基于合情推理的教学设计——以“直线与平面平行的判定”为例.pdf

10-112023年第10 期数学教学基于合情推理的教学设计以直线与平面平行的判定”为例钟志华顾纤纤崔蓝天（南通大学理学院，江苏南通226019)普通高中数学课程标准（2 0 17 年版）特别强调逻辑推理素养的培养，而逻辑推理中的合情推理尤为重要，因为它直接关系到学生发现能力的提升.为了更好培养学生的合情推理素养,本文以“直线与平面平行的判定”为例，说明如何在数学教学中培养学生的合情推理素养.1教材地位与作用分析“直线与平面平行的判定”是人教A版普通高中教科书数学必修（第二册）第八章第五节的内容.从该内容与初中平面几何的关系来看，它是线线平行的推广；从它与高中先前知识关系看，它是在学生学习了线面关系基础上对线面平行关系的进一步研究，是对先前知识的分化与细化；从它与后续知识关系看，该知识又是将来进一步学习面面平行的基础，在学习面面平行时可以类比线面平行来进行研究.在该知识的学习过程中，学生不仅需要通过数学抽象来发现现实生活的实物或图形中所蕴含的数形关系，而且需要经历“直观感知一操作确认一猜想验证”等研究过程才能发现其中的关系或规律，同时还需要采用三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）对所发现的关系进行数学表征.通过这一研究过程不仅可以充分培养学生的数学抽象、逻辑推理（特别是合情推理）、直观想象等数学核心素养及数学发现能力，而且可以培养学生运用数学眼光观察世界、运用数学思维分析世界及运用数学语言表达世界的能力.另外，该知识在物理学等其他学科及生产实践中也具有广泛应用，因此学好该知识还可以培养学生的应用意识和数学建模素养，提升学生的数学认识.【分析依据】从联系的观点来看，教材地位分析主要解决所学知识与哪些知识有联系？有什么联系？如何表示这些联系？教材地位分析不仅要分析这一知识内部各要素之间的联系，而且还要分析所学知识与其他知识之间的联系，这里的其他知识既可以是本学科的知识、也可以是其他学科的知识，还可以是生产实际中的知识.在分析与本学科的知识之间的联系时，既要分析所学知识与学生已有知识之间的联系，还要分析所学知识与将要学习的知识之间的联系。教材作用的分析主要回答的是所学知识对已学知识特别是后续知识学习的影响，对学生发展、对其他学科的发展及其在生产实际等方面的作用.从合情推理的角度看，教材地位与作用分析的本质就是要弄清所学知识与哪些知识存在合情合理的联系.2学情分析从学生的学习基础来看，学生不仅具有丰富的线面平行生活经验，而且在初中阶段已经深入研究过线线平行问题，并在之前系统研究了线面关系的分类问题.线面平行的判定是在这些知识基础上的渐进深化与自然拓展，这说*基金项目：江苏省教育科学“十四五”规划重点课题一数学哲学与数学教育深度融合的理论与实践研究（B/2022/01/05）；江苏省“十四五”规划课题一一核心素养视域下的高中数学“学材”重构（D/2021/02/566）；南通大学专业学位研究生教学案例库建设项目“基于创新能力的中学数学教学设计案例库建设”（JXAL22-02）；基于HPM的数学教学难点分析与突破策略研究（B/2022/03/90）.通讯作者：顾纤纤.10-122023年第10 期数学教学明本课题的学习符合学生的学习基础；从学生的学习特点看，通过九年多的数学学习，高一学生无论是数学抽象能力和逻辑推理（合情推理)能力，还是数学发现能力都得到大幅度提升，这些积累应该能够支持本课题的学习.综上所述，本课题的学习从理论上看是符合当前学生学情的，但个别基础较差的学生可能会存在学习困难，这需要教师对所教学生的学情事先进行调研并采取适当措施进行干预.【分析依据】在学情分析中，知识基础重在准确把握学习新知识的认知起点，从合情推理的角度看，就是要了解从教材地位与作用角度来看与所学知识存在合理联系的已有知识是否符合学生学情，即这些知识是否真正被学生所掌握？