2021-2022版高中数学-第七章-三角函数单元素养评价新人教B版必修第三册.doc

2021-2022版高中数学 第七章 三角函数单元素养评价新人教B版必修第三册2021-2022版高中数学 第七章 三角函数单元素养评价新人教B版必修第三册年级：姓名：单元素养评价(一)(第七章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.下列各角中,与角终边相同的角是()A.-B.-C.D.【解析】选B.与角终边相同的角的集合为,取k=-1,可得=-.所以与角终边相同的角是-.2.(2020北京高考)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(Day).历史上,求圆周率的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2的近似值,按照阿尔卡西的方法,的近似值的表达式是()A.3nB.6nC.3nD.6n【解析】选A.对于内接多边形,将其分割为三角形,如图,在OPQ中,O是圆心,半径OP为1,OM为PQ边上的高,POQ=,所以在RtPOM中,POM=,sinPOM=PM=sin,所以边长PQ=2sin,周长6nPQ=12nsin;对于外切多边形,将其分割为三角形,如图,在OPQ中O是圆心,半径OM为1,OM为PQ边上的高,POQ=,所以在RtPOM中,POM=,tanPOM=PM=tan,所以边长PQ=2tan,周长为6nPQ=12ntan.综上,2的近似值为12nsin+12ntan=6nsin+tan,的近似值为3nsin+tan.3.(2020北京高一检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,角(0baB.cabC.bacD.bca【解析】选A.利用公式得c=tan 60=1,b=cos(-20)=cos 20=sin 70,因为0sin 50sin 701,所以ab0,-0,-,A,0为f(x)图象的对称中心,B,C是该图象上相邻的最高点和最低点,若BC=4,所以+=42,即12+=16,得=.再根据+=k,kZ,可得=-,所以f(x)=sin.令2k-x-2k+,求得4k-x4k+,故f(x)的单调递增区间为,(kZ).7.函数f(x)=sin 2x和g(x)图象的部分,如图所示.g(x)的图象由f(x)的图象平移而来,C,D分别在g(x)、f(x)图象上,ABCD是矩形,A,B,则g(x)的表达式是()A.g(x)=sinB.g(x)=sinC.g(x)=cosD.g(x)=cos【解析】选C.由图象知,函数f(x)=sin 2x的图象向右平移=个单位,得g(x)=sin 2=sin的图象;又sin=cos=cos=cos,所以g(x)=cos.8.(2020广元高一检测)设函数f=函数g=则方程f=g根的个数是()A.6B.7C.8D.9【解析】选B.当x0时,f(x)=2x,g(x)=x2,它们的图象有两个交点(2,4),(4,16),当x0时,f(x)=是周期函数,最小正周期是,其最大值是1而lg-(-10)=1,-10-3,当x0时,作出函数f(x),g(x)的图象,如图,由图象可以看出,它们有5个交点,所以函数f(x),g(x)的图象在R上有7个交点,即方程f=g有7个根.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.若sin =,且为锐角,则下列选项中正确的有()A.tan =B.cos =C.sin +cos =D.sin -cos =-【解析】选AB.因为sin =,且为锐角,所以cos =,故B正确,所以tan =,故A正确,所以sin +cos =+=,故C错误,所以sin -cos =-=-,故D错误.10.(2020济南高一检测)已知f(x)=2cos,xR,满足f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值是的的值可以为()A.-B.C.D.-【解析】选AC.由f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值是,可得=,故=,所以=.11.(2020青岛高一检测)将函数f=cos2x+-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g的图象,则下列关于函数g的说法正确的是()A.最大值为,图象关于直线x=对称B.图象关于y轴对称C.最小正周期为D.图象关于点对称【解析】选BCD.将函数f=cos-1的图象向左平移个单位长度,得到y=cos-1=cos-1=-cos 2x-1的图象;再向上平移1个单位长度,得到函数g=-cos 2x的图象,对于函数g,它的最大值为,由于当x=时,g=-,不是最值,故g的图象不关于直线x=对称,故A错误;由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故B正确;它的最小正周期为=,故C正确;当x=时,g=0,故函数g的图象关于点对称,故D正确.12.已知函数f=2sin+1,则下列说法正确的是()A.f=2-fB.f的图象关于x=对称C.若0x1x2,则ff【解析】选BD.函数f=2sin+1A:当x=0时f=f=1,2-f=2-f=1+,故A错;B:f=2sin+1,当x=时,对应的函数值取得最小值-1,所以B正确;C:x时,2x-,所以函数f=2sin+1在不单调,故C错;D:因为x,所以2x-,所以f,又23即2ff,所以x1,x2,x3,f+ff恒成立,故D正确.三、填空题(每小题5分,共20分)13.已知角的终边过点P(1,-2),则tan =,=.【解析】因为角的终边过点P(1,-2),所以tan =-2,可得=.答案:-214.(2020太原高一检测)若函数f=cos2x+的图象向左平移个单位后所得的函数图象关于x=对称,则的最小值为.【解析】函数f=cos的图象向左平移个单位后所得的函数为g=cos.由于y=g的图象关于x=对称,所以当x=时,y=g取得最值.