黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三数学下学期5月第四次模拟考试试题-理.doc

黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三数学下学期5月第四次模拟考试试题 理

黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三数学下学期5月第四次模拟考试试题 理

年级：
姓名：

11

黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三数学下学期5月第四次模拟考试试题 理

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题 5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
3.圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数，，则“存在使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5.早在世纪人们就知道用事件发生的频率来估计事件的概率.世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率，世纪年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率，（其中（）是产生内的均匀随机数的函数，），则的值约为（ ）

A． B． C． D．
6.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7.在中，，，点是边的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8.函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
9.已知点是抛物线上的动点，点到轴的距离为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10.我校为弘扬中华传统中医药文化，在一块边长为的正方形空地中开辟出如图所示的总面积为的矩形中药园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植益母草、板蓝根、苦参（其中两个小矩形区域形状、大小相同）．中药种植的总面积为．当取得最大值时，的值为（ ）

A． B． C． D．
11.锐角中，内角的对边分别为，，，若，则的面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，若关于的方程无实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 Ⅱ 卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ．
14.甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是 ．
15.如果数列满足，且，则这个数列的第项等于 ．
16.体积为的四棱锥的底面是边长为的正方形，底面的中心为，四棱锥的外接球球心到底面的距离为，则点的轨迹长度为 ；
异面直线与所成角的余弦值的最大值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.如图，三棱锥中，平面平面，，，，为线段中点，点线段上，且平面.

（1）求线段的长；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.2021年4月23日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生的体重（单位：）与身高（单位：）是否存在较好的线性关系，体检机构搜集了位我校男生的数据，得到如下表格：
序号

身高（）

体重（）

根据表中数据计算得到关于的线性回归方程为.
（1）求；
（2）已知，且当时，回归方程的拟合效果非常好；当时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.（的结果保留到小数点后两位）
参考数据：.
19.已知数列中，，且，设数列.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，数列的前项和为，求证：.
20.已知函数，.
（1）若，比较函数与的大小；
（2）若，求证；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
21.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线交椭圆于两点.
（1）若的周长为，面积的最大值为，求椭圆的标准方程；
（2）设分别为椭圆的左、右顶点，直线，的斜率分别为，若，求椭圆的离心率的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）已知点的直角坐标为，过点作直线的垂线交曲线于、两点（在轴上方），求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数，函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若对于任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
2021 年哈三中高三学年第四次模拟考试
理科数学答案
一、选择题
1-5： 6-10： 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）平面 平面
且平面平面

（2）平面平面 且平面平面
且平面
平面
以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴正方向建系

设平面的一个法向量为
则解得
设直线与平面所成角为

18.（1）
.
（2）

该线性回归方程的拟合效果是良好的
19.（1）
且
是以为首项为公比的等比数列；

（2）；

20.（1），，

在单调递增，且，综上
，，
，，
，，
（2），，
要证，即证，
即证，设，且
则即证，即证
由（1）知，，成立，
所以不等式成立，证毕.
（2）在上恒成立，
则在上恒成立，
①时，使得上式成立，
②时，
则在上恒成立，
设
时，有，
则，
所以
21.（1），，

解得①时，椭圆的标准方程为，
②时，椭圆的标准方程为.
（2）设，，，
由题意知直线斜率不为，设，
，整理得，
（）
，由题知，
则有，将（）代入整理得

，

22.（1）；
（2）直线的一个参数方程为（为参数）
代入到中得
设、对应的参数分别为、
则，
23.（1）
当且仅当即时“”成立
（2）由题意可知值域为值域的子集且
则，在单调递增

即解得