学习特点主要了解学生通常采用哪些学习方法？这些方法是否适应新知识的学习等，从合情推理的角度来看，就是要了解学生有没有掌握合情推理方法以及能否运用合情推理这一方法来探索发现新旧知识之间的联系；心理特点主要是要了解学生是否具有探索发现新旧知识之间联系的心向（奥苏贝尔语），从合情推理的角度看，就是要了解学生有没有或教师能不能激发学生运用合情推理探索直线与平面平行条件的心向.3教学目标设计（1）理解直线与平面平行判定条件的合理性，能用三种语言准确表达线面平行判定定理并能运用定理解决简单的数学问题（2）以实物模型为基础，经历“直观感知一操作确认一猜想验证”等过程，深刻体会数学抽象、推理验证、平移变换等数学思想方法,并在此过程中培养空间想象能力、抽象概括能力、合情推理能力.（3）经历操作、类比、归纳、交流等数学活动，体会学习数学乐趣，增强学好数学信心；在直线与平面的相对运动过程中，类比线线平行探索线面平行的本质；培养勤学好问、锲而不舍的钻研精神和追求严谨的科学态度.【分析依据】教学目标设计的关键在于准确把握学生的认知起点，并根据学生的认知起点来分析学生的可能发展区和最近发展区.从合情推理的角度看，教学目标应该与学生的已有知识之间存在合情合理的联系，或者说学生在教师的启发引导下能够运用合情推理来达成预设的教学目标.因此，在设计教学目标时不仅要根据学生头脑中的已有认知水平来探索合情合理的教学目标（维果斯基将其称为最近发展区），同时还需对所要达成的教学目标进行任务分析以确定教学目标的实现路径。就本节课而言，由于现实生活中存在大量线面平行的实物或图形，因此可以将学生的已有生活经验作为认知起点，考虑到学生证明线面平行的判定定理有一定困难，故将“理解直线与平面平行判定条件的合理性”作为一大教学目标；至于为何确定教学目标2，一方面是考虑到定理证明有难度，真正理解有困难，故通过“直观感知一操作确认一猜想验证”让学生充分感受并深度理解判定条件；另一方面，则是让学生在充分经历运用数学眼光观察世界、运用数学思维分析世界、运用数学语言表达世界的过程中，深刻体会数学抽象、推理验证、平移变换等数学思想方法，提升直观想象、数学抽象及逻辑推理（合情推理）等数学素养；而目标3不仅可以让学生在图形的运动变化过程中深刻理解线面平行的本质，提升学生的钻研精神和追求严谨的科学态度，而且可以克服定理难以证明带来的理解障碍.4教学重、难点分析4.1教学重点：如何通过合情推理发现并理解直线与平面平行的判定条件【分析依据】本课时虽然在定理的证明上降低了要求，但这并不意味着在其他方面也可以降低要求教材降低证明要求实际上是为了给定理的发现与验证“腾笼换鸟”，让学生的合情推理能力得到充分锻炼教师应该认识到，既然教材中不再要求证明，那学生对定理就会出现理解“真空”，这就需要在其他方面“找补”.找补的方法主要有两种：一是强化定理的发现过程；二是深化对定理的理解。而这两种方法都离不开合情推理，因为前者需要教师创新合理情境、提出启发性问题来引导学生采用实验、操作、类比等方法合情合理地提出并验证猜想；而后者则需要通过与线线平行进行类比来发现线面平行的本质.可见，如何通过合情推理发现并理解直线与平面平行的判定条件应是本节课的教学重点。10-132023年第10 期数学教学4.2教学难点：怎么想到要在平面内找出一条平行于已知直线的直线【分析依据】按照奥苏贝尔的有意义学习理论，学习的本质就是要将符号表示的观念以非任意的方式和在实质上（不是字面上）同学习者已经知道的东西联系起来2。那么，如果符号表示的观念难以以非任意的方式和在实质上同学习者已经知道的东西联系起来就会产生教学难点，或者也可以这样说，如果符号表示的观念是以牵强附会方式或不能在实质上同学习者已经知道的东西建立联系，那么就会出现学习困难.不过在日常教学中一般不太会出现后一种情况，除非教师犯科学性错误，但出现前一种情形的大有人在，因为许多教师连自己都不知道怎么想到要在平面内找出一条平行于已知直线的直线，那就更别指望这些教师会通过类比线线平行来理解线面平行的本质，因此就只能通过灌输的方式来让学生死记定理.