可得2+2+=k(kZ),解得=-+,又0.所以的最小值为.答案:15.(2020黄冈高一检测)已知函数f(x)=Acos(x+)(A0,0,0)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形,则=,f=.【解析】因为f=Acos(x+)为奇函数且0,故=,故f=-Asin x.因为EFG是边长为2的等边三角形,故=2,故T=4,故=4,故=.因为A=,故f=-sinx,f=-sin=-.答案:-16.(2020新高考全国卷)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BCDG,垂足为C,tanODC=,BHDG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为cm2.【解析】由题意得A到DG的距离与A到FG的距离相等,均为5 cm,所以AOH=45,设O到DE的距离为5t cm,则由tanODC=得点O到DG的距离为3t cm,则OAcos 45+5t=7,OAsin 45+3t=5,因此2t=2,t=1,OA=2,OH=4,所以图中阴影部分的面积为OA2+42-=+4(cm2).答案:+4四、解答题(共70分)17.(10分)已知扇形AOB的周长是80 cm.(1)若其面积为300 cm2,求扇形的圆心角AOB的弧度数.(2)求扇形AOB面积的最大值及此时圆心角的弧度数.【解析】设扇形的半径为r,弧长为l,则(1)或所以圆心角=6或=.(2)因为l+2r=80,所以l=80-2r,所以S=lr=(80-2r)r=40r-r2=-r2+40r=-(r-20)2+400,所以当r=20时,Smax=400,此时l=80-2r=40,所以=2.18.(12分)如图,以Ox为始边作角与(0),它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点P的坐标为.(1)求的值;(2)若OPOQ,求3sin -4cos 的值.【解析】(1)由题得cos =-,sin =,所以=.(2)由题得-=,所以=+,所以cos =-sin ,sin =cos ,所以sin =,cos =,所以3sin -4cos =-=-.19.(12分)(2020襄阳高一检测)已知是第三象限角,且f=.(1)化简f;(2)若tan=-2,求f的值;(3)若=-420,求f的值.【解析】(1)根据题意,利用诱导公式化简,f()=-cos .(2)因为tan(-)=-2,所以tan =2,所以sin =2cos ,则(2cos )2+cos2=1,解得cos2=,因为是第三象限角,所以cos =-,所以f()=.(3)因为cos(-420)=cos 420=cos 60=,所以f()=-cos =-.20.(12分)(2020北京高一检测)现给出三个条件:函数f(x)的图象关于直线x=对称;函数f(x)的图象关于点对称;函数f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为.从中选出两个条件补充在下面的问题中,并以此为依据求解问题.已知函数f(x)=sin(x+),.求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】方案一:选.由已知,得函数f(x)的最小正周期T=,所以=,=2,所以f(x)=sin(2x+).令2x+=+k,得x=-+,kZ.所以f(x)的对称轴方程为x=-+,kZ.令-+=,kZ,由|,得=-.综上f(x)=sin.因为x,所以2x-.所以当2x-=-或,即x=-或时,f(x)max=;当2x-=-,即x=-时,f(x)min=-.方案二:选.由已知,得函数f(x)的最小正周期T=,所以=,=2,所以f(x)=sin(2x+).所以f=sin=0,于是-+=k,kZ.由|,得=.综上f(x)=sin.因为x,所以2x+.所以当2x+=,即x=时,f(x)max=;当2x+=-,即x=-时,f(x)min=-.方案三:选.由已知可知函数图象的一个对称轴为x=,一个对称中心为,则,解得因为|=,则-2k1+2k20,则-6k2-10k2T,所以函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-,显然k2=-2,-3,时也成立,当k1+2k2=0时,=,=2-2k2+1=-6k2+1,因为0,则-6k2+10k2,此时函数f(x)=sin,则其在区间上有-x+,即-sin,故最大值为,最小值为-,当k2=-1时,=7,则T=,所以函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-,显然k2=-2,-3,时也成立.综上所述,函数f(x)=sin(=-6k-1,k-1,kZ)和函数f(x)=sin(=-6k+1,k-1,kZ)在区间上的最大值为,最小值为-;函数f(x)=sin在区间上的最大值为,最小值为-.21.(12分)(2020潍坊高一检测)如图是函数f(x)=Asin(x+)的部分图象.(1)求函数f(x)的表达式;(2)把函数y=f(x)的图象的周期扩大为原来的两倍,然后向右平移个单位,再把纵坐标伸长为原来的两倍,最后向上平移一个单位得到函数y=g(x)的图象.若对任意的0m3,方程|g(kx)|=m在区间上至多有一个解,求正数k的取值范围.【解析】(1)由题图可知:A=1,=-=,即T=,所以=2,所以f(x)=sin(2x+);又由题图可知是五点作图法中的第三个点.所以2+=即=,所以f(x)=sin.(2)先把函数y=f(x)的图象的周期扩大为原来的两倍,得到函数解析式为y=sin;向右平移个单位后得到的函数解析式为y=sin=sin;纵坐标伸长为原来的两倍后得到的函数解析式为y=2sin;最后向上平移一个单位得到的函数解析式为g(x)=2sin+1,所以g(kx)=2sin+1,函数y=|g(x)|的图象如图所示:要使方程|g(kx)|=m在区间上至多有一个解,则当y=|g(x)|图象伸长为原来的5倍以上时符合题意.所以0ff.