解；
（3）由（1）和（2）知，CF∥AB，因此得点F的运动路径在CF上；故当点E与点A重合时，AF最小，从而完成求解.
【详解】（1）∵将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F
∴，
∴ ，即
∵AB=AC=1，D是BC的中点
∴,
∴，
∴，
∴
∴
∴
（2）如图，连接BE、EC、BF、EF
由（1）可知：EB=EF=EC
∴B，F，C三点共圆，点E为圆心
∴∠BCF=∠BEF=10°
∵，
∴
∴
∴，（1）中的结论仍然成立
（3）由（1）和（2）知，
∴点F的运动路径在CF上
如图，作AM⊥CF于点M
∵
∴点E在线段AD上运动时，点B旋转不到点M的位置
∴故当点E与点A重合时，AF最小
此时AF1=AB=AC=1，即AF的最小值为1．
【点睛】
本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解．
21、（1）、；（2）；（3）①；②．
【分析】（1），令，则或4，即可求解；
（2）当轴时，则，则，故点，即可求解；
（3）构造一线三垂直相似模型由，则，解得：，，故点，，即可求解．
【详解】解：（1）当时，即，
解得或4，
故点、的坐标分别为：、；
（2）∵等边三角形，
∴，
∴当轴时，，
∴，故点，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（3）①如图，过点作于点，过点作轴的垂线于点，过点作轴交轴于点交于点，
为等边三角形，
∴点为的中点， ，
∴点，，
，，
，
，
，其中，，
解得：，，故点，，
即动点所成的图像的函数满足 ，
∴动点所成的图像的函数表达式为：．
②由①得点，，
∴，
故当时，的最小值为，即的最小值为．
【点睛】
本题考查了二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似等，其中（3）构造一线三直角模型，用三角形相似的方法求解点的坐标，是本题的难点．
22、（1）详见解析；（2）AC＝．
【分析】（1）由，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明即可解决问题；
（2）在中只要证明即可解决问题.
【详解】（1），E为AD的中点
，即
四边形BCDE是平行四边形
四边形BCDE是菱形；
（2）如图，连接AC
，AC平分
在中，
.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理与性质、菱形的判定定理、角平分线的定义、正弦三角函数值、直角三角形的性质，熟记各定理与性质是解题关键.
23、y=；
【解析】试题分析：（1）先根据锐角三角函数的定义，求出OA的值，然后根据勾股定理求出AB的值，然后由C点是OA的中点，求出C点的坐标，然后将C的坐标代入反比例函数y=中，即可确定反比例函数解析式；
（2）先将y=3x与y=联立成方程组，求出点M的坐标，然后求出点D的坐标，然后连接BC，分别求出△OMB的面积，△OBC的面积，△BCD的面积，进而确定四边形OCDB的面积，进而可求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比．
试题解析：（1）∵A点的坐标为（8，y），∴OB=8，∵AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，
∴，∴OA=10，由勾股定理得：AB=，
∵点C是OA的中点，且在第一象限内，∴C（4，3），∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴k=12，∴反比例函数解析式为：y=；
（2）将y=3x与y=联立成方程组，得：，
解得：，，
∵M是直线与双曲线另一支的交点，∴M（﹣2，﹣6），∵点D在AB上，∴点D的横坐标为8，
∵点D在反比例函数y=的图象上，∴点D的纵坐标为，∴D（8，），∴BD=，
连接BC，如图所示，∵S△MOB=•8•|﹣6|=24，S四边形OCDB=S△OBC+S△BCD=•8•3+=15，
∴．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
24、（I）12π；（Ⅱ）D′E＝6﹣6；（Ⅲ）1﹣1≤DF≤1+1．
【分析】（Ⅰ）根据正方形的性质得到AD＝CD＝6，∠D＝90°，由勾股定理得到AC＝6，根据弧长的计算公式和扇形的面积公式即可得到结论；
（Ⅱ）连接BC′，根据题意得到B在对角线AC′上，根据勾股定理得到AC′＝＝6，求得BC′＝6﹣6，推出△BC′E是等腰直角三角形，得到C′E＝BC′＝12﹣6，于是得到结论；
（Ⅲ）如图1，连接DB，AC相交于点O，则O是DB的中点，根据三角形中位线定理得到FO＝AB′＝1，推出F在以O为圆心，1为半径的圆上运动，于是得到结论．
【详解】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，
∴AC＝6，
∵边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，
∴∠CAC′＝60°，
∴的长度＝＝2π，线段AC扫过的扇形面积＝＝12π；
（Ⅱ）解：如图2，连接BC′，
∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，
∴B在对角线AC′上，
∵B′C′＝AB′＝6，
在Rt△AB′C′中，AC′＝＝6，
∴BC′＝6﹣6，
∵∠C′BE＝180°﹣∠ABC＝90°，∠BC′E＝90°﹣45°＝45°，
∴△BC′E是等腰直角三角形，
∴C′E＝BC′＝12﹣6，
∴D′E＝C′D′﹣EC′＝6﹣（12﹣6）＝6﹣6；
（Ⅲ）如图1，连接DB，AC相交于点O，
则O是DB的中点，
∵F为线段BC′的中点，
∴FO＝AB′＝1，
∴F在以O为圆心，1为半径的圆上运动，
∵DO＝1，
∴DF最大值为1+1，DF的最小值为1﹣1，
∴DF长的取值范围为1﹣1≤DF≤1+1．
【点睛】
本题考查了旋转的综合题，正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（Ⅲ）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹．
25、（1）D；（2）图见解析，
【分析】（1）根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义求解可得；
（2）根据题意画出树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：（1）、王老师被淘汰是随机事件；、小明抢坐到自己带来的椅子是随机事件；
、小红抢坐到小亮带来的椅子是随机事件；、共有3张椅子，四人中只有1位老师，所以一定有2位同学能进入下一轮游戏；故是必然事件.
故选：；
（2）解：设小文，小美，小红三位同学带来的椅子依次排列为a、b、c，
画树状图如下
由树状图可知，所有等可能结果共有6种，其中第4种、第5种结果符合题意，
∴P（A）＝.
【点睛】
此题考查了概率和用树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
26、（1）y1=1 , y2=;（2）
【分析】（1）先移项，再用提公因式法解方程即可；
（2）将三角函数的对应值代入计算即可.
【详解】（1）3y(y-1)=2(y-1)，
，
（3y-2）（y-1）=0，
y1=1 , y2=；
（2）sin60°cos45°＋tan30°，
，
=.
【点睛】
此题考查计算能力，（1）是解方程，解方程时需根据方程的特点选择适合的方法使计算简便；（2）是三角函数值的计算，熟记各角的三角函数值是解题的关键.
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