由于这种联系不是在教师的启发引导下自然而然发现的，而是教师硬塞给学生的，因此自然就会成为教学难点.5教学、学法分析5.1教法设计本节课主要采用问题解决教学法与启发式教学法来进行教学.【分析依据】问题解决教学是教师通过创设问题情境，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程.事实上，在本节课中无论是课题的提出还是猜想的提出与验证都需要教师创设具有启发性的问题（问题情境)并引导学生围绕教师所提问题循序渐进地进行探索，学生才能在探索过程中自然而然地发现并真正（合情合理地）理解直线与平面平行的判定条件5.2学法设计本节课的学法主要有观察、操作、思考、猜想、验证等方式。【分析依据】由于本节课的教学重点是以学生熟悉的生活素材为基础，通过合情推理发现并理解直线与平面平行的判定条件.这就需要学生能充分运用观察、操作、思考、猜想、验证等学习方法来提出并验证猜想.比如，本设计中的折纸实验就需要学生在反复操作过程中发现只有当折痕与所判断直线平行时直线才会与所判断平面平行；又比如，线面平行本质要在类比线线平行的基础上大胆联想才能发现.6教学过程设计6.1复习旧知，引人课题问题1：上节课我们学习了直线与平面的位置关系，请同学们回想一下，直线与平面有哪几种位置关系？我们又是如何判断直线与平面位置关系的？思考完以后填写表1.表1直线在直线与直线与文字语言平面内平面相交平面平行图形语言符号语言公共点个数【设计意图】美国著名教育心理学家奥苏贝尔认为影响学习的关键因素是学习者认知结构中起固定作用的观念，因为只有在认知结构中具备了这种观念，才能使新旧知识之间建立合情合理的联系，为此，他提出了“先行组织者”概念。复习的目的就是为新知识的学习提供先行组织者，为新的学习任务提供观念上的固着点和认知框架，增强新旧知识之间的可辨认性，促进学习的迁移2 在本节课中，提出问题1一方面是为了复习直线与平面的位置关系；另一方面则考虑到“直线与平面的位置关系”比“直线与平面平行”更具概括性，并且“直线与平面的位置关系”是学生已经掌握了的上位概念，概括性高于“直线与平面平行”，而“直线与平面平行”又高于将要学习的正式材料“直线与平面平行的判定”因此，如果学生事先学习了“直线与平面的位置关系”这个组织者，就能比较自然地将这些高度抽象化的概念纳入这个组织者之中.问题2：在我们的生活中，有哪些实物能给我们线面平行的直观感受？【设计意图】直线与平面平行在现实生活中素材非常丰富，提出问题2 不仅可以将直线与平面平行判定定理的学习充分建立在学生熟悉的生活经验上，而且可以通过这一活动培14102023年第10 期数学教学养学生运用数学眼光观察世界的能力，提升学生的数学抽象素养，同时还可以承上启下、自然而然地引出问题3、问题4.问题3：你是怎么判断它们平行的？【设计意图】要在现实生活中找出直线与平面平行的素材对学生来说并不困难，比如：门的外沿和墙面、黑板的上沿和天花板都是唾手可得的例子.提出问题3一方面是为了给学生造成悬念，激发学生的探究热情；另一方面则是为了巧妙引出本节课的研究主题一一如何判断直线与平面平行.问题4：有谁能将这个生活中的问题抽象成数学问题？【设计意图】问题4不仅可以让学生依托自己熟悉的生活情境提出本节课的核心问题一一如何判断直线与平面平行？而且可以将其作为新知识的生长点，让学生自始至终都能围绕这一核心问题来进行探究，实现真正意义上的问题解决教学。问题5：如何判断直线与平面平行？【设计意图】在前面的学习中学生已经学过直线与平面平行的定义，反应快的学生可能马上会想到利用定义来进行判断，对此，教师应当及时给予肯定.但同时，教师应该让学生认识到利用定义判断线面平行的不便之处：直线是无限延长的，平面是无限延展的，在有限的空间里难以操作.此时，教师可以试探性地追问学生：你怎么利用定义来进行判定？