湖北省黄冈市麻城市实验高级中学2020届高三数学下学期第五次模拟试题-文.doc

湖北省黄冈市麻城市实验高级中学2020届高三数学下学期第五次模拟试题 文

湖北省黄冈市麻城市实验高级中学2020届高三数学下学期第五次模拟试题 文

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湖北省黄冈市麻城市实验高级中学2020届高三数学下学期第五次模拟试题 文（含解析）
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数的实部为，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
先对复数进行化简，再由其实部为求出的值，从而可求出复数，进而得到结果.
【详解】解：，
因为复数的实部为，所以，解得，
所以，
所以，其在复平面上对应的点为在第三象限，
故选：C
【点睛】此题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.
2. 已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合，根据集合的包含关系以及充分不必要条件的性质求解即可.
【详解】
当时，
由充分不必要条件的性质可知，只有项满足

故选：A
【点睛】本题主要考查了根据充分不必要条件求参数范围，涉及了集合的包含关系，属于中档题.
3. 2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）

A. 16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大
B. 16天中每日新增确诊病例的中位数大于新增疑似病例的中位数
C. 16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于
D. 19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
【答案】C
【解析】
【分析】
由折线图分别观察变化趋势，估计中位数，计算极差，确认新增治愈病例数量与新增确诊与新增疑似病例之和，判断各选项后可得结论．
【详解】从新增确诊折线看19日降幅最大，但并不呈下降趋势，如20日比19日就是上升的，27,28,29三天还是增加的趋势，A错；
新增确诊病例和新增疑似病例的中位数在21、22日前后，新增疑似病例的中位数比新增确诊病例的中位数大，B错；
三根折线中最大值与最小值的差都大于2000，C正确；
20日新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和，D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查折线图的认识，考查学生的数据处理能力．属于基础题．
4. 将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，则恰好没有被涂色的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据古典概型的概率公式计算可得结果.
【详解】沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有64个，其中有3个面涂色的小正方体共有8个，只有2个面涂色的小正方体共有个，只有一个面涂色的小正方体共有个，那么没有被涂色的小正方体共有个，
所以恰好没有被涂色的概率为.
故选：A.
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.
5. 已知，则的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质分类讨论去掉绝对值求出各段区间上的值域，再求函数的值域．
【详解】解：当，即时，，则，
当，即时，，
∴的值域是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查分段函数的值域，考查指数函数的性质，属于基础题．
6. 在平面直角坐标系中，已知任意角以轴的正半轴为始边，若终边经过点且，定义：，称“”为“正余弦函数”；对于正余弦函数，以下性质中正确的是（ ）
A. 函数关于对称 B. 函数关于对称
C. 函数在单调递增 D. 函数值域为
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意，求出，然后根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可．
【详解】解：根据三角函数的定义可知，，
所以，
即
因为，
所以，
即该函数的值域为；
因为
所以，故函数不关于对称且不关于对称，
令，
解得，，
即函数的单调递增区间为，，故C正确；
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，解答此题的关键是首先求出函数的表达式．
7. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据算法的程序框图知，从n=11开始，依次增加1，对应的正整数要同时满足n=2（mod3），及n=2（mod5）时，即被3除余2，被5除余2，才结束循环，输出n的值，满足条件的n=17.
故选A.
8. 已知，，，，的，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对可根据不等式以对数函数的单调性，得到的大致范围，对根据余弦函数的单调性得到大致范围，对根据指数函数的单调性确定大致范围，从而比较出的大小.
【详解】由，，则，，
由，故；
由，则，得，即；
由，则，，得，得；
故.
故选：A
【点睛】本题考查了比较数的大小，根据函数的单调性，得到大致范围，从而比较出数的大小.
9. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可.
详解】解：由得，且，
当时，此时，排除B,C
函数的导数，
由得，即时函数单调递增，
由得且，即或时函数单调递减，
故选：D
【点睛】此题考查函数图像的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性，极值等函数特点是解决此题的关键，属于中档题.
10. 已知双曲线，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若三角形为锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为位于第一象限，所以恒为锐角，由为锐角可得，，由为锐角得，利用平面向量积可得答案.
【详解】由得、，
因为位于第一象限，所以恒为锐角，
因为三角形为锐角三角形，所以为锐角，为锐角，
由为锐角得，所以，因为，所以，
由为锐角得，
所以，
所以，
所以，
又，所以，即，又，所以，
综上所述：.
故选：C.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了平面向量数量积，考查了运算求解能力，考查了锐角三角形的概念，属于基础题.
11. 平面四边形为凸四边形，且，，，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由余弦定理求出，作出直角三角形（是的交点），点在线段（不含端点）上，求出，再求出到直线的距离即可得出结论．
【详解】设，在中，，所以，解得，
延长交于点，则由得，，
若，则，
显然点在线段（不含端点）上，所以的取值范围是．
故选：D．

