上海市浦东新区建平中学2020届高三数学下学期4月模拟考试试题.doc

上海市浦东新区建平中学2020届高三数学下学期4月模拟考试试题

上海市浦东新区建平中学2020届高三数学下学期4月模拟考试试题

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- 20 -

上海市浦东新区建平中学2020届高三数学下学期4月模拟考试试题（含解析）
一、填空题.
1.已知，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出与中不等式的解集分别确定出与，找出两集合的交集即可．
【详解】集合中不等式，当时，解得：，此时，
当时，解得：，无解，
，
集合中不等式变形得：，即，
解得：，即，
则
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2.函数的最小正周期为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先化简.再根据公式即可求出最小正周期.
【详解】因为函数.所以最小正周期为：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，属于基础题.
3.计算：_________.
【答案】
【解析】
【分析】
将原数列极限变成，根据，从而可求出原数列极限的值.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了求极限，解决此类问题关键是化简，属于基础题.
4.直线的方程为，则直线的一个法向量是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先将三阶行列式化简得出直线的一般式方程，再求出直线的一个法向量即可.
【详解】由得直线的一般式方程为：，所以直线的一个法向量为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查三阶行列式的运算和直线的法向量的问题，属中等难度题.
5.若实数满足，且，则实数值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
现结合指数与对数的互化公式，表示出，再结合换底公式表示出，最后结合对数运算即可求解
【详解】由可得，又，即
，求得
故答案为：
【点睛】本题考查指数和对数的互化，换底公式的用法，对数的运算性质，属于基础题
6.设常数，命题“存在，使”为假命题，则a的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
将条件转化为任意，恒成立，此时有，从而解出实数a的取值范围.
【详解】命题：“存在，使”为假命题，
即恒成立，必须，
即：，解得，
故实数a的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.
7.某微信群中四人同时抢个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数，由此能求出其中甲、乙都抢到红包的概率．
【详解】某微信群中四人同时抢个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，
则基本事件总数，
其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数，
∴其中甲、乙都抢到红包的概率．
故答案为.
【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.
8.如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为_____.
【答案】
【解析】
详解】由得图象关于点中心对称知，
，即，
即.因此，的最小值为
.
故答案为
9.如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，，，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是______．

【答案】
【解析】
试题分析：由已知，AC是小圆的直径．
所以过球心O作小圆的垂线，垂足是AC的中点．，AC=3，
∴BC=3，即BC=OB=OC．∴∠BOC=，
则B、C两点的球面距离=×3=π．
考点：球的几何特征，球面距离．
点评：中档题，解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．
10.设是曲线（为参数，）上任意一点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
试题分析：曲线曲线可化为，可得曲线表示以为圆心，半径为的圆，又是曲线上一点，则，即点两点连线的斜率，当的坐标为时，有最小值为，当的坐标为时，有最大值为，所以的取值范围为．

考点：简单的线性规划的应用，圆的参数方程．
【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数与普通方程的联系，两者可进行互化，可根据实际情况选择不同的方程进行求解，同时考查简单的线性规划求最值，体现了转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中求出圆的普通方程，利用的几何意义，转化为圆上的点与坐标原点之间连线的斜率问题，求出直线的斜率的范围，即可得到结论．
11.已知，若数列、、、是一个单调递增数列，则的最大值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
先由展开式通项求得，根据可得最大，由此求得的最大值.
【详解】，
展开式通项为，，
由于数列、、、是一个单调递增数列，
，即，解得，
因此，的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查项的系数最大值的求法，属于中档题．
12.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于2012，则满足条件的整数k的值是_________.
【答案】1002或1003
【解析】
【分析】
由题意可得函数的图象与函数的图象所有交点成对出现，
且每一对关于点对称，结合所有横坐标之和等于2012即可得到k的值.
【详解】解：函数的图象关于点对称，函数的图象也关于点对称，如图所示：

故函数的图象与函数的图象所有交点成对出现，
且每一对关于点对称，
因为他们的横坐标之和为2012，当时，它们共有1006对交点，
所以或，
解得或.
故答案为：1002或1003.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，属于中等题.
二、选择题（共有4题）
13.已知α：区间内恰含两个整数.则以下结论正确的是（ ）
A. “”是α成立的充分条件
B. “”是α成立的必要条件
C. “”是α成立的充分条件
D. “”是α成立的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，利用排除法进行判断即可.
【详解】当，，满足成立，但在区间内只有一个整数1，故充分性不成立，则A错误，
当，，满足成立，但在区间内只有一个整数1，故充分性不成立，则C错误，
若区间内恰含两个整数，则满足，故B正确，
当，时，满足成立，但在区间内有3个整数0，1，2，故必要性不成立，则D错误，
故选：B.
【点睛】本题主要充分条件和必要条件的定义，属于基础题.
14. 在空间给出下列四个命题：
①如果平面内的一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则⊥；
②如果直线与平面内的一条直线平行，则∥；
③如果直线与平面内的两条直线都垂直，则⊥；
④如果平面内的两条直线都平行于平面，则∥．其中正确的个数是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题考查空间线面关系的判定和性质．
解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理．
命题②不正确，缺少条件．
命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件．
命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．
15.已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的
整数的值之和是（ ）
A. 13 B. 18 C. 21 D. 26
【答案】C
【解析】

设，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示．
若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则
，即，
解得5<a⩽8，又a∈Z，∴a=6，7，8.
则所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21.
故选C.
16.已知点，点P在曲线上运动，点Q在曲线上运动，则的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
设圆心为F，可知F为抛物线的焦点，并且最小时，经过圆心F，设，则，，可得，换元后利用基本不等式求最值即可.
【详解】解：设圆心为F，则F为抛物线的焦点，该抛物线的准线方程为，设，由抛物线的定义：，要使最小，则需最大，
如图

最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，
∴，且.
∴，
令，则，
∴，当时取“=”，此时.
∴的最小值为4.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程、焦点坐标公式、准线方程、抛物线的定义、圆的标准方程，属于中等题.
三、解答题（满分76分）
17.如图，三棱柱中，它的体积是底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，在底面的射影是D，且D为BC的中点.

