天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解.doc

.第一章 随机变量习题一1、写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 = (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 = (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 =(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 = (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 = 其中分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U =解: ( 1 ) U = e3 ， e4 ， e10 。其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 、 10 ( 2 ) U = e3 ， e4 ， 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系(1)与 互不相容 (2)与 对立事件(3)与 互不相容 (4)与 相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件 解: 互不相容:;对立事件 : 且3、设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件(1)A发生，B与C不发生 - (2)A与B都发生，而C不发生 - (3)A,B,C中至少有一个发生 - (4)A,B,C都发生 -(5)A,B,C都不发生 - (6)A,B,C中不多于一个发生 -(7)A,B,C中不多于两个发生-(8)A,B,C中至少有两个发生-4、盒内装有10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件A表示“取到的球的号码为偶数”，事件B表示“取到的球的号码为奇数”，事件C表示“取到的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.(1) 必然事件 (2) 不可能事件(3) 取到的球的号码不小于5 (4) 1或2或3或4或6或8或10(5) 2或4 (6) 5或7或9(7) 6或8或10 (8) 2或4或5或6或7或8或9或105、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.(1)成立(2) 不成立(3)不成立(4) 成立(5)若，则成立(6)若，且，则 成立(7)若，则成立(8)若，则 成立7、设一个工人生产了四个零件，表示事件“他生产的第i个零件是正品”，用,的运算关系表达下列事件.(1)没有一个产品是次品； (1) (2)至少有一个产品是次品；(2) (3)只有一个产品是次品；(3) (4)至少有三个产品不是次品4)8. 设 E、F、G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ： (1)(2) （3） 解 :(1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 9、设是两事件且，问(1)在什么条件下取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么条件下取到最小值，最小值是多少？解: (1)(2)10. 设 事 件 A， B， C 分 别 表 示 开 关 a， b， c 闭 合 ， D 表 示 灯 亮 ， 则可用事件A，B，C 表示：(1) D = ；(2) = 。 11、设A,B,C是三事件，且， 求A,B,C至少有一个发生的概率.解: 12. (1)设事件A , B的概率分别为 与 ，且 A 与 B 互 斥，则 = . (2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只球 ，则取到的3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _。 (3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率 等于 _。 (4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E的三个相互独立的事件， 已知P(A1) = a , P(A2) = b，P(A3) = g ，则A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1(1a)(1 b)(1g) . (5) 一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球， 则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 _。13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求(1)恰有90个次品的概率；(2)至少有2个次品的概率. 解: 14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的， 求“中”的概率.解:“甲中”“乙中”15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概 率是多少？ 解: 16、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？解：设所求事件“至少有两个人的生日在同一个月的”“任何两个人的生日都不在同一个月”17、将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概 率各是多少？解：3个球放入4个杯子中去共有种放法，设表示杯子中球的最大个数为n的事件,表示每只杯子最多只能放一个球，共有种方法，故;表示有一只杯子中放2个球，先在3个球中任取2只放入4个杯子中的任意一只，共有种方法，剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3种放法，故包含的基本事件数为，于是 ;表示有一只杯子中放3个球，共有4种方法，故.18. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 内 ( 其 中 D 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2所 围 成 的 ) ， 设 事 件 A 为： 质 点 落 在 直 线 y = 1 的 下 侧 ， 求 P(A) 。 