元二次方程的根与系数的关系.doc

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元二次方程的根与系数的关系
[内容]
一元二次方程的根与系数的关系
(韦达定理和它的逆定理)
教学目标
　　(一）通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立,使学生理解其理论根
据：
　　（二)使学生会运用根与系数关系解题。
教学重点和难点
　　重点：根与系数关系的推导.
　　难点：根与系数关系的运用。
教学过程设计
（一）引言
我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的各项系数a,b，c决
定的。我们还知道根的性质（有、无实数根及实数根的个数)由b2-4ac决定.今天我们来研究方
程的两根之和及两根之积与a,b,c有什么关系?先填表，归纳出规律，然后给予严密的证明。
　　（二）新课
　　从表格中找出两根之和x1+x2与两根之积x1·x2和a,b,c的关系：

　　1。先从前面三个方程(二次项系数是1）观察x1+x2，x1x2的值与一次项系数及常数项的关
系.(两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项)
　　2.再看后面三个方程(二次项系数不是1），观察x1+x2，x1x2的值与系数的关系。（在把方
程的二次项系数化为1后,仍符合上述规律）
　　3。猜想ax2+bx+c=0 （a≠0）的x1+x2，x1x2与a，b，c的关系（引导学生化为x2+
后，猜想）为x1+x2=—,x1x2=。
　　4.怎样证明上面的结论。启发学生:求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明
就可以了。
　　证明：设ax2+bx+c=0 （a≠0)的两根为x1，x2,

　　5。读课文P31第3行第4行的黑体字,要求把这段黑体字(实际上就是定理）读出来，以强化印象。
6。为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是1的方程叫做“简化的一元二次方程”
。
　　读课本P31第10至11行的黑体字。
　　如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q.
教师必须要求学生能用语言表达上述定理.
“对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项".(
这个定理又叫做韦达定理)
　　7。再要求读课本P31的倒数第3行到倒第1行（也要求学生用语言表达此定理）。
　　“对于简化的二次方程,一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.(这是韦达定理的逆定理）
　　例题讲解
　　例1 已知方程5x2+kx—6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
　　解:把方程两边都除以5,化为最简二次方程

　　例2 利用根与系数的关系,求一元二次方程2x2+3x—1=0两根的（1）平方和;(2）倒数和.
　　分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和
与两根之积.如查我们所求的式子可以转化成用两根之和及两根之积表示，也就可以直接把
方程的系数代入，算出结果了.

(2) 1 x1+1 x2=x1+x2 x1x2=(—3 2)÷（-1 2)=3。

例3 求一个一元二次方程,使它的两根分别是
　　分析：先让学生用语言表达P31倒数第3行~第1行的黑体字；
　　“对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之
积”.

　　例4 已知两数的和等于8，积等于9，求:这两个数。
　　分析：我们可以用多种方法来解决这个问题。
　　解法1:设两个数中的一个为x，因为两数之和为8，所以另一个数为8—x。
　　再根据“两数之积为9"，可列出方程x(8—x)=9.

解法2：设两个数是x,y,可列出方程组这类方程组的解法，我们将在课本P61学到.
　　解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接造出一个是简化二次方程。x2—8x+9=0.这就是方法1得到的方程。
　　(三)课堂练习
　　1。已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍,则m= 。
　　2.已知关于x的一元二次方程（k2—1）x2—(k+1）=0的两根互为倒数，则k的取值是( ）。

　　3.已知方程x2+3x+k=0的两根之差为5，k= 。
　　答案或提示

　　（四)小结
　　1。应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
　　2。应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代
数里，当且仅当b2—4ac≥0时，才能应用根与系关系。
　　3.已知方程的两根，求作一元二次方程时,要注意根与系数的正、负号。
　　(五）作业
　　1。设方程3x2—5x+q=0的两根为x1和x2，且6x1+x2=0，那么q的值等于( )。

　　2。若关于x的方程3(x—1）(x—2m)=x(m—12）的两根之积等于两根之积，则此方程的两根为（ )。

　　3。已知关于x的二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p,q都是奇数，那么它的根( ）.
　　 （A) 一定都是奇数 (B)一定都是偶数 (C） 有可能是真分数 （D） 有可能是无理数
　　4.（1）如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根,求方程的另一个根及b的值.
(2）如果是方程x2+4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值.
　　5。设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数关系，求下列各式的值：

　　6.求一个元二次方程，使它的两个根分别为
　　7。已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数.
　　作业的答案或提示

。

　　课堂教学设计说明
　　1.观察、归纳、证明是研究事物的科学方法.此节课在研究方程的根与系数关系时,先
从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数
不是1的,由此，猜想一般的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0）的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明。这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.
　　2.教学设计中补充了“简化的一元二次方程”的定义，对根与系数关系的叙述可以方便
些。教学设计中还把根与系数关系作为两个互逆的定理提出，可加深理解两个性质的不同功
能。韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出些方程的两根之和的值及
两极之积的值。而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根,可写出这个方程。