山西省怀仁市第一中学云东校区2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题-理.doc

山西省怀仁市第一中学云东校区2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理

山西省怀仁市第一中学云东校区2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理

年级：
姓名：

10

山西省怀仁市第一中学云东校区2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题 理
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：
①若，则；②若，且，则；
③若，则；④若，且，则．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①③
3．已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上的动点，的最小值为1，则的焦距为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
4．在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知命题；命题，则下列判断正确的是（ ）
A．是假命题 B．是假命题 C．是假命题 D．是真命题
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
7．若函数在上是增函数，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知命题；命题，且的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上关于原点对称的两个点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．三棱锥中，互相垂直，是线段的中点，若直线与平面所成角的正切值是，则三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
第II卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．__________．
14．设函数满足，则___________．
15．已知焦点为的抛物线的准线是直线，若点，点为抛物线上一点，且于，则的最小值为___________．
16．如图，在四边形中，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的是______．（写出所有正确的序号）

①平面平面 ②直线与平面所成角是
③平面平面 ④二面角余弦值为
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知直线，圆．
（1）试证明：不论为何实数，直线和圆总有两个交点；
（2）当取何值时，直线被圆截得的弦长最短，并求出最短弦的长．
18．（本小题满分12分）已知实数满足不等式，实数满足不等式．
（1）当时，为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）如图，在等腰梯形中，，为梯形的高，将沿折到的位置，使得．

（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）已知椭的离心率为，直线与轴的交点为，与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的标准方程；（2）证明是定值．
21．（本小题满分12分）
在四棱锥中，侧面底面为中点，底面是直角梯形，．

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅱ）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为．
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）论的单调性，（2）若，求的取值范围．
2020-2021学年度第二学期高二月考一数学试题（理）参考答案
一、选择题：1-5 BABAD 6-10 DDBAD 11-12 BC
二、填空题：13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】． 16．【答案】②③④
三、解答题
17．解（1）解法1 由．

，
∴不论为何实数，直线和圆总有两个交点．
解法2 圆心到直线的距离，圆的半径，
而，即，
∴不论为何实数，直线和圆总有两个交点．
解法3 不论为何实数，直线总过点，而，
∴点在圆的内部．即不论为何实数，直线总经过圆内部的定点．
∴不论为何实数，直线和圆总有两个交点．
（2）所求弦长为（是圆的半径，是圆心到直线的距离）而圆心，直线总过点，因此当与直线垂直时，所求弦长最短．
此时，，所求最短弦长为．
18．（1）当时，实数满足满足，即满足；
为真命题，、都为真命题，于是有，即，故．
（2）记，或
由是的充分不必要条件知，从而有或，
又故
19．（1）由题意得：，即，
连接，过点作，
在等腰梯形中，，
所以，即，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以平面．
所以以为原点，所在直线为轴，
所在直线为轴，所在直线为轴
建立空间直角坐标系，
所以，
，
所以，
，
设平面的法向量为，
所以，令，
所以，
所以
，
设直线与平面所成角为，
所以．
20．（1）依题意可知，，
又，所以，所以，
所以椭圆的标准方程
（2）由条件可得，设点，
联立，消去得，
恒成立，
由韦达定理得，
因此，
．
综上所述，．
21．（Ⅰ）取的中点，连结，因为为中点，所以，且，在梯形中，，所以，四边形为平行四边形，所以平面平面，所以平面．
（II）平面底面，所以平面，所以．如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．
．
所以，
又由平面，可得，所以平面．

（Ⅲ）平面的法向量为
所以，设平面的法向量为，
，由，得
所以，所以
注意到，得．
22．（Ⅰ），定义域为，
．
当时，；；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，，此时在上单调递减；
当时，；；
在上单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）由（I）可知
当时，，解得；
当时，，在上恒成立；
当时，，
即，解得．综上所述，．