平行四边形与特殊平行四边形(专题讲练与提升).doc

平行四边形与特殊平行四边形（专题与提升）
一、平行四边形的性质
例1、如图，在ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.

(1)求证：△ABG≌△CDE；
(2)猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；
(3)若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积。

变式练习
1、如图，在平行四边形ABCD中，E. F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G.

(1)证明：△CFG≌△AEG.
(2)若AB=4，求四边形AGCD的对角线GD的长。

2、如图，在平行四边形ABCD中，点M、N分别在线段DA、BA的延长线上，且BD=BN=DM，连接BM、DN并延长交于点P.
(1)求证：∠P=90°−∠C；
(2)当∠C=90°，ND=NP时，判断线段MP与AM的数量关系，并给予证明。

二、平行四边形的判定
例2、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB于点F，连接DF.

(1)求证：AC=EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形。

变式练习
1、
2、如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=−2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
三、三角形中位线定理
例3、(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.
求证：∠BME=∠CNE；(提示：取BD的中点H,连接FH，HE作辅助线)
(2)如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE的长度。

变式练习
1、(1)回顾定理：如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线。那么DE与BC的关系有___.
(2)运用定理：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=50°,∠BCD=40∘，点F为AC的中点，点E为BD的中点。若AB=4，CD=6，求EF的长。

2、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点。
(1)如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明；
(2)如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，(1)中的其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明。

四、菱形的性质
例4、在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC.
(1)如图1,当∠BAD=90°时，连接PE，交CD与点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；
(2)如图2,当∠BAD=60°时，连接PE，交CD与点F，若∠CPE=60°，设AC=CE=4，求BP的长。

变式练习
1、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，M为对角线BD延长线上一点，连接AM和CM，E为CM上一点，且满足CB=CE，连接BE，交CD于点F.

(1)若∠AMB=30°，且DM=3，求BE的长；
(2)证明：AM=CF+DM.

2、如图1，已知ABCD是菱形，△EFP的顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，且EP=FP.
(1)证明：∠EPF+∠BAD=180°；
(2)如图2，若∠BAD=120°，证明：AE+AF=AP.

3、如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E. F分别是边AD、CD上的动点，且AE+CF=4，连接BE、EF、FB.

(1)证明：BE=BF
(2)求△BEF面积的最小值。

五、菱形的判定
例5、已知：如图，ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点。过点B作AC的平行线BF，交CE的延长线于点F，连接AF.

(1)求证：△FBE≌△COE；
(2)将ABCD添加一个条件，使四边形AFBO是菱形，并说明理由。

变式练习
1、如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H.
(1)求证：CF=CH；
(2)如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论。

2、Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图(一)所示拼在一起，CB与DE重合。
(1)求证：四边形ABFC为平行四边形；
(2)取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图(二)中△A′B′C′位置，直线B′C′与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；
(3)在(2)的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形?(不要求证明)

六、矩形的性质
例6、在矩形ABCD中，AB=CD=10cm、BC=AD=8cm，动点P从A点出发沿A⇒B⇒C⇒D路线运动到D停止；动点Q从D出发，沿D⇒C⇒B⇒A路线运动到A停止；若P、Q同时出发，点P速度为1cm∕s，点Q速度为2cm∕s，6s后P、Q同时改变速度，点P速度变为2cm∕s，点Q速度变为1cm∕s.
(1)问P点出发几秒后，P、Q两点相遇?
(2)当Q点出发几秒时，点P点Q在运动路线上相距的路程为25cm?

变式练习
1、如图所示，四边形ABCD是矩形，AD=16cm，AB=6cm．动点P、Q分别同时从A、C出发，点P以3cm/s的速度向D移动，直到D为止，Q以2cm/s的速度向B移动，直到B为止．
（1）P、Q两点从出发开始几秒后，四边形ABQP的面积是矩形面积的 ？何时四边形ABQP的面积最大，最大是多少？
（2）P、Q两点从开始出发几秒后，PQ=6cm？

2、已知：如图1，在矩形ABCD中，把△BCD沿BD向上折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点M.
(1)求证：BM=DM；
(2)如图2，把△BAD沿BD向下折叠，使点A落在A′处，DA′交BC于点N，连接MN，判断四边形MBND是什么特殊的四边形，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接MA′和MC，若CD=6，AD=8，请求出△MA′C的面积。

七、矩形的判定
例7、如图(1)，四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A. C分别作AM⊥BD，CN⊥BD，M，N为垂足。
(1)求证：AM=CN；
(2)如图(2)，在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E，F，使BE=DF，连接AE、CF，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形?并加以证明。

变式练习
1、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.

(1)若CE=8，CF=6，求OC的长；
(2)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形?并说明理由。

2、已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O,点E. F分别在边AB、CD上,分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形(如图).
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在四边形ABCD中，求ABBC的值。

八、正方形的性质
例8、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若四边形ABCD是正方形如图1，则有AC=BD，AC⊥BD.
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？(直接写出)
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明。

变式练习
1、已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点(不与C. D重合).连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G.
(1)若点F在边CD上，如图1
 ①证明：∠DAH=∠DCH
 ②猜想△GFC的形状并说明理由。
(2)取DF中点M，MG。若MG=2.5，正方形边长为4，求BE的长。

2、如图，在正方形ABCD中，点P为AD边上一点，PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F，连接PF交AB于G，连接CG.
(1)如图1，求证：GC平分∠PGB；
(2)如图2连接AN，试判断线段PC与AN的数量关系，并给予证明。

九、正方形的判定
例9、已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.

(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由。

变式练习
1、如图,在△ABC和△BCD，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD。延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC.连接AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.
(1)求证：AD=AF；
(2)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由。

2、如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点E，CE⊥BP于点E，BP=EC.

(1)请判断四边形ABCD是否是正方形?若是，写出证明过程：若不是，说明理由；
(2)延长EC到点F，使CF=BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数。

3、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF.

(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小?并求四边形EDFG面积的最小值。

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