(1)求侧棱与底面ABC所成角的大小；
(2)求异面直线与所成角的大小.
【答案】
【解析】
【分析】
面,就是侧棱与底面所成的角,运用棱柱的体积公式和解直角三角形,即可得到所求值.
取的中点E,连接, ，则(或其补角)为所求的异面直线所成角的大小,运用解直角三角形,计算即可得到所求值.
【详解】作图如下：

依题意得,
面,
就是侧棱与底面所成的角,
由,
则,
由D为中点,
，
即有.
由，
即有,
所以
即侧棱与底面所成角为.
取中点，连接,
则(或其补角)为所求的异面直线所成角的大小.
由面,
,
面面,
所以面,
故,
,
所以所求异面直线与所成角为.
【点睛】本题考查空间角的求法.主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角的求法;考查直线与平面的位置关系;属于中档题;
线面角和异面直线所成角的求解步骤：
作出所要求的角;
证明所作的角即为所求的角（或其补角）；
在三角形中，通过解三角形求角的大小或其角的三角函数值.
18.四边形如图所示，已知，.

（1）求的值；
（2）记与的面积分别是与，求的最大值.
【答案】（1）（2）最大值为14
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理，求出，即可求的值；
（2）求出的表达式，，即可求的最大值.
【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，
在中，同理可得，
所以.
（2）依题意，，
所以，
因为，所以.
解得，所以，当时取等号，即的最大值为14.
【点睛】本题主要考查了解三角形，解三角形是高考重点考查的内容，正确变形合理转化，把涉及到的量转化到一个三角形内求解，涉及求最值时可以适当地选取变量，把所求最值用变量表示，属于中等题.
19.已知椭圆C：经过定点，其左右集点分别为，且，过右焦且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点.
（1）求椭圆C的方程：
（2）若O为坐标原点，在线段上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在，m的取值范围为
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的定义可求出a的值，再把点E的坐标代入椭圆方程，即可求出b的值，从而得到椭圆C的方程；
（2）先设点P，Q的坐标以直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到P，Q横坐标的和与积，再利用菱形的对角线垂直得到向量数量为0，将坐标代入后化简得到m与k的关系式，可求出m的取值范围.
【详解】解：（1）∵点E在椭圆上，且，
∴，，
又∵定点在椭圆上，∴，
∴，
∴椭圆C的方程为：；
（2）假设存在点满足条件，设，，直线l的方程为：，
联立方程，消去y得：，
∴，，，
又，，，
∴，
由题意知
，
∵，∴，
即，
则，
∴，
∴，
故存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，m的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆，解决此类问题的关键是把直线代入椭圆利用韦达定理，转化成向量之间的关系，属于中等题.
20.对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x0∈[0，1]满足f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
【答案】（1）是；（2）f（x）取得最小值2，f（x）取得最大值3；（3）见解析．
【解析】
【详解】（1）①显然f（x）=2x﹣1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0
故f（x）=2x﹣1满足条件①②③，所以f（x）=2x﹣1为理想函数，
（2）设x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，则x2﹣x1∈（0，1]
∴f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]≥f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2
∴f（x2）﹣f（x1）≥f （x2﹣x1）﹣2≥0，
∴f（x1）≤f（x2），则当0≤x≤1时，f（0）≤f（x）≤f（1），
在③中，令x1=x2=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，
∴f（0）=2，当x=1时，f（1）=3，
∴当x=0时，f（x）取得最小值2，
当x=1时，f（x）取得最大值3，
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．
若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；
若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．
故f（x0）=x0．
21.已知数列的前项和为，且满足，，设，.
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）若，，求实数的最小值；
（Ⅲ）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成（，且，）的形式，则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.
【答案】（I）详见解析；（II）；（III）为指数型和.
【解析】
【分析】
（I）通过计算证明证得，来证得数列是等比数列.
（II）利用求得数列的通项公式，由，，求得的最小值.
（III）先求得的通项公式，对分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论，根据“指数型和”的定义，求出符合题意的“指数型和”.
【详解】（I），.由于，当时，，所以数列是等比数列.，.
（II）由（I）得，，所以.因为，.当时，
，，而，所以，即，化简得，由于当时，单调递减，最大值为，所以
，又，所以的最小值为.
（III）由（I）当时，，当时，.也符合上式，所以对正整数都有.由，（且），只能是不小于的奇数.
①当为偶数时，，由于和都是大于的正整数，所以存在正整数，使得，，所以，且，相应的，即有，为“指数型和”；
② 当为奇数时，，由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以不成立，此时没“指数型和”.
综上所述，中项存在“指数型和”，为.
【点睛】本小题主要考查已知求，考查根据数列的单调性求参数的取值范围，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.