重庆市第一中学2020届高三数学下学期第四次月考试题-文.doc

重庆市第一中学2020届高三数学下学期第四次月考试题 文

重庆市第一中学2020届高三数学下学期第四次月考试题 文

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- 20 -

重庆市第一中学2020届高三数学下学期（5月）第四次月考试题 文（含解析）
一、选择题（共12小题）.
1.已知集合，，且，那么的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：因为,故集合B能取遍一切小于等于1的实数，则m>1,故选D
2.若“”是“或”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，选A.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
3.当时，则下列大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为，所以可选取中间数，利用对数函数、幂函数、指数函数的单调性即可比较出其大小，，，，故选C.
4.已知双曲线的中心为原点，点是双曲线的一个焦点，点到渐近线的距离为1，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为点到渐近线的距离为1，所以b=1，因为c=,所以a=1，因此的方程为，选A.
5.数列满足，则等于(　　)
A. 15 B. 10 C. 9 D. 5
【答案】A
【解析】
分析】
先由题意计算得到值，然后再根据的值求出即可．
【详解】由题意得，即，
解得，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】解答本题的关键是求出，进而得到数列的递推关系，然后再结合题意求解，考查推理和计算能力，属于基础题．
6.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最小值.
本题选择B选项.

点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
7.(2018·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r，则由等面积法，可得×8×15＝×(8＋15＋17)r，解得r＝3，∴向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P＝＝.选A.
8.将函数图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，则的值是
A. 1 B. 2 C. D. 0
【答案】D
【解析】
将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再向上平移1个单位，得到函数的图象，则；故选D.
点睛：本题的易错之处是函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，往往错误得到.
9.已知函数，则的图象大致为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.
【详解】由于，排除B选项.
由于，，函数单调递减，排除C选项.
由于，排除D选项.故选A.
【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.
10.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据： ）

A. 48 B. 36 C. 24 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
由开始，按照框图，依次求出s，进行判断．
【详解】
，故选C.
【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键．
11.已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若3，则直线l的斜率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°，即直线AB的倾斜角为60°，从而得到直线AB的斜率k值.
【详解】作出抛物线的准线l：x＝﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，
连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E.

∵3，∴设AF＝3m，BF＝m，
由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC＝3m，BD＝m.
因此，Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°
所以，直线AB的倾斜角∠AFx＝60°，
得直线AB的斜率k＝tan60°，
故选：D.
【点睛】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题目.
12.已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数图象，得出，，，的性质，从而可化简，然后利用函数单调性得出取值范围．
【详解】作出函数的图象如下：

由图象知若有四个不等实根，，，，且，则，，，
∴，其中，这是关于的减函数，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查方程根的分布问题，解题关键是作出函数图象，通过图象得出根的性质，从而达到化简表达式的目的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知为实数，为虚数单位，若为实数，则__________．
【答案】-2
【解析】
为实数，则．
点睛：复数题型的考查需要学生掌握复数的化简技巧，得到，因为该复数为实数，则虚部为0，解得答案．
14.已知正项数列的首项，前n项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为________．
【答案】
【解析】
因为以为坐标的点在曲线上，所以，即，两式相减，得，
即，即，即，
即，又，即数列是以1为首项，公差为1的等差数列，则数列的通项公式为；故填.
15.在中，，，为的三等分点，则______ .
【答案】
【解析】
试题分析：即,
如图建立平面直角坐标系，为边的三等分点，

