平行四边形与特殊平行四边形(专题讲练与提升).doc

平行四边形与特殊平行四边形（专题与提升）一、平行四边形的性质例1、如图，在ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.(1)求证：ABGCDE；(2)猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；(3)若AB=6，BC=4，DAB=60，求四边形EFGH的面积。变式练习1、如图，在平行四边形ABCD中，E.F分别是AB、BC的中点，CEAB，垂足为E，AFBC，垂足为F，AF与CE相交于点G.(1)证明：CFGAEG.(2)若AB=4，求四边形AGCD的对角线GD的长。2、如图，在平行四边形ABCD中，点M、N分别在线段DA、BA的延长线上，且BD=BN=DM，连接BM、DN并延长交于点P.(1)求证：P=90C；(2)当C=90，ND=NP时，判断线段MP与AM的数量关系，并给予证明。二、平行四边形的判定例2、如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE，已知BAC=30，EFAB于点F，连接DF.(1)求证：AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形。变式练习1、2、如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。三、三角形中位线定理例3、(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：BME=CNE；(提示：取BD的中点H,连接FH，HE作辅助线)(2)如图2，在ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB=DC=2，FEC=45，求FE的长度。变式练习1、(1)回顾定理：如图1，在ABC中，DE是ABC的中位线。那么DE与BC的关系有_.(2)运用定理：如图2，在四边形ABCD中，ABC=50,BCD=40，点F为AC的中点，点E为BD的中点。若AB=4，CD=6，求EF的长。2、在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D为AC的中点。(1)如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连接CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明；(2)如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，(1)中的其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明。四、菱形的性质例4、在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC.(1)如图1,当BAD=90时，连接PE，交CD与点F，若CPE=90，求证：PC=PE；(2)如图2,当BAD=60时，连接PE，交CD与点F，若CPE=60，设AC=CE=4，求BP的长。变式练习1、如图，在菱形ABCD中，BAD=60，M为对角线BD延长线上一点，连接AM和CM，E为CM上一点，且满足CB=CE，连接BE，交CD于点F.(1)若AMB=30，且DM=3，求BE的长；(2)证明：AM=CF+DM.2、如图1，已知ABCD是菱形，EFP的顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，且EP=FP.(1)证明：EPF+BAD=180；(2)如图2，若BAD=120，证明：AE+AF=AP.3、如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E.F分别是边AD、CD上的动点，且AE+CF=4，连接BE、EF、FB.(1)证明：BE=BF(2)求BEF面积的最小值。五、菱形的判定例5、已知：如图，ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点。过点B作AC的平行线BF，交CE的延长线于点F，连接AF.(1)求证：FBECOE；(2)将ABCD添加一个条件，使四边形AFBO是菱形，并说明理由。变式练习1、如图1，在ABC和EDC中，AC=CE=CB=CD；ACB=DCE=90，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H.(1)求证：CF=CH；(2)如图2，ABC不动，将EDC绕点C旋转到BCE=45时，试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论。2、RtABC与RtFED是两块全等的含30、60角的三角板，按如图(一)所示拼在一起，CB与DE重合。(1)求证：四边形ABFC为平行四边形；(2)取BC中点O，将ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图(二)中ABC位置，直线BC与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；(3)在(2)的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形?(不要求证明)六、矩形的性质例6、在矩形ABCD中，AB=CD=10cm、BC=AD=8cm，动点P从A点出发沿ABCD路线运动到D停止；动点Q从D出发，沿DCBA路线运动到A停止；若P、Q同时出发，点P速度为1cms，点Q速度为2cms，6s后P、Q同时改变速度，点P速度变为2cms，点Q速度变为1cms.(1)问P点出发几秒后，P、Q两点相遇?(2)当Q点出发几秒时，点P点Q在运动路线上相距的路程为25cm?变式练习1、如图所示，四边形ABCD是矩形，AD=16cm，AB=6cm动点P、Q分别同时从A、C出发，点P以3cm/s的速度向D移动，直到D为止，Q以2cm/s的速度向B移动，直到B为止（1）P、Q两点从出发开始几秒后，四边形ABQP的面积是矩形面积的 ？何时四边形ABQP的面积最大，最大是多少？（2）P、Q两点从开始出发几秒后，PQ=6cm？2、已知：如图1，在矩形ABCD中，把BCD沿BD向上折叠，使点C落在C处，BC交AD于点M.(1)求证：BM=DM；(2)如图2，把BAD沿BD向下折叠，使点A落在A处，DA交BC于点N，连接MN，判断四边形MBND是什么特殊的四边形，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接MA和MC，若CD=6，AD=8，请求出MAC的面积。七、矩形的判定例7、如图(1)，四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A.C分别作AMBD，CNBD，M，N为垂足。(1)求证：AM=CN；(2)如图(2)，在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E，F，使BE=DF，连接AE、CF，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形?并加以证明。变式练习1、如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC，设MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F.(1)若CE=8，CF=6，求OC的长；(2)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形?并说明理由。2、已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O,点E.F分别在边AB、CD上,分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形(如图).(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)在四边形ABCD中，求ABBC的值。八、正方形的性质例8、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若四边形ABCD是正方形如图1，则有AC=BD，ACBD.旋转图1中的RtCOD到图2所示的位置，AC与BD有什么关系？(直接写出)若四边形ABCD是菱形，ABC=60，旋转RtCOD至图3所示的位置，AC与BD又有什么关系？写出结论并证明。变式练习1、已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点(不与C.D重合).连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CGHC交AE于点G.(1)若点F在边CD上，如图1证明：DAH=DCH猜想GFC的形状并说明理由。(2)取DF中点M，MG。若MG=2.5，正方形边长为4，求BE的长。2、如图，在正方形ABCD中，点P为AD边上一点，PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F，连接PF交AB于G，连接CG.(1)如图1，求证：GC平分PGB；(2)如图2连接AN，试判断线段PC与AN的数量关系，并给予证明。九、正方形的判定例9、已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：BCEDCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由。变式练习1、如图,在ABC和BCD，BAC=BCD=90，AB=AC，CB=CD。延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC.连接AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.(1)求证：AD=AF；(2)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由。2、如图，P是矩形ABCD内一点，APBP于点E，CEBP于点E，BP=EC.(1)请判断四边形ABCD是否是正方形?若是，写出证明过程：若不是，说明理由；(2)延长EC到点F，使CF=BE，连接PF交BC的延长线于点G，求BGP的度数。3、如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小?并求四边形EDFG面积的最小值。30