等腰三角形与直角三角形(Word版习题).doc

第四节 等腰三角形与直角三角形
四川6年中考真题精选（2012-2017）
命题点1 等腰三角形的性质及计算(绵阳：6年2考；四川：2016年2考，2015年7考，2014年4考)
1. (2013成都4题3分)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

第1题图 　第2题图
2.(2014南充8题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为(　　)
A. 30° B. 36° C. 40° D. 45°
3.(2015广安8题3分)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(　　)
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
4.(2015内江8题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为(　　)
A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°

第4题图
5. (2012广安9题3分)已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝
BC，则△ABC底角的度数为(　　)
A. 45° B. 75° C. 45°或75° D. 60°
6. (2016雅安8题3分)如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为(　　)
A. 2＋2 B. 2＋ C. 4 D. 3

第6题图
7. (2016绵阳9题3分)如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为(　　)

第7题图
A. B. C. D.
8. (2012广元14题3分)已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是____________．
9. (2013绵阳17题3分)已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－3x＋8＝0，则△ABC的周长是________．
10. (2013凉山州17题4分)若实数x、y满足|x－4|＋＝0，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为________．
11. (2015乐山14题3分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.

第11题图　 第12题图
12. (2015攀枝花14题4分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点，若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为____________.
命题点2 等边三角形的性质及计算(绵阳：2014.11；四川：2016年1考，2015年1考，2014年2考)
13. (2014泸州5题3分)如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为(　　)
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

第13题图
14. (2016内江11题3分)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为(　　)
A. B . C. D. 不能确定
15. (2014绵阳11题3分)在边长为正整数的△ABC中，AB＝AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1∶2的两部分，则△ABC面积的最小值为(　　)
A. B. C. D.
命题点3 直角三角形的性质及计算(绵阳：6年2考；四川：2017年3考，2016年4考，2015年3考，2014年1考)
16. (2012绵阳7题3分)如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1＋∠2＝(　　)
A. 225° B. 235° C. 270° D. 与虚线的位置有关

第16题图 第17题图
17. (2016南充7题3分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(　　)
A. 1 B. 2 C. D. 1＋
18.(2015眉山10题3分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是(　　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4

第18题图 　第19题图
19.(2017绵阳11题3分)如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为(　　)
A. B. C. D.
20.(2016甘孜州13题4分)直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．
21. (2015内江22题6分)在△ABC中，∠B＝30°，AB＝12，AC＝6，则BC＝________．
22. (2013巴中19题3分)若直角三角形两直角边长分别为a、b，且满足＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．
23. (2014凉山州16题4分)已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为________．
24. (2017乐山14题3分)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到直线AB的距离是________．

第24题图

答案
1. D
2．B　【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵CD＝AD，∴∠C＝∠CAD.∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＋∠C＝180°，∠BDA＝∠C＋∠DAC＝2∠B，∴在△BAD中，5∠B＝180°，∴∠B＝36°.
3. A　【解析】解方程x2－7x＋10＝0，得x＝2或x＝5，分两种情况讨论：①当2为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为2，2，5，∵2＋2<5，∴此时不能构成三角形；②当5为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为5，5，2，此时三边能构成三角形，∴周长为5＋5＋2＝12.
4．A　【解析】由AE∥BD可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.
5．C　【解析】当AB＝AC时，如解图①，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，则∠B＝45° ；当AB＝BC时，如解图②，AD＝BC＝AB, AD⊥BC，则∠B＝30°，∠C＝75°.综上，△ABC底角的度数为45°或75°.

第5题解图
6．A　【解析】如解图，过点A作AF⊥BC于点F，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2 ，∴∠B＝∠C＝30°，BF＝CF＝，在Rt△ACF中，AC＝＝＝2.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，∴△ACE的周长＝AE＋CE＋AC＝BE＋CE＋AC＝BC＋AC＝2＋2.

