贵州省铜仁市伟才学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题-理.doc

贵州省铜仁市伟才学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理

贵州省铜仁市伟才学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理

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贵州省铜仁市伟才学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求函数值域求得集合，由此求得两个集合的交集.
【详解】由题，，.
故选A.
【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查指数函数的值域，属于基础题.
2.已知复数z满足，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题意，得到，根据复数的除法运算法则，以及复数模的计算公式，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数的除法运算法则，以及复数模的计算公式即可，属于基础题型.
3.“”是“直线与圆相切”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简直线与圆相切，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为直线与圆相切，
所以.
所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选A
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4.已知点 P(3,4) 在角的终边上，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义即可求出答案.
【详解】因为点 P(3,4) 在角的终边上,所以,
,
故选:D
【点睛】本题考查了三角函数的定义,三角函数诱导公式,属于基础题.
5.已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，故选.
6.若，，，则实数，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用幂指对函数的单调性，比较大小即可.
详解】解：，，，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了指对函数的单调性及特殊点，考查函数思想，属于基础题.
7.的展开式中的系数为
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
【答案】C
【解析】
分析：写出，然后可得结果
详解：由题可得
令,则
所以
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．
8.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题考察函数的单调性与奇偶性
由函数的奇偶性定义易得，，是偶函数，是奇函数
是周期为的周期函数，单调区间为
时，变形为，由于2>1,所以在区间上单调递增
时，变形为，可看成的复合，易知为增函数，为减函数，所以在区间上单调递减的函数
故选择A
9.“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙
C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙
【答案】A
【解析】
【分析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
10.函数的零点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
因为和在均为增函数，所以在单调递增，所以函数至多一个零点，再给赋值，根据可得函数在上有一个零点
【详解】因为与均在上为增函数，所以函数至多一个零点
又，，，即函数在上有一个零点
答案选B
【点睛】零点问题可根据零点存在定理进行判断，也可采用构造函数法，根据构造的两新函数函数交点个数来确定零点个数
11.如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率.
【详解】，
又，
，
豆子落在图中阴影部分的概率为.
故选A.
【点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.
12.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）
13.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）.
【答案】140
【解析】
【详解】先从7人中任取6人，共有种不同的取法．
再把6人分成两部分，每部分3人，共有种分法．
最后排在周六和周日两天，有种排法，
∴按照分步计数原理可知有种．
故答案为140

14.函数在点处的切线方程是__________．
【答案】
【解析】
分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.
详解：的导数为，
在点（0,1）处的切线斜率为，
即有在点（0,1）处的切线方程为.
故答案为.
点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线在点的导数就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.
15.已知，则a与b的大小关系______．
【答案】a＜b
【解析】
【分析】
可先利用作差法比较两数平方大小，然后得出两数的大小关系.
【详解】解：因为，，
所以，
因为，
所以，
而，
所以得到.
【点睛】本题考查了综合法与分析法比较两数的大小关系，解题时可先用分析法进行分析，再用综合法进行书写解题过程.
16.__________．
【答案】
【解析】
【分析】
只需求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理，即可求出定积分的值．
【详解】．
故答案为：
【点睛】本题主要考查定积分的计算，求解的关键是掌握微积分基本定理及相关函数的导数．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知复数，且为纯虚数．
（1）求复数；
（2）若，求复数的模．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
(1)先计算得到，再根据纯虚数的概念得到b的值和复数z.(2)直接把复数z代入计算求
【详解】
∵是纯虚数
∴，且
∴，∴

∴
【点睛】(1)本题主要考查纯虚数的概念和复数的运算，考查复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了.
18.已知.
求：（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1） ；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
赋值法
（1）令得：；令可得.
（2）令,再两式相减可得.
（3）令,再两式相加可得.
【详解】解 （1）令，则 ①
令，则②
又，则
所以
（2）两式相减，得

（3）两式相加，得

【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如， ()的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可．
(2)对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．
(3)若，则展开式中各项系数之和为．
19.求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据相乘形式的函数的导数公式计算；（2）根据相加形式的函数的导数公式计算；（3）根据相除形式的导数公式计算.
【详解】解：（1）y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
（2）
（3）
【点睛】本题考查导数的四则运算法则，属于基础题型.
20.已知函数.
(I) 求的减区间;
(II)当时, 求的值域.
【答案】(I) (II)
【解析】
【分析】
(I)对函数进行求导，求出导函数小于零时，的取值范围即可．
(II)利用导数求出函数的增区间，结合（1），判断当时，函数的单调性，然后求出最值．
【详解】解: (I) 由函数, 求导
当, 解得
即的减区间
(II) 当, 解得
即在上递减, 在上递增

故的值域
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及在闭区间上的最值问题．
21.设函数的图像与直线相切于点．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性．
【答案】（1）（2）单调递减区间为,单调递增区间为.
【解析】
【详解】(1)根据建立关于a,b的方程.
（2）由得函数的单调增区间；由得函数的单调减区间.
解：(1)求导得．由于的图像与直线相切于点，所以，
即，解得:.
(2)由得：
令f′(x)＞0，解得 x＜-1或x＞3；又令f′(x) < 0，解得 -1＜x＜3．
故当x(, -1)时，f(x)是增函数，当 x(3,)时，f(x)也是增函数，
但当x(-1 ，3)时，f(x)是减函数．
22.已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
【答案】（Ⅰ）和.
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；
(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；
(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.
【详解】（Ⅰ），令得或者.
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即；
综上可得所求切线方程为和.
（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；
而，所以，即；
同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以是中的较大者，
若，即时，；
若，即时，；
所以当最小时，，此时
【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.