衡水中学2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题.doc

衡水中学2013届高三第二次模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 共120分钟
一、 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.设,，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3.已知等比数列满足，则（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243
4.已知向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，
则它的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
6.若(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．120
7. 设集合，如果方程（）至少有一个根，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ）
A.6 B.8 C. 9 D.10
8.如图，ABCD是边长为l的正方形，O为AD的中点，抛物线的顶点为O且通过点C，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9.设,函数的图像向右平移个单位
后与原图像重合，则的最小值是（ ）
A . B. C. D.3
10.点P到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（ ）
A. B. C.或 D. 或
11. 从点出发的三条射线两两成角，且分别与球相切于三点，若球的体积为，则两点之间的距离为( )
A. B. C.1.5 D. 2
12.已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D.
第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知，则=
14. 在约束条件 下,过点的线性目标函数取得最大值10,则线性目标函数
___ （写出一个适合题意的目标函数即可）；

15. 四棱锥的三视图如右图所示,四棱锥
的五个顶点都在一个球面上，、分别是
棱、的中点，直线被球面所截得的线段长
为，则该球表面积为 .

16. 已知等差数列的首项及公差都是整数，前项和为，若，设的结果为 。
三.解答题（共6个小题，共70分）
17.（本题满分10分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中及图中的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.

18、（本题满分12分）已知为锐角，且，函数，数列{}的首项.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）求数列的前项和

19.（本题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角；
（Ⅲ）设点在棱上， ,若∥平面，求的值.

20.（本题满分12分）已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点F重合.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）直线经过点与椭圆相交于A、B两点，与抛物线相交于C、D两点．求的最大值．

21. （本题满分12分）给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程.
（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点，求证：为定值.

22. （本题满分12分）设函数
（Ⅰ）当时，求函数的最大值；
(Ⅱ)令，（）其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅲ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

2012～2013学年度高三年级二模考试
数学试卷（理科）

4.【考察目标】考察向量的概念、向量的几何意义，以及平面向量的线性运算和向量的数量积的运算及其几何意义，考察学生运用平面向量处理有关长度、角度问题的能力，考察数形结合的数学思想。
【解题思路】 解法1：，