19、(1)已知，求(2)已知，求 解: (1)(2)20、一批产品共100个,其中有次品5个，每次从中任取一个，取后不放回, 设( i =1，2，3，)表示第i次抽到的是次品，求： ， ， ， ，21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂的合格率是80%。若用事件、分别表示甲、乙两厂产品，B表示合格品。 试写出有关事件的概率. (1) 70%(2) 30% (3) 95%(4) 80% (5) 5% (6) 20%22、袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一球，每人取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，最后一人取得红球的概率各是多少？解: 解：设第i个人取得红球的事件,则为第i个人取得白球的事件，显然 , 同理23、某种动物由出生活到20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4，问现 年20岁的这种动物活支25岁以上的概率是多少？ 解：设为由出生活到20岁的事件，为由出生活到25岁的事件则所求事件的概率为24、十个考签中四个难的，三人参加抽签，(不放回)甲先、乙次、丙最后，记事件 A,B,C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求.解：25. 设 0 P(C) 1 ，试 证 ：对 于 两 个 互 不 相 容 的 事 件 A，B，恒 有 P ( A B )C = PAC + PBC证: 26、设事件A与B互斥，且，证明.证明：由于，故27、一批零件为100个，次品率为10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次才 能取得正品的概率是多少？解：设为第i次取到正品，由于次品率为10%，故100个零件约有90个正品，次品10个，设为第三次抽到正品，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，则由一般乘法公式得28、设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000 个男人和 2000个女人中任意抽查一人， 求 这 个 人 是 色 盲 者 的 概 率。解: A ：“ 抽到的一人为男人”；B ： “ 抽到的一人为色盲者” 则 29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球，M只红球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？ 解：设表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，所求事件由全概率公式：易知：于是30、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例 分别为25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是5%,4%,2% (1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？ (2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？解：设“所取出的一件产品是废品”，“产品系甲车间生产”，“产品系乙车间生产”， “产品系丙车间生产”已知(1)由全概率公式：(2)由贝叶斯公式：所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.31、如图1,2,3,4,5表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为，且设 各继电器接点闭合与否相互独立，求至是通路的概率.13245LR解: 设为第i只继电器闭合的事件，为有电流从L流向R的事件，已知显然故 32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙 ，丙 ，丁厂生产 ” B ： “ 所 取 一 个 元 件 为 不 合 格 品 ” 则 ， ， ， ， ， ， 由 全 概 率 公 式 : = 由 贝 叶 斯 公 式 :故 该 盒 产 品 由 乙 厂 生 产 的 可 能 性 最 大33、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6。若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.解：设表示“恰有i人击中飞机”，为飞机被击落， 同理 易知，由全概率公式 34、袋中装有只白球，一只红球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只白 球，这样继续摸下去，问第次摸球时摸到白球的概率是多少？解：设事件表示第次摸到白球，则事件表示第次摸到红球。因为袋中只有1只红球，而每次摸出一球总换入一只白球，故为了第k次摸到红球，前k-1次一定不能摸到红球，因此等价于下列事件: 在前k-1次摸球时都摸到白球而第k次摸出红球，所以 因此第2章一维随机变量 习题2一. 填空题：1.设 离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 是 ， 则 用 F (x) 表 示 概 = _。 解：2.设 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 为 则 P 0x1 = _。 解： P 0x0， 则 C 的 值 应 是 _ e-l_。解： 5 设 随 机 变 量 x 的 分 布 律 是 则 = 0.8 。解： 令 得 6.若 定 义 分 布 函 数 ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是 F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F ( ) = 0 ， F ( + ) = 17. 随机变量，记， 则随着的增大，之值 保 持 不 变 。8. 设 x N ( 1， 1 )，记x 的概率密度为 j( x ) ，分布函数为 F ( x )，则 0.5。9、分别用随机变量表示下列事件(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件.“收到呼唤3次” ，“收到呼唤次数不多于6次”(2)抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件.“长度等于10cm” = ；“长度在10cm到10.1cm之间” = (3)检查产品5件，设A为至少有一件次品，B为次品不少于两件，试用随机变量表示事件.