山东省威海市威海文登区2021届高三数学上学期期中试题.doc

山东省威海市威海文登区2021届高三数学上学期期中试题

山东省威海市威海文登区2021届高三数学上学期期中试题

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山东省威海市威海文登区2021届高三数学上学期期中试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的.
1.若，则的虚部为
A. B. C. D.
2.设全集，集合则=
A. B. C. D.
3.若是平面外的两条直线，且，则是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.设复数满足，则的最大值为
A. B. C. D.
5.函数与的图象如图，则下列不
等式一定成立的是
A. B. C. D.
6.已知表示不超过实数的最大整数，若函数，函数的零点是，则
A. B. C. D.
7.《几何原本》卷II的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以直接完成的无字证明为
A. B.
C. D.
8.已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.在数列中，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是
A.不可能为 B.“等差比数列”中的项不可能为
C.等差数列一定是“等差比数列” D.等比数列一定是“等差比数列”
10.函数对任意总有, 当时，，，则下列命题中正确的是
A.是上的减函数 B.在上的最小值为
C.是奇函数 D.若，则实数的取值范围为
11.四边形中，
则下列表示正确的是
A. B.
C. D.
12.在中，内角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则下列说法正确的是
A.的最小值是 B.的最大值是
C.的最小值是 D.的最小值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．
13.在中国古代的音乐理论中，“宫、商、角、徵、羽”这五个音阶在确定第一个音阶之后，其余的音阶可采用“三分损益法”生成.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推，后来按照这种方法将音阶扩充到个，称为“十二律”.若能发出第六个基准音的乐器的长度为，那么能发出第四个基准音的乐器的长度为 .

14.已知单位向量满足.设，则向量的夹
角的余弦值为 .
15.如右图所示，一块长为，宽为缺一角的长方形木
板，是直线段.木工师傅想要在的中点处作延
长线的垂线，可是直角曲尺长度不够，无法直接画出此线.请
帮忙在边上找到一点，使得木工师傅能精准地完成
该项任务，此时的长度为______.
16.如图，设的内角的对边分别为，，且.若点是外一点，，则当 时，四边形的面积的最大值为 .（注：第一空得3分，第二空得2分）

四、解答题：本题共6小题，共70分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中.若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
设等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，设前项和为.若 ， ，且.是否存在大于的正整数，使得成等比数列？
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

18.（本小题满分12分）
将函数的图象向右平移后得到图
象，已知的部分图象如右图所示，该图象与轴
相交于点，与轴相交于点、，点为最
高点，且．
（Ⅰ）求函数的解析式，并求出在上的递增区间；
（Ⅱ）在中，、、分别是角、、
的对边，,且，求的最大值．

19.（本小题满分12分）
已知向量，，函数.
（I）若，当时，求的值域；
（II）若为偶函数，求方程在区间上的解.
20．（本小题满分12分）
已知正项数列的前项和为且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）当，（均为正整数）时，求和的所有可能的乘积
之和.

21.（本小题满分12分）
已知函数.
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）若时，，求实数的取值范围.

22.（本小题满分12分）
已知函数，.
（I）讨论在区间上的单调性；
（II）判断在区间上零点的个数，并给出证明.

高三数学答案 2020.11
一、 单项选择题：
二、 多项选择题: 9. 10. 11. 12.
三、 填空题: 13. 14. 15. 16.
四、解答题:
17. （10分）解：设的 公差为，的公比为，
由题意知，所以， …………2分
整理得，因为，所以，所以. …………4分
（1） 当选取的条件为①②时，有，所以，
解得. …………5分
所以.
所以， …………8分
若成等比数列，则，
所以，解得,
因为为正整数，所以不符合题意，此时不存在. …………10分
（2） 当选取的条件为①③时，有，所以，
解得. …………5分
所以. …………7分
所以， …………8分
若成等比数列，则，
所以，解得或（舍去）
此时存在正整数满足题意。 …………10分
（3） 当选取的条件为②③时，有，所以，
解得. …………5分
所以.
所以， …………8分
若成等比数列，则，即，
所以，解得,
因为为正整数，所以不符合题意，此时不存在. …………10分
18. （12分）解：（Ⅰ）由题意知
由于，则，即 …………1分
又由于，所以.
因为，则 ， ………… 2分
即 . …………3分
当时，
得到 …………4分
所以在上的递增区间为和.…………6分
（Ⅱ）,
则 …………8分
由余弦定理得 …………10分
，当且仅当时取等.
故的最大值为 …………12分
19. （12分）
解：（I）.………2分
当，. ……………3分
由， …………5分
所以的值域为. ……………6分
（II）若为偶函数，则恒成立，
即成立，整理得.…9分
所以由得. ……………10分
又. ………………12分
20．（12分）解：（Ⅰ）∵ …1分
两式相减得， …………2分
由得，又.…………3分
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以 . …………5分
（Ⅱ）由和的所有可能乘积（，）…………6分
可构成下表
…………8分
设上表第一行的和为，则 …………10分
所以…＋＝. …………12分
21.（12分）
解（I）当时，，，，所以切线斜率， ………………2分
又，所以切线方程为，即. ……………4分
（II），. …………5分
当时，，所以在上单调递增，
所以. ……………7分
（1）当即时，，所以在上单调递增，所以，满足题意. ……………9分
（2）当即时，必存在当，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以不恒成立，所以不满足题意. …11分
综上，的取值范围为. ……………12分

22.（12分）解（I）
. ……………2分

所以在上单调递增， ……………3分
在上单调递减. ……………4分
（II）在区间上有且仅有个零点. ……………5分
证明：令
所以 ……………6分
① 当时，因为，
单调递增， ………………7分
又.上有一个零点，…………8分
②当，
恒成立.
上无零点. ……………………9分
③当
上单调递减. ………………………10分
，
上必存在一个零点. ………………………11分
综上，在区间上有且仅有个零点. ……………………12分
（说明：（II）的证法2：证明在区间上有且仅有个零点，等价于证明方程在上根的个数，在同一坐标系中分别画出函数的图象，求导可以证明在上单调递减，且，在单调递减，在上单调递增，且……若证明过程步骤交代不清，适当扣2-3分）.