将学生逼到墙角.让学生不得不另寻别策.面对这一问题，有的学生可能会一筹莫展，也有学生可能会有奇思妙想，此时教师不应急于对学生的想法做出评价，而应在学生心求通而未得之际进一步创设启发性问题情境来激发学生的探究欲望.6.2合作交流，探究新知活动一：折纸实验取出预先准备好的不规则四边形纸（如图1），引导学生尝试折叠，展示直线在平面内、直线与平面相交两种情况，再提问学生：怎样折叠才能使得直线与平面平行？【设计意图】这里创设折纸情境，既可以让学生通过自己的动手操作更好感知并找到线面平行的关键条件；又可以在这一过程中充BaAD图1分经历观察、操作、猜想、验证等活动并通过这些活动培养数学抽象和逻辑推理（特别是合情推理）能力；同时还可以让学生在生动有趣的数学活动中激发学习兴趣，充分体会数学回归生活这一教育理念.在这里之所以选用不规则四边形纸是因为平行四边形等特殊图形容易给学生造成心理暗示，不利于学生思维的拓展。问题6：上述演示的直线与平面的位置关系为什么不同？同样是折叠，两种折叠方式到底哪里不一样？【预设】学生通过动手操作、合作交流不难发现关键在于折痕，只要直线a与折痕平行，直线a就与平面平行.问题7：当直线与平面平行时，这条折痕有怎样的特点？【设计意图】曹才翰教授认为数学概念的形成一般要经过：辨别、分化、类化、抽象、检验、概括、形式化这七个阶段.这七个阶段的前四个阶段需要学习者通过观察、实验、抽象及归纳、类比等合情推理方法猜想出这类概念的本质属性，验证则是对所发现的猜想进行检验.曹先生的概念形成模型从本质上看就是合情推理在数学概念学习中的具体应用.提出问题7 是希望学生通过对前面的操作活动进行抽象、归纳、类比发现线面平行的本质特征一“折痕在平面内”且“折痕与已知直线平行”,从而为后面进一步抽象出线面平行的判定条件提供现实基础.提问“这条折痕有怎样的特点”是主要考虑到一些学生的思维方向不够清晰，故通过这一问题来对学生进行适当启发，让学生尽可能少走弯路；另外，“抓特点”也是一种重要的研究方法，因此提出这一问题还可以促进学生科研素养的培养、深化学生对“平面内这条直线”的认识。15102023年第10 期数学教学问题8：经过活动一，我们能得出怎样的结论？请同学们大胆猜想一下【设计意图】波利亚认为：“数学家的创造性工作成果是论证推理即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的.只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置.3”数学课程标准特别强调学生发现问题、提出问题能力的培养，这两者都需要依靠合情推理.通过问题7，学生一般可以发现已知直线a与平面平行时折痕所具有的特点,但一时还难以用数学语言来进行表征，这就相当于学生已经发现了问题，但未必能提出问题.因此，提出问题8 的目的是让学生在教师的启发引导下将“折痕与已知直线平行”这一生活化的语言抽象为数学语言，实现数学概念的形式化.问题9：刚才我们猜想得出结论：如果平面外一条直线与该平面内的一条直线平行，那么平面外的直线与这个平面平行.这个结论是否一定正确呢？这就需要同学自已去验证了，大家有什么想法吗？【设计意图】猜想以后自然就是证明（验证），考虑到课标的实际要求，这一猜想只需要验证，不需要证明.提出“大家有什么想法吗”是希望将探究的主动权交给学生，让学生自己提出研究思路、研究方案.活动二：猜想验证问题10：如图2,在平面内任取一条直线b,过平面外一点P作直线/b，然后将平面进行变动，观察直线与平面之间有什么关系？为什么？BabPAC图2【设计意图】课标中虽然只要学生验证猜想，不需要证明猜想，但验证猜想未必比证明猜想来得容易，因为证明更多的是演绎推理，而验证则主要采用合情推理.因此要使验证真正起到效果需要教师充分发挥主观能动性.由于在判定直线与平面平行时平面内的直线事先一般是不存在的，因此这是设计验证实验的难点所在.