黑龙江省鹤岗市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题.doc

黑龙江省鹤岗市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题

黑龙江省鹤岗市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题

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10

黑龙江省鹤岗市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求）
1、在用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴、轴，则在直观图中等于（ ）
A. B. C. D. 或
2、已知，且与互为共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
3、已知球的表面积为，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
4、复数，则在复平面内的对应点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5、若平面平面，直线，直线，则与的位置关系是
A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面
6、“存在实数，使”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7、棱台的上下底面的面积分别是和，高为，则该棱台的体积是（ ）
A. B. C. D.
8、已知三点不共线，若，点为线段的中点，且，则（ ）
A. B. C. D.
9、在棱长为的正方体中，为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A. B. C. D.
10、中，，，则（ ）
A. B. C. D.
11、的外接圆的圆心为，，，则（ ）A. B. C. D.
12、如图，各棱长均为的正三棱柱，分别为线段和上的动点，且平面，线段的中点的轨迹的长度为，则正三棱柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13、已知单位向量满足，则_____
14、是虚数单位，复数是关于的方程 （为实数）的一个根，则_____
15、已知单位向量与单位向量的夹角为，若向量与的夹角为，则实数_____
16、如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：
①四棱锥的体积恒为定值；
②对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；
③为底面对角线和的交点，在棱上存在点，使平面；
④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值．
其中为真命题的是_____．（填写所有正确答案的序号）
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（10分）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱.
（1）求该圆锥的体积；（2）求内接圆柱的表面积.
18、（12分）已知向量，．
（1）若与平行，求的值；
（2）若与垂直，求的值．
19、（12分）在长方体中，是与的交点，长方体体对角线交截面于点，求证：三点在同一条直线上.
20、（12分）已知中内角所对的边分别为，且，.
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的取值范围.
21、（12分）已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，，.
（1）求证：；（2）求的取值范围.
22、（12分）如图，在矩形和矩形中，，，矩形可沿任意翻折.
（1）求证：当点不共线时，线段总平行于平面.
（2）“不管怎样翻折矩形，线段总与线段平行”这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由.

鹤岗一中2020～2021学年度高一下学期期中考试
数学试题参考答案
一、1、D 2、C 3、C 4、B 5、D 6、A
7、B 8、B 9、B 10、C 11、A 12、D
13、 14、 15、 16、①③④
二、17、解：（1）由题意，圆锥的高为，
底面面积为，……………………………………………………2分
圆锥的体积,……………………………………..4分
（2）设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为，
底面半径为2母线长为4的圆锥的高为，
则圆柱的上底面为中截面，可得，……………………………………..6分
，，…………………………………………..………..8分
.……………………………………………….………..………..10分
18、解：（1）因为向量，，
所以，，…………………………………2分
因为与平行，所以，…………4分
即，所以.…………………………………6分
（2）因为向量，，
所以，，…………………………………8分
因为与垂直，所以，
所以，…………………………………10分
解得.…………………………………12分
19、证明：因为∈平面，∈平面，.…………………………………2分
∈平面，∈平面，.…………………………………4分
所以平面∩平面..…………………………………6分
又因为∩平面，
所以直线平面，.…………………………………8分
所以平面，.…………………………………10分
所以直线，
即三点在同一条直线上．.…………………………………12分
20、解：（Ⅰ）由题意知，
结合余弦定理，整理得，.…………………………………3分
因为，所以，.…………………………………4分
又因为，所以..…………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
所以
，.…………………………………8分
因为，所以，.…………………………………9分
所以，所以，.…………………………11分
即的取值范围..…………………………………12分
21、（1）证明：设,
，，
，，.…………………………………2分
三点共线，
则存在，使得，即，.…………………………4分
即，
，整理得，.…………………………………6分
即，即，即；.…………………………………7分
（2）由（1），，
，.………………8分
，，可知，
，.…………………………………10分
，，
则当时，取得最小值，当时，取得最大值，
，则的取值范围为..…………………………………12分

22、（1）证明：在平面图形中，连接MN，与AB交于点G. ………………………1分
∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，，
∴且，
∴四边形ADBE是平行四边形，∴.
又，∴四边形ADNM是平行四边形，∴.………………………3分
当点F，A，D不共线时，如图，，，

平面，平面，所以平面ADF，
同理平面ADF，又，
平面，∴平面平面ADF.
又平面GNM，∴平面ADF.
故当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FA D. ………………………5分
（2）解：这个结论不正确. …………………………………………6分
要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：
当点F，A，D共线时，由（1）得.
当点F，A，D不共线时，如图，

由（1）知平面平面FDA，则要使总成立，
根据面面平行的性质定理，只要FD与共面即可. ………………………7分
若要使FD与共面，连接FM，只要FM与DN相交即可，
∵平面ABEF，平面ABCD，
平面平面，
∴若FM与DN相交，则交点只能为点B，
由于四边形为平行四边形，与的交点为的中点，
则只有M，N分别为AE，DB的中点才满足. ………………………9分
由，
可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面. ………………………10分
∵平面平面，
平面平面，
平面平面FDA，∴.………………………12分