解法2：数形结合方法
【答案】B
5.【考察目标】本题考查双曲线的概念，标准方程和几何性质，综合考察运算求解能力。
【解题思路】 解法1：设，则
解法2：,根据双曲线的定义知，
【答案】A
6．【考察目标】考察学生运用二项式定理解决与二项展开式系数有关问题的能力
【解题思路】解：因为(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，即为2n=64,n=6,那么展开式中常数项就是x的幂指数为0的项，即为20.
【答案】B
7.【考察目标】考察分类计数原理和分步计数原理，以及运用其解决简单的实际问题的能力，设置A为四元素集，减少分类的类型，把两个原理的考察放在了中心位置。
【解题思路】 解法1：当时，则都可以，共4种；
当时，则即，则，，共2种；
当时，则即，则，共2种
当时，则即，则，共1种；
【答案】C
8.【考察目标】考查定积分的基本思想和微积分的基本定理的含义，考察考生运用数学知识解决实际问题的能力。
【解题思路】.以O为圆心，以OD为y轴建立直角坐标系，抛物线的方程为，.
【答案】C
9.【考察目标】考察三角函数的图像和性质，了解三角函数的周期性。
【解题思路】将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为，所以有=2k,即，又因为，所以k≥1,故≥，
【答案】C
10.【考察目标】考察抛物线的概念，标准方程和几何性质，考察数形结合思想，考察圆锥曲线的简单运用。
【解题思路】解法一：点P在抛物线上，设,则有=，化简得, 当时, 符合题意；当时，∆=0,有,，则。
解法二：由题意有点P在抛物线上，B在直线y=2上,当时,B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，
【答案】D
11.【考察目标】考察学生对空间结合体的结构特征，考察考生空间想象能力。
【解题思路】 过圆心做一个平面和三条线相交于三点M，N，K，则P-MNK构成了一个正四面体。设PM=a,则，，在中，运用面积法，可得,故，故，故
【答案】B
12. 【考察目标】考察学生运用函数的图像分析函数图像和性质的能力，考察数形结合的能力。
【解题思路】解：的图象为椭圆上半部分，的图象为两条线段根据的周期T=4可知其图象，由方程恰有5个实数解，则有两解 即 有两解，所以解得； 无解即无解，所以
解得。故
【答案】B
13.【考察目标】考察二倍角公式，同角基本关系式，考查恒等变形的能力
【解答过程】=
【答案】
14.【考察目标】本试题主要考查了线性规划的最优解问题的运用。
【解题思路】根据已知线性约束条件可知，不等式组表示的平面区域为下图所示，
线性目标函数，那么过点（1,1）取得最大值为10，因此只要满足且；因此可以为 。
【答案】（若为线性目标函数，只要满足且
15.【考察目标】考察考察简单组合体的结构特征，考察三视图的概念和识别三视图所表示的结合体的方法，考察学生空间想象能力。
【解答过程】由三视图可知原图是一个四棱锥。
【答案】
16.【考察目标】考察等差数列概念，通项公式，前n项和公式，考察错位想减求和。
【解题思路】
解法1：运用线性规划的知识可得整数点，
解法2：运用不等式的知识可得，
解法3：猜测也可以
【答案】
17.解（Ⅰ）由分组内的频数是，频率是知，，
所以. ………………1分
因为频数之和为，所以，. ………………2分
. ………………3分
因为是对应分组的频率与组距的商，所以.……………4分
（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人. ………6分
（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，
设在区间内的人为，在区间内的人为.
则任选人共有
，15种情况，
而两人都在内只能是一种， ………………8分
所以所求概率为.（约为） ………………10分
18. 解：⑴ 又∵为锐角
∴ ∴ …………5分
（2） ∵， ∴
∵ ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列。
可得，∴， …………9分
∴ …………12分
19.【方法一】（1）证明：由题意知 则
（4分）
（2）∵∥，又平面.
∴平面平面.过作//交于过点作交于,则∠为直线与平面所成的角. 在Rt△中，∠，∴，∴∠.即直线与平面所成角为（8分）
（3）连结，∵∥，∴∥平面.
又∵∥平面，
∴平面∥平面，∴∥.
又∵
∴∴，即（12分）
【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
（1）设，则，
∵，∴　　　 　　（4分）
（2）由（1）知.
由条件知A（1，0，0），B（1，，0），
.设
则
即直线为.　　　（8分）
（3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则
，，，，
而，所以，
=
设为平面PAB的法向量，则，即，即.
进而得，
由,得∴
　（12分）
20. 解：（Ⅰ）解法1：由抛物线方程，得焦点，………1分
故 ①
又椭圆经过点，∴ ②
由①②消去并整理，得，，解得，或（舍去），
从而． 故椭圆的方程为 ． ……………4分
解法2：由抛物线方程，得焦点，
故椭圆的方程为 ． ……………4分
,
所以，
……………8分
由 得
显然，该方程有两个不等的实数根．设，.
,
由抛物线的定义，得 ……………10分

综上，当直线l垂直于轴时，取得最大值. ……………………………12分
21. 解：（Ⅰ），椭圆方程为……2分
准圆方程为。 …………3分
（Ⅱ）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此时与准圆交于点，
此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），
即为（或），显然直线垂直；
同理可证方程为时，直线垂直. …………………………6分
②当都有斜率时，设点，其中.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
则消去，得.
由化简整理得：.…………………………8分
因为，所以有.
设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，
所以满足上述方程，
所以，即垂直. …………………………10分
综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以=4. ………………………12分
22.

所以≥，
当时，取得最大值，所以≥………8分
(3)因为方程有唯一实数解，

因为，所以方程（*）的解为，即，解得……………12分

·14·