为了充分突破这一难点，这里反其道而行之，先在平面内任选一条直线b，然后再将这条直线平移到平面外，此时，这条直线满足线与面平行的判定条件，然后让平面在空间运动，请学生观察直线a与平面能否保持平行关系？这里利用GeoGebra进行演示，不仅可以充分激发学生的求知欲，而且能让学生在图形的运动变化中把握事物的不变性，可以强化学生的感性认识、增强验证效果.问题11：同学们还有没有什么疑问？【设计意图】经过前面的两个活动，学生虽然对直线与平面平行的判定条件有了一定的了解，但可能还只是“知其然”，而未必“知其所以然”，这时教师可以适时总结获得的结论并提问学生还有没有什么疑问，这样设计一是为了让学生说出自己心里的疑惑；二是为了更好了解学生对新知识的掌握程度.预设：善于思考的学生可能会疑惑“我们是怎么想到要在平面内找到这样一条直线的？”教师可以让学生先思考这个问题，如果学生无法回答，可适当给予提示，让学生回忆之前学过的直线与直线平行的内容并追问学生：直线与直线平行的本质是什么？活动三：深度探索问题12：直线与平面平行的本质是什么？a图3提示：能否类比线线平行的本质得到线面平行的本质？【设计意图】本节课的难点是怎么想到要在平面内找出一条平行于已知直线的直线，这2222222210-162023年第10 期数学教学条直线是怎么来的？弄清楚这两点也就清楚了线面平行的本质.这一问题很重要，但也很困难。为此，可以先让学生回忆线线平行的本质，然后再与线线平行的本质进行类比得到线面平行的本质.通过之前的学习，学生应该知道线线平行的本质是通过平移两条直线可以重合，因此运用类比推理，学生不难想到线面平行的本质是通过平移，直线可以落在平面内，而“直线落在平面内”也就是“平面内的一条直线”的来源.为了让学生更好地认识到这一点，这里再次呈现动图，来强化学生的感性认识.6.3课堂练习，巩固新知例1关判断下列说法是否正确，并说明理由，若不正确，请补充条件使之成立.(1)若at,a/b,则a/.(2)若a,bC,则a/.(3)若b C,a/b,则a/.例2 女如图4,在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、A D 的中点.求证：EF/平面BCD.AFEDB图46.4课堂小结，梳理新知课堂小结时，教师可以提出下列问题引导学生总结本节课所学的知识：（1）通过“直线与平面平行的判定”的学习，你有什么收获？（2）判断直线与平面平行有哪些方法？（3）本节课你学到了哪些数学思想方法？在认识上有怎样的提高？学生口头总结本节课所学内容，教师进行梳理与归纳.总结：本节课学习了直线与平面平行的判定定理，使用这个判定定理的关键就是找到“线线平行”，并将线面平行问题转化为线线平行问题来解决【设计意图】通过这些问题可以让学生系统梳理本节课所学的知识，提问学生“你有什么收获？”不仅可以将学生的收获延伸到过程与方法、情感态度价值观等方面，而且有利于提高学生的自我评价能力，提升学生的数学素养参考文献1钟志华,刘鸿坤.基于联系观点的数学教学设计一一以“方程的根与函数的零点”为例J.数学教学,2 0 2 0（2）：2 1-2 5.2D.P.奥苏贝尔，等.教育心理学：认知观点M.余星南,宋钧,译.北京：人民教育出版社,1994.3G.波利亚.数学与猜想（第一卷）M.李心灿，王日爽，李志尧，译.北京：科学出版社,19 8 4:v.数学教学2 0 2 4年征订启事数学教学杂志创刊于1955年，是由华东师范大学主办的全国历史最悠久的“数学教育”类刊物之一，本刊致力于研究初中和高中数学教育领域内的新问题，交流各地新课程新教材实施中的先进经验，关注国内外数学教育的信息和动态，立足上海，面向全国.本刊一贯坚持为读者和作者服务的宗旨，认真办刊，力争搭建好作者和读者沟通交流的学术平台，成为广大读者的良师益友.本刊为月刊，每月12 日出版，定价为每期7 元，邮发代号4357，欢迎广大新老读者在全国各地邮局订阅，或者点击二维码也可直接订阅.