天津市第一中学2021届高三数学下学期第四次月考试题.doc

天津市第一中学2021届高三数学下学期第四次月考试题

天津市第一中学2021届高三数学下学期第四次月考试题

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10

天津市第一中学2021届高三数学下学期第四次月考试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，试用时120分钟．考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．对一批产品进行了抽样检测，测量其净重（单位：克），将所得数据分为5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中产品净重落在区间内的个数为（ ）

A．90 B．75 C．60 D．45
5．已知函数，且，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
①函数是奇函数 ②的图象关于直线对称
③在上是增函数 ④当时，函数的值域是
A．①③ B．③④ C．② D．②③④
9．已知函数对，总有，使成立，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10．已知，是虚数单位，若，则的值为________．
11．的展开式的常数项为________．
12．设直线与圆相交于，两点，若，则________．
13．甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，则一次游戏摸出的白球不少于2个的概率为________．
14．已知，，，且，则的最小值为________．
15．平行四边形中，，为上的动点，，，则的最小值为________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文说明、证明过程或演算步骤．
16．的内角，，所对的边分别为，，．已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面积为，求及．
17．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中点，且，．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）如果是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
18．椭圆的离心率，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ），分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为．
证明：为定值．
19．设是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，的前项和为，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，使为整数的称为 “优数”，求区间上所有“优数”之和．
（Ⅲ）求．
20．已知．
（Ⅰ）求在处的切线方程以及的单调区间；
（Ⅱ）对，有恒成立，求的最大整数解；
（Ⅲ）令，若两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：．

参考答案
1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．C 7．D 8．C 9．B
10．2 11．15 12． 13． 14． 15．
16【解】（Ⅰ）因为，
所以由正弦定理可得，
即，
而，所以，故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则，
又的面积为，则，．
由余弦定理得，解得．
17．证明：（Ⅰ）连结．
在中，，，∴，
∴．
∵，∴．又∵底面，
∴．
∵，
∴平面．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
则，，，，．
∵是棱的中点，
所以．
∴，．
设为平面的法向，
∴，即，令，则，
∴平面的法向量．
因为平面，
∴是平面的一个法向量．
∴．
∵二面角为锐二面角，∴二面角的大小为．
（Ⅲ）因为是在棱上一点，所以设，．设直线与平面所成角为，∵平面的法向量，
∴．
解得，即，，∴．

18．解析：（1）因为，
所以，代入得，
，，．
故椭圆的方程为．
（2）证明：因为，不为椭圆顶点，则直线的方程为，①
把①代入，解得．
直线的方程为．②
①与②联立解得．
由，，三点共线知，得．
所以的斜率为
，
则（定值）．

19．【详解】（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，
因为，是和的等比中项，
所以，即，
解得，因为是各项均为正数的等差数列，
所以，故，
因为，所以，
两式相减得：，当时，，，
是以2为首项，2为公比的等比数列，．
（Ⅱ）2036
（Ⅲ）∴

∴
两式相减得：

∴，∴．
20．【详解】解：（1）∵
所以定义域为
∴；
；
所以切线方程为；
，
令解得
令解得
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）等价于；
∴，
记，，所以为上的递增函数，
且，，所以，使得
即，
所以在上递减，在上递增，
且；
所以的最大整数解为3．
（3），得，
当，，，；
所以在上单调递减，上单调递增，
而要使有两个零点，要满足，
即；
因为，，令，
由，∴，
即：，
∴
而要证，
只需证，
即证：
即：，，只需证：，
令，则
令，则
故在上递增，；
故在上递增，；
∴．