【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握余弦定理是解题关键．
12. 已知函数满足条件：对于，且，存在唯一的且，使得.当成立时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据题意，得到函数在和上单调，并且是连续的函数，从而得到以及的符号，代入相应的式子，得到其所满足的等量关系式，从而求得，得到结果.
详解：若对于，存在唯一的，使得，所以在和上单调，则，且，由得，即，即，则，故选D.
点睛：该题考查的是有关分段函数的性质问题，在求解的过程中，需要把握住条件对于，存在唯一的，使得，得到函数的单调性，从而得到系数所满足的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设,当实数满足不等式组时，目标函数的最大值等于2，则的值是___________；
【答案】
【解析】
【分析】
画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出结果.
【详解】由，得，因为，所以目标函数的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：

由平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值，
此时，
由，解得，即，
同时，A也在直线上，代入得，解得，
故答案是.
【点睛】该题考查的是有关简单的线性规划的问题，在解题的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后分析目标函数的特征，目标函数的类型分三类：截距型、距离型和斜率型，根据题中条件，正确解出结果即可.
14. 已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆的面积最小得圆的半径最小，可得，再根据圆心到直线的距离等于半径可得答案.
【详解】将化为标准方程为，
所以圆的半径为，
当圆面积最小时，圆的半径最小，此时，圆的方程为，
因为直线与圆相切，所以，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心坐标和半径，考查了直线与圆相切的位置关系，考查了点到直线的距离，属于基础题.
15. 已知正方形的边长为，平面内的动点满足，则的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，设，根据，得到的方程，再利用三角换元，通过三角恒等变换得到，然后利用正弦函数的性质求解.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：

因为正方形的边长为，
所以，
设，则，
因为，
所以，
令，
所以，
所以，
，
，
所以的最大值是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的模，数量积的坐标运算以及三角恒等变换，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
16. 用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，的因数有1，2，5，10，，那么__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中对的定义，判断出，且若为奇数则，利用等差数列的前项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前项和公式，即可得出答案.
【详解】由的定义易知，且若为奇数则
令
则

即
由此可得
以上各式相加得

即
故答案为：
【点睛】本题考查等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式、累加法的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17--21题为必考题，每个试题考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17. 已知公差不为0的等差数列中，，且 成等比数列.
(1)求数列通项公式；
(2)设数列满足，求适合方程的正整数的值.
【答案】(1).
(2).
【解析】
试题分析：
(1)利用题意首先求得公差，然后利用等差数列的通项公式求解即可；
(2)列项求和，得到关于实数 的方程，解方程即可求得实数 的值.
试题解析：
(1)设等差数列的公差为，由，得解得或（舍），
故
(2)由（1）知，

依题有解得
18. 疫情过后，某商场开业一周累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：
消费金额（单位：元）