解: 10 、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以x表示取出的3只球中的最X345 大号码，则X的分布律为: 二. 计算题：1、将一颗骰子抛掷两次，以表示两次所得点数之和，以表示两次中得到的小的点数，试分别写出的分布律.234567891011122、设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数.求X的分布律；.X0123、(1)设随机变量X的分布律为：为常数，试确定常数.解: 因 , 故 (2)设随机变量X的分布律为：，试确定常数. 4、飞机上载有3枚对空导弹，若每枚导弹命中率为0.6，发射一枚导弹如果击中敌机则停止，如果未击中则再发射第二枚，再未击中再发射第三枚，求发射导弹数的分布律.X1230.60.240.165、汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地。设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4，求汽车首次停止前进(即遇到红灯，或到达目的地)时，已通过的信号灯的分布律.解：汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量，用x表示x可取值为0,1,2,3,4，又设A的表示事件：汽车将通过时第i盏信号灯开绿灯，由题意表示已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯),故表示已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯),故.同理于是x的分布律为即x012340.40.240.1440.08640.12966、自动生产线调整以后出现废品的机率为，生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的分布律.x012k7、一大楼内装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻：(1)恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2)至少有3个设备被使用的概率是多少？(3)至多有3个设备被使用的概率是多少？(4)至少有1个设备被使用的概率是多少？8、设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率.(2)进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率.解：(1)5次独立试验,指示灯发出信号=(2)7次独立试验,指示灯发出信号 9、设某批电子管正品率为，次品率为，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管子就不再继续测试，试求测试次数的分布律.解：解：设测试次数为x，则随机变量x的可能取值为：，当时，相当于前 次测得的都是次品管子，而第k次测得的是正品管子的事件，10、每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？解：已知n次独立射击中至少击中一次的概率为；(1)要使，必须，即射击次数必须不小于次.(2)要使，必须，即射击次数必须不小于次11、电话站为300个用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，试用泊松定理近似计算，在一小时内有4个用户使用电话的概率.解：由二项分布得现用泊松定理近似计算，,故12、某一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？ (利用泊松定理计算)解：设x为发生事故的次数，则用泊松定理计算，13设X服从泊松分布，且已知，求解：，由，得，14、. 求离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 律 为 ， ( k = 1， 2， )， 的 充 分 必 要 条 件。解：由且 且 b 015 设x服从参数l = 1的指数分布 ，求方程 4x2 + 4xx + x + 2 = 0无实根的概率 。 解： 知 故 16. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为 且 知 x 在 区 间 ( 2，3 )内 取 值 的 概 率 是 在 区 间 ( 1，2 ) 内 取 值 的 概 率 的 二 倍 ，试 确 定 常 数 A ，B 。解：由 条 件 即 知 有 又 由 即 解 得 A = ，B = 17、设有函数 试说明能否是某随机变量的分布函数.解：不 能 因 为 当 时 ， j ( x ) = sin x 0 故 在 上 ， j ( x ) = sin x 不 是 非 负 。18、设某人计算一连续型随机变量x的分布函数为： 试问他的计算结果是否正确？ 答：不正确19、在区间上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标，这个质点落在中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求x的分布函数.解：P 0 0 )解: 正 方 体 体 积 h = x 3 函 数 y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 数 h 的 概 率 密 度 为 31. 设 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为 求 随 机 变 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。解：函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y ， 当 x 在 ( 0 ， + )上 变 化 时 ， y 在 ( ， + ) 上 变 化 ， 于 是 h 的 概 率 密 度 为 32. 已 知 某 种 产 品 的 质 量 指 标 x 服 从 N(m , s2)， 并 规 定 | x m | m时 产 品 合 格 ， 问 m取 多 大 时 ， 才 能 使 产 品 的 合 格 率 达 到 95%。 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 (x)的 值 ： (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , (1.65) = 0.05, (0.06) = 0.475 .解：P | x m | m = 0.95，此式等价于 Pmm x m + m = 0.9因 为 x 服 从 N(m , s2 )， 故 Pmm x m + m = 查 表 得 m = 1.96s 故 m 取 1.96s 时 才 能 使 产 品 合 格 率 达 到 95%。