1、双曲线标准方程及几何性质知识点及习题 1. 双曲线第一定义： 平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义： 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。 当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。无限接近，但不可以相交。例1. 方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） AB C D或3. 双曲线的标准方程：
2、（1）焦点在x轴上的： （2）焦点在y轴上的： （3）当ab时，x2y2a2或y2x2a2叫等轴双曲线。 注：c2a2b2 【例2】求虚轴长为12，离心率为双曲线标准方程。【例3】求焦距为26，且经过点M（0，12）双曲线标准方程。练习。焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）ABCD【例4】与双曲线有公共渐进线，且经过点练习。求一条渐近线方程是，一个焦点是的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e、a、b、c四者的关系，构造出和的关系式。 4. 双曲线的几何性质： 对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。 顶点：A1（-a，0），A2
3、（a，0） 线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|2a； 线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|2b。 e越大，双曲线的开口就越开阔。 5若双曲线的渐近线方程为：则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： 【例4】求与椭圆的双曲线的标准方程。 【例5】已知双曲线经过，且与另一双曲线，有共同的渐近线，则此双曲线的标准方程是练习。求与双曲线的双曲线的标准方程。【例6】设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使，且AF1=3AF2，求双曲线的离心率。练习。已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 求双曲线的方程； 双曲线标准方程及几何性质习题一选择1到两定点、的距
4、离之差的绝对值等于6的点的轨迹 （ ）A椭圆B线段C双曲线D两条射线2方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） AB C D或3 双曲线的焦距是（ ）A4BC8D与有关4已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mxy+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线xyoxyoxyoxyo可能是（ ） 5焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）ABCD6若，双曲线与双曲线有（ ）A相同的虚轴B相同的实轴C相同的渐近线D 相同的焦点7过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（ ）A28 B22C14D128双曲线方程为，那么k的取值范围是（ ）Ak5B2k5 C2k2 D2k
5、2或k59双曲线的渐近线方程是y=2x，那么双曲线方程是（ ）Ax24y2=1Bx24y21 C4x2y2=1D4x2y2=110设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）A1或5B 6 C 7D 911已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则双曲线的离心率e的最大值为（ ）A B C D12设c、e分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线(a0, b0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离 （ ）ABCD13双曲线的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|= 则PF1F2的面积为 （ ）AB1C2 D414二次曲
6、线，时，该曲线的离心率e的取值范围是（ ）AB C D二填空15直线与双曲线相交于两点，则=_16设双曲线的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰好过F点，则离心率为 17双曲线的离心率为，则a:b= 三、解答题1.双曲线的两个焦点分别为，为双曲线上任意一点，求证：成等比数列（为坐标原点）2. （1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程； （2）是否存在直线l，使点为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。3.已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线总有公共点，试求实数k的取值范围.4.已知B（-5，0），C（5，0）是ABC的两个顶点，且，求顶点A的轨迹方程。分析：在ABC中由正弦定理可把转化为，结合图形可知顶点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。 5.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).
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