考点：向量的数量积
16.已知，有下列4个命题：
①若，则的图象关于直线对称；
②与的图象关于直线对称；
③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.
其中正确的命题为 .（填序号）
【答案】①②③④
【解析】
【详解】∵f（1+2x）=f（1-2x），令t=2x∴f（1+t）=f（1-t）∴函数f（x）的图象自身关于直线x=1对称,①对∵f（x）的图象向右平移2个单位，可得f（x-2）的图象，将f（x）的图象关于y轴对称得f（-x）的图象，然后将其图象向右平移2个单位得f（2-x）的图象，∴f（x-2）与f（2-x）的图象关于直线x=2对称,②对．∵f（2+x）=-f（x），∴f（4+x）=f（x）,∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）∴f（4+x）=f（-x）∴f（x）的图象自身关于直线x=2对称,③对．∵f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2）∴f（x+2）=-f（x）=f（-x）∴f（x）的图象自身关于直线x=1对称,④对．
三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知向量（，），（sinx，cosx），x∈[，].
（1）若，求x的值；
（2）若向量，求sin（2x）的值.
【答案】（1）x（2）
【解析】
【分析】
（1）由⊥可得0，整理可得tanx，即可求出x；
（2）由题意可得sinxcosx，根据x范围可得cos（x），结合三角函数二倍角公式变形即可求得函数值.
【详解】（1）由⊥可得0，即sinxcosx＝0，则tanx，
因为x∈[，].所以解得x；
（2）由题意可得sinxcosx即sin（x），
由x∈[0，]，∴cos（x），
又sin（2x）＝﹣sin（2x），
所以sin（2x）＝﹣sin（2x）＝﹣sin2（x）＝﹣2sin（x）cos（x）＝﹣2.
【点睛】本题考查平面向量与三角函数的综合题，涉及到的知识点有向量数量积的运算，三角函数求值，属于中档题目.
18.新高考取消文理科，实行“3+3”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年），并把调查结果制成如表：

（1）请根据上表完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？

附：K2.

（2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A：“恰有一人年龄在[45，55）”发生的概率.
【答案】（1）填表见解析；有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；
（2）由表格数据得到抽取的8人中：年龄在[45，55）中的有4人，年龄在[55，65）中的有2人，年龄在[65，75）中的有2人，再利用古典概型的概率公式即可求出结果.
【详解】（1）2×2列联表如图所示：

因为K25.556＞3.841，
所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；
（2）由表格数据得到抽取的8人中：年龄在[45，55）中的有4人，年龄在[55，65）中的有2人，年龄在[65，75）中的有2人，
从8人中抽取2人的方法有28种，其中恰有一人年龄在[45，55）被抽中的方法有16种，
所以P（A）.
【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了古典概型的概率公式，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目.
19.平行四边形ABCD中，∠A，2AB＝BC，E，F分别是BC，AD的中点.将四边形DCEF沿着EF折起，使得平面ABEF⊥平面DCEF，得到三棱柱AFD﹣BEC.

（1）证明：DB⊥EF；
（2）若AB＝2，求三棱柱AFD﹣BEC的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）3
【解析】
【分析】
（1）取EF的中点O，连接OD，OB，ED，FB，可得△BEF，△DEF是等边三角形.可得OD⊥EF，OB⊥EF，由直线与平面垂直的判定可得EF⊥平面BOD，进一步得到DB⊥EF；
（2）三棱柱AFD﹣BEC可分为四棱锥D﹣ABEF与三棱锥B﹣CDE.由（1）知OD⊥EF，结合面面垂直的性质可得OD⊥平面ABEF，同理可证OB⊥平面DCEF，分别求出两个棱锥的体积，作和得答案.
【详解】（1）证明：取EF的中点O，连接OD，OB，ED，FB，
可得△BEF，△DEF是等边三角形.
∴OD⊥EF，OB⊥EF，
∵OD∩OB＝O，∴EF⊥平面BOD，
而BD⊂平面BOD，
∴DB⊥EF；
（2）解：三棱柱AFD﹣BEC可分为四棱锥D﹣ABEF与三棱锥B﹣CDE.
由（1）知OD⊥EF，而平面ABEF⊥平面DCEF，且交线为EF，
∴OD⊥平面ABEF.
同理可证OB⊥平面DCEF.
四棱锥D﹣ABEF的体积，
三棱锥B﹣CDE的体积，
∴三棱柱AFD﹣BEC的体积V＝2+1＝3.