购物单张数
25
25
30
？
？

由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等（用频率估计概率），完成下列问题：
（1）估计该商场开业一周累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的购物单张数；
（2）为鼓励顾客消费，拉动内需，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值元、元、元的奖品.已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等差数列，其中一等奖的中奖率为.若今年国庆期间该商场的购物单数量预计比疫情后开业一周的购物单数量增长5%，试预测商场今年国庆期间采办奖品的开销.
【答案】（1）1000（张）（2）采购奖品的开销可估计为（元）
【解析】
【分析】
（1）由中位数的定义，根据概率为，求得中位数，设消费在区间内的概率为，根据中位数与平均数恰好相等解得即可.
（2）根据中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等差数列，其中一等奖的中奖率为，设等差数列的公差为，由，解得，得到一等奖、二等奖、三等奖的中奖率，再根据购物单数量增长5%，得到今年的购物具有抽奖资格的单数，从而得到一等奖、二等奖、三等奖中奖单数，即可得到采购奖品的开销.
【详解】（1），
中位数为，
又
设消费在区间内的概率为，
则消费在区间内的概率为
由中位数与平均数恰好相等可知，，
解得，
故单笔消费超过800元的购物单张数为：（张）.
（2）设等差数列的公差为，
则，
解得，
故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为
今年的购物具有抽奖资格的单数约为，
故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为，
采购奖品的开销可估计为（元）.
【点睛】本题主要考查频率分布表的应用，中位数，平均数的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19. 如图，在矩形中，，，将矩形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，已知长为，AC为圆O直径，B为圆周上的一点，且与在平面的同侧.

（1）求证：；
（2）若点B恰为在圆O所在平面上的投影，求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由圆柱的性质，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）连接OB，过C作，利用体积公式，分别求得和，进而求得多面体的体积.
【详解】（1）由圆柱的性质知，平面ABC，平面ABC，∴.
又AC为圆O的直径，∴，，∴平面，
又∵平面，∴
（2）连接OB，过C作，垂足为D，
则平面，且，
所以.
依题意，三棱柱为直三棱柱，
又长为，所以三角形为等边三角形，
∴，
∴.

【点睛】本题主要考查了线面位置关系判定与证明，以及几何体的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及熟练应用几何体的体积公式，准确计算是解答的关键，意在考查推理与论证能力，以及计算能力.
20. 抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点，点到x轴的距离等于.
（1）求抛物线方程；
（2）过与垂直的直线和过与轴垂直的直线相交于点，与轴交于点，求点的纵坐标的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义求出即可得到抛物线方程；
（2）设，直线的方程为：，联立直线与抛物线，根据韦达定理得，由直线与直线的方程得，设，由三点共线，求得，进一步可得的取值范围.
【详解】（1）由抛物线定义可知，即，
所以抛物线的方程为.
（2）设，直线方程为：，

由消去并整理得，
所以，
所以.
由已知得直线方程是；，
.
设，由三点共线，可知，
所以，
所以
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
所以或，
解得或.
【点睛】本题考查了根据抛物线的定义求抛物线方程，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了斜率公式的应用，考查了求直线与直线的交点坐标，考查了运算求解能力，属于中档题.
21. 设，已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数在点处的切线互相平行，证明：.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）分段求出导函数，分类研究单调性，注意函数的连续性，有些单调区间可以连接起来．
（2）易知是直线与函数图象的三个交点，结合图象可得的关系，从而可得证结论．
【详解】解：（1）当时，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，所以在上单调递减
又因为在上连续，故在上单调递增，在上单调递减.
（2）由图可知，直线与函数的图象有三个交点，横坐标为，
不妨，则
又，所以
则，化简得
令，，，因为，则，所以，在上单调递增，，即．

【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的几何意义，注意分段函数需要分段讨论．本题考查了学生的分析问题解决问题的能力，转化与化归能力，运算求解能力．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）.
（1）求曲线和的直角坐标方程；
（2）若曲线和有且仅有一个公共点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换，把函数关系式变形，再通过消元求出函数的普通方程，根据，可将极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）联立方程进行化简得到，作出的图象，数形结合分析出与二次函数有一个交点时，的取值范围.
【详解】（1）由，可知曲线的直角坐标方程为，
其中，所以曲线的直角坐标方程为，，
由，可得，由，，
曲线的直角坐标方程为；
（2）由，可知，
令，其图象如下：

由曲线和有且仅有一个公共点，所以函数与的图象有且仅有一个公共点，所以由图象可知.
【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及用数形结合思想求参数范围.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数的定义域为.
（1）求实数取值范围；
（2）若实数的最大值为，，求证：.
【答案】（1）（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）依题意可得恒成立，参变分离可得，再根据绝对值三角不等式计算可得；
（2）由（1）知，即，再根据基本不等式即可证明；
【详解】解：（1）恒成立
，又
（2）由（1）知，所以
，
又，
所以.
当且仅当时取等号；
【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，以及利用基本不等式证明不等式，属于中档题.