一元二次方程典型例题.doc

一元二次方程
专题一：一元二次方程的定义

典例分析：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A B
C D
2、若方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A． B．m=2 C． D．

3、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x+a2－l=0的一个根是0。则a的值为( )
A、 1 B、－l C、 1 或－1　　 D、　　

4、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。

5、关于的方程是一元二次方程的条件是（ ）
A、≠1 B、≠－2 C、≠1且≠－2 D、≠1或≠－2

专题二：一元二次方程的解

典例分析：

1、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。
2、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。
3、已知是的根，则 。
4、若方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a,b,c满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。
5、方程的一个根为（ ）
A B 1 C D

课堂练习：

1、已知一元二次方程x2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为

2、已知x=1是一元二次方程x2+bx+5=0的一个解，求b的值及方程的另一个根．

3、已知的值为2，则的值为 。
4、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。

专题三：一元二次方程的求解方法

典例分析：

一、直接开平方法

二、配方法
．

难度训练：
1、如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是_______________.

2、试用配方法说明的值恒大于0。

3、已知为实数，求的值。

4、已知x、y为实数，求代数式的最小值。

三、公式法
1、 2、

四、因式分解法
1、 2、 3、

五、整体思维法
例： 。
变式1：若，则x+y的值为 。
变式2：若，，则x+y的值为 。
变式3：已知，则的值等于 。
专题四：一元二次方程中的代换思想（降次）
典例分析：
1、已知，求代数式的值。
2、如果，那么代数式的值。
3、已知是方程的两个根，那么 .
4、已知是一元二次方程的一根，求的值。
专题五：根的判别式
典例分析：
1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
2、关于X的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A、＞9 B、＜9且≠0 C、＜9 D、≤9且≠0
3、关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4、对于任意实数m，关于x的方程一定（ ）
A. 有两个正的实数根 B. 有两个负的实数根
C. 有一个正实数根、一个负实数根 D. 没有实数根

课堂练习：
1、已知关于的方程有两个不等实根，试判断直线能否通过A（－2，4），并说明理由。
2、若关于x的方程有实数根，则k的非负整数值是 。

3、已知关于x的方程有两个相等的正实数根，则k的值是（ ）
A. B. C. 2或 D.
4、已知a、b、c为的三边，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么这个三角形是 。
5、如果关于x的方程没有实数根，那么关于x的方程的实根个数是 。
6、已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
专题六：根与系数的关系（韦达定理）
典例分析：

一、常见变形

1、若是方程的两个根，试求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．

2、以与为根的一元二次方程是（）
A． B． C． D．

3、甲、乙两人同解一个一元二次方程，甲看错常数项，解得两根为8和2，乙看错一次项系数，解得两根为-9和-1，则这个方程是
4、已知m、n是方程的两个根，则（ ）
A、1990 B、1992 C、-1992 D、1999
5、方程与方程的所有实数根的和为___________.
6、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为 。
7、设方程的两根分别为，且，那么m的值等于（ ）
A. B.—2 C. D.—
8、设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ，= _____ ．
9、若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ．
10、已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( )
A． B． C． D．
特殊技巧：
1、已知，，，求
变式：若，，则的值为 。
变式：已知实数a、b满足，且a≠b，求的值。
变式：若ab≠1,且有，求的值。
变式：若实数、满足，，则的值是（ ）
A、－20 B、2 C、2或－20 D、

大题突破：
1、已知一元二次方程
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设是方程的两个实数根，且满足，求m的值。
2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不
存在，请说明理由。

3、已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足．
4、已知关于的一元二次方程．
(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两根为，且满足，求的值．
5、已知是一元二次方程的两个实数根．
(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使的值为整数的实数的整数值．

6、已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根．

巩固提高：
1、（2010•南充）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．

2、（2011•南充）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2-x1x2＜-1且k为整数，求k的值。

3、（2012•南充）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．

4、（2013四川南充，20，8分）关于x的一元二次方程为（ｍ－1）x2－2ｍx＋ｍ＋1＝0
（1）求出方程的根；
（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

5、（2014•南充）已知关于x的一元二次方程x2-x+m=0，有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22-x1x2的值．

6、已知关于的方程的两根为、，且满足.求的值。

7、已知关于x的方程。
（1）求证：不论k取何值，方程总有实数根；
（2）当k=4时，设该方程的两个实数根为α、β，求作以和为根的一元二次方程。

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