【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，属于中档题目.
20.已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l截得圆：x2+y2＝p2的弦长为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点F作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线C交于A、B两点，l2与抛物线C交于D、E两点，M、N分别为弦AB、DE的中点，求|MF|•|NF|的最小值.
【答案】（1）y2＝8x（2）32
【解析】
【分析】
（1）求得抛物线C的焦点，可得直线l的方程，求得圆心（0，0）到直线的距离，由圆内的垂径定理，结合勾股定理，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；
（2）求得焦点F的坐标，由已知可得AB⊥DE，两直线AB、DE的斜率都存在且均不为0.设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，故直线AB的方程为y＝k（x﹣2）.联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，结合基本不等式可得所求最小值.
【详解】（1）由y2＝2px的焦点为F（，0），
可得直线l的方程为l：y＝x，
圆心到直线l的距离为d，
又d2+14＝p2，可得p＝4，
故抛物线C的方程为y2＝8x；
（2）由（1）知焦点为F（2，0）.
由已知可得AB⊥DE，所以两直线AB、DE的斜率都存在且均不为0.
设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，
故直线AB的方程为y＝k（x﹣2）.
联立方程组，消去x，整理得ky2﹣8y﹣16k＝0，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2.
因为M（xM，yM）为弦AB的中点，所以yM（y1+y2）.
由yM＝k（xM﹣2），得xM22，故点M（2，），
同理，可得N（4k2+2，﹣4k），
故|NF|4，
|MF|.
所以|MF|•|NF|•416•16（|k|）
≥16×232，
当且仅当|k|，即k＝±1时，等号成立.
所以|MF|•|NF|的最小值为32.
【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和圆、直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和两点距离公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题.
21.已知函数.
（1）当时，判断在上的单调性并加以证明；
（2）若，，求的取值范围.
【答案】（1）在为增函数；证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）令，求出，可推得，故在为增函数；
（2）令，则，由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，.
记，则，
当时，，.
所以，所以在单调递增，所以.
因为，所以，所以在为增函数.
（2）由题意，得，记，则，
令，则，
当时，，，所以，
所以在为增函数，即在单调递增，
所以.
①当，，恒成立，所以为增函数，即在单调递增，
又，所以，所以在为增函数，所以
所以满足题意.
②当，，令，，
因为，所以，故在单调递增，
故，即.
故，
又在单调递增，
由零点存在性定理知，存在唯一实数，，
当时，，单调递减，即单调递减，
所以，此时在为减函数，
所以，不合题意，应舍去.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点及不等式恒成立等问题，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力，属于难题.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）.
（1）当时，求直线l与曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，直线l倾斜角的范围为（0，]，且P点的直角坐标为（0，2），求的最小值.
【答案】（1）；（x+1）2+（y﹣1）2＝1（2）
【解析】
【分析】
（1）将代入直线l的参数方程，消去参数t即可得到直线l的普通方程，由曲线C的参数方程消去参数θ即可得到曲线C的普通方程；
（2）利用参数的几何意义结合正弦型函数的图象及性质即可得解.
【详解】（1）∵，
∴直线l参数方程为，消掉参数t，可得直线l的普通方程为，
∵C的参数方程为（θ为参数）
∴可得（x+1）2+（y﹣1）2＝1，即曲线C的普通方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝1.
（2）将l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程（x+1）2+（y﹣1）2＝1得t2+2（sinα+cosα）t+1＝0，
设A，B所对应的参数分别为t1，t2，
则|PA||PB|＝|t1t2|＝1，|PA|+|PB|＝|t1+t2|＝2|sinα+cosα|，
所以，
当时，的最小值为.
【点睛】本题考查简单曲线的参数方程，考查参数方程与普通方程的互化以及参数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.
23.已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若“，”为假命题，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1））当时，将函数写成分段函数，即可求得不等式的解集.
（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“，”为真命题，只需满足即可.
【详解】解：（1）当时，
由，得.
故不等式的解集为.
（2）因为“，”为假命题，
所以“，”为真命题，
所以.
因为，
所以，则，所以，
即，解得，即的取值范围为.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.