第6题解图
7．C　【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠A＝36°.∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴AD＝BD＝2，AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠EBC＝36°，∴△ABC∽△BCE，∴＝，∴BC2＝AB·CE，设AE＝BE＝BC＝x，则CE＝4－x，∴x2＝4·(4－x)，解得x＝2－2(负值舍去)，则cosA＝＝＝.
8. 50°，50°或80°，20°　【解析】分情况讨论：(1)若等腰三角形的顶角为80°，则另外两个内角＝＝50°；(2)若等腰三角形的底角为80°，则它的另外一个底角为80°，顶角为180°－80°－80°＝20°.
9. 6或12或10　【解析】根据题意得k≥0且(－3)2－4×8≥0，解得k≥.∵整数k＜5，∴k＝4，∴方程变形为x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8＝0，∴△ABC的边长为，2，2，2或4，4，4或4，4，2，∴△ABC的周长为6或12或10.
10．20【解析】由绝对值和二次根式的非负性可知：x＝4，y＝8，由三角形三边关系知该三角形三边只能为4，8，8，所以周长为20.
11．15　【解析】∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝90°，且AD＝BD.∵∠ADE＝40°，∴∠A＝90°－∠ADE＝50°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°.∵AD＝DB，∴∠DBA＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC－∠DBA＝15°.
12．(2，4)，(2.5，4)，(3，4)，(8，4)　【解析】∵点A的坐标为(10，0)，点D是AO的中点，∴DO＝5，∵点C的坐标为(0，4)，∴OC＝4，∵四边形ABCO是矩形，∴直线BC上的点的纵坐标均为4.如解图，过点D作DH⊥BC于点H，当点P在CH上时，要使△DOP是等腰三角形，则(1)当P1D＝OD时，P1D＝5，在Rt△P1HD中，HD＝4，P1D＝5，根据勾股定理得P1H＝3，∴CP1＝CH－P1H＝5－3＝2，即点P1的坐标为(2，4)；(2)当P2O＝P2D时，点P2在OD的垂直平分线上，∴点P2的坐标为(2.5，4)；(3)当P3O＝DO时，在Rt△P3CO中，P3O＝5，CO＝4，由勾股定理得CP3＝3，此时点P3的坐标为(3，4)；当点P在HB上时，∠ODP＞90°，此时只能是OD＝P4D，在Rt△P4HD中，HD＝4，P4D＝5，由勾股定理得P4H＝3，∴CP4＝CH＋HP4＝8，∴此时点P4的坐标为(8，4)．综上所述，所有满足条件的点P的坐标为(2，4)，(2.5，4)，(3，4)，(8，4)．

第12题解图
13. C　【解析】由等边△ABC得∠C＝60°，由三角形中位线的性质得DE∥BC，∴∠DEC＝180°－∠C＝180°－60°＝120°.
第14题解图
14. B　【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H.则BH=，AH＝＝.连接PA，PB，PC，∵S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴AB·PD＋BC·PE＋CA·PF＝BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝.

15. C　【解析】如解图，设这个等腰三角形的腰为x，底为y，所分的两部分周长分别为n和2n，

第15题解图
得或，解得或，∵n为正数且根据三角形的三边关系，可知2×< (不能构成三角形，故舍去)，∴AB＝AC＝，BC＝.过点A作AE⊥BC于点E，则BE＝BC，∴三角形的面积S＝BC·AE＝BC·＝××＝n2＝n2，当n＞0时，S随着n的增大而增大，故当n＝3时，S＝取最小．
16．C　【解析】∵等腰直角三角形的两锐角之和等于90°，四边形的内角和等于360°，∴∠1＋∠2＝360°－90°＝270°.
17．A　【解析】∵ 在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵D、E分别是BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝ ×2＝1.
18．A　【解析】∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝30°，∵∠ACB＝90°－∠A＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝＝＝，∴AC＝2BC＝2.
19．D　【解析】∵O是△ABC的重心，则CO＝CE，设CE＝3，则CO＝2，OE＝1，AE＝BE，∵∠ACB＝90°，∴AE＝CE＝BE＝3，∵∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵∠ACB＝90°，FE⊥AB，
∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝∠AEC＝60°，∴∠BCE＝∠CEF＝30°，∴FC＝FE，∵AC＝AE，∴AF垂直平分CE，∴∠FME＝90°，ME＝CE＝，∴在Rt△MEF中，易得MF＝ME＝×＝，OM＝ME－OE＝－1＝，∴＝.
20. 6　【解析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，∴另一直角边的长为＝4.∴该直角三角形的面积S＝×3×4＝6.
21. 6　【解析】根据题意画出草图如解图，过点A作AD⊥BC与BC交于点D，由∠B＝30°且AB＝12，可得AD＝AB·sin30°＝12×＝6，由AC＝6，可以得AC与AD重合，即此三角形是直角三角形，所以BC＝＝6.

第21题解图
22. 5　【解析】由算术平方根与绝对值的非负性得a2－6a＋9＝0，b－4＝0，∴a＝3，b＝4，∴斜边长为5.
23. 5或 　【解析】分两种情况进行讨论：(1)当两边都是直角边时，则第三边为斜边，由勾股定理得＝5；(2)当已知边中的较长边为斜边时，第三边则为直角边，由勾股定理得＝.
24. 　【解析】如解图，延长AB至D，连接CD，AC，因为AD＝2，CD＝，AC＝3，则AC2＋CD2＝AD2，故AC⊥CD，设点C到直线AB的距离是d，则AD·d＝AC·CD，即2d＝3×，解得d＝.

第24题解图

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