第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点落在矩形域的概率为 .2、的分布函数为，则 0 .3、的分布函数为，则4、的分布函数为，则5、设随机变量的概率密度为，则 .6、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.01231003007、设是的联合分布密度，是的边缘分布密度，则 1 .8、二维正态随机变量，和相互独立的充要条件是参数 0 .9、如果随机变量的联合概率分布为12312则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ， . 10、设相互独立，则的联合概率密度 ，的概率密度 .12、 设 ( x 、 h ) 的 联 合 分 布 函 数 为 则 A =_1_。二、证明和计算题1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为，第二次取的球上标的数字，求的联合分布律. X Y12102解： 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设为投入1号信箱的信数，为投入2 号信箱的信数，求的联合分布律.解：的可能取值为0,1,2,3的可能取值为0,1,2,3 012301020030003、设 函 数 F(x , y) = ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 因 P0 x 2， 0 h 1= F(2 , 1) F(0 , 1) F(2 , 0) + F(0 , 0)= 111 + 0 = 1 0故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。4、设，有证明：可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。证明：易验证，又 符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。5、在 0, 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y，求的值。解：，6、设随机变量的密度函数为 (1)确定常数(2)求的分布函数(3)求解：(1)(2)(3)7、设随机变量的概率密度为 求解：8、设随机变量在矩形区域内服从均匀分布， (1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量是否独立？解：(1)根据题意可设的概率密度为于是，故即即(2)因为，故与是相互独立的.9、随机变量的分布函数为求：（1）边缘密度；（2）验证X,Y是否独立。解：（1）， . , (2) 因为，故与是相互独立的.10、一电子器件包含两部分，分别以记这两部分的寿命(以小时记)，设的分布函 数为(1)问和是否相互独立？ (2)并求解：(1) 易证，故相互独立.(2)由(1)相互独立11、设 随 机 变 量 (x , h)的 分 布 函 数 为 求：( 1 ) 系 数 A , B及 C的 值 ， ( 2 ) (x , h)的 联 合 概 率 密 度 j(x , y)。解：( 1 ) 由 此 解 得 ( 2 ) 1312、设相互独立且分别具有下列表格所定的分布律0 试写出的联合分布律.解：01313、设相互独立，且各自的分布律如下：1212求的分布律.解：的分布律为的全部取值为2,3,4 14、 X,Y相互独立，其分布密度函数各自为 求的密度函数.解：的密度函数为，由于在时有非零值，在即时有非零值，故在时有非零值当时，故第4章 随机变量的数字特征一、填空题1、设为北方人的身高，为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于 2、设为今年任一时刻天津的气温，为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于 .3、已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数n= 6 , p= 0.4 .4、已知服从，则. = 1 ,= 1/2 .5、设的分布律为012则9/4 .6、设相互独立，则协方差 0 . 这时，之间的相关系数 0 .7、若是随机变量的相关系数，则的充要条件是.8、是随机变量的相关系数，当时，与 不相关 ，当时， 与 几乎线性相关 .9、若，且相互独立，则 36 .10、若为常数，则.11、若相互独立，则 0 .12、若随机变量服从上的均匀分布，则 .13、若，则 12 ， 85 ， 37 .14、已知，则 30 .15、若随机变量的概率密度为，则 2 ， 1/3 .二、计算题1、五个零件中有1个次品，进行不放回地检查，每次取1个，直到查到次品为止。设 表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品？ 解: 的分布律为:123451/51/51/51/51/5 (1+2+3+4+5)=3. 答：略2、某机携有导弹3枚，各枚命中率为，现该机向同一目标射击、击中为止，问平均射 击几次？ 解: 设为射击次数，则的分布律为:123 答：略3、设的密度函数为，求、 解: 故 4、(拉普拉斯分布)的密度函数为，求. 、解: 故 5、设连续型随机变量的分布函数 求 、. 解: 为连续型随机变量， 为连续函数. 可解得; , .的概率密度 =0 令 ，则 6、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1、0.2、0.3, 假设它们的状态相互独立，以表示同时需调整的部件数，求、解: 设表示第个部件需调整，=1,2,3 则 故 7、对圆的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间内，求圆面积的数学期望.解: 因为，所以的密度 设=“圆面积”，则 =，所以.8、设随机变量、，求、.解: 显然 所以 . 123-10.20.1000.100.310.10.10.19、设的分布律为求 .解: 10、已知随机变量的概率密度为求的概率密度解: 所以 所以 11、设随机变量的密度函数为 求. 解: ： =.12、设随机变量和相互独立，且，求 . 解: 13、设 二 维 随 机 变 量 的 均 值、存 在 ，证 明 ： 。 证：因为 所以 14、证 明 ： 如 果 随 机 变 量 与 相 互 独 立 ， 且， 存 在 ， 则 证： 15、设区域为，二维随机变量服从上的均匀分布，判断、 的相关性、独立性.解: 显然，二维随机变量的概率密度函数为 所以 因此 同样可得 又 所以 故、不相关，但由于 所以与不相互独立.16、设随机变量和的联合分