双曲线标准方程及几何性质知识点及习题.doc

双曲线标准方程及几何性质知识点及习题
1. 双曲线第一定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：
平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。
当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。无限接近，但不可以相交。
例1. 方程表示双曲线，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．或
3. 双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上的：
（2）焦点在y轴上的：
（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。
注：c2＝a2＋b2
【例2】求虚轴长为12，离心率为双曲线标准方程。

【例3】求焦距为26，且经过点M（0，12）双曲线标准方程。

练习。焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）
A． B． C． D．

【例4】与双曲线有公共渐进线，且经过点
练习。求一条渐近线方程是，一个焦点是的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．

解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e、a、b、c四者的关系，构造出和的关系式。
4. 双曲线的几何性质：

<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。
<3>顶点：A1（-a，0），A2（a，0）
线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b。
e越大，双曲线的开口就越开阔。

5．若双曲线的渐近线方程为：
则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：
【例4】求与椭圆的双曲线的标准方程。

【例5】已知双曲线经过，且与另一双曲线，有共同的渐近线，则此双曲线的标准方程是

练习。求与双曲线的双曲线的标准方程。

【例6】设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。

练习。已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 求双曲线的方程；

双曲线标准方程及几何性质习题
一选择
1．到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹 （ ）
A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线
2．方程表示双曲线，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．或
3． 双曲线的焦距是 （ ）
A．4 B． C．8 D．与有关
4．已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx2+my2=mn所表示的
曲线x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
可能是 （ ）

5．焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．若，双曲线与双曲线有 （ ）
A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D． 相同的焦点
7．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（ ）
A．28 B．22 C．14 D．12
8．双曲线方程为，那么k的取值范围是 （ ）
A．k＞5  B．2＜k＜5 C．－2＜k＜2  D．－2＜k＜2或k＞5
9．双曲线的渐近线方程是y=±2x，那么双曲线方程是  （ ）
A．x2－4y2=1   B．x2－4y2＝1 C．4x2－y2=－1   D．4x2－y2=1
10．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则 （ ）
A．1或5 B． 6 C． 7 D． 9
11．已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则双曲线的离心率e的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
12．设c、e分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线(a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离 （ ） A．B． C． D．
13．双曲线的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|= 则△PF1F2的面积为 （ ）A．B．1 C．2 D．4
14．二次曲线，时，该曲线的离心率e的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二．填空
15．直线与双曲线相交于两点，则=_____
16．设双曲线的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰好过F点，则离心率为
17．双曲线的离心率为，则a:b=
三、解答题
1.双曲线的两个焦点分别为，为双曲线上任意一点，求证：成等比数列（为坐标原点）．

2.
（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程；
（2）是否存在直线l，使点为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。

3.已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线总有公共点，试求实数k的取值范围.

4.已知B（-5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且，求顶点A的轨迹方程。
分析：在△ABC中由正弦定理可把转化为，结合图形可知顶点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。

5.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).