黑龙江省鸡西市第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题.doc

黑龙江省鸡西市第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题

黑龙江省鸡西市第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题

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- 19 -

黑龙江省鸡西市第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）
第Ⅰ卷（选择题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，规定时间内问卷星提交，逾时后果自负.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡竖版拍照5分钟内上传家校本交回.
一．选择题
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为，，，所以，因为 且，所以 ，，故选D.
2.函数的单调递减区间为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可看作是由，复合而成的，因为单调递增，由复合函数的单调性的判定知识只需在定义域内求出的增区间即可．
【详解】由，解得或，所以函数的定义域为
可看作是由，复合而成的，
的单调递增区间为，
在上单调递减，
由复合函数的单调性的判定知， 函数的单调递减区间为
故选A
【点睛】本题考查复合函数单调性、幂函数以及二次函数单调性问题，属于基础题和易错题．
3.已知x，y∈R，且x>y>0，若a>b>1，则一定有（ ）
A. logax>logby B. sinax>sinby C. ay>bx D. ax>by
【答案】D
【解析】
【分析】
举出反例说明ABC不正确，利用指数函数和幂函数性质证明D选项正确
【详解】对于A选项，令，显然logax=logby，所以该选项不正确；
对于B选项，令，不满足sinax>sinby，所以该选项不正确；
对于C选项，令，显然不满足ay>bx，所以该选项不正确；
对于D选项，根据指数函数和幂函数的性质：x，y∈R，且x>y>0，若a>b>1，，所以该选项正确.
故选：D
【点睛】此题考查根据已知条件比较大小关系，关键在于熟练掌握常见函数的性质，推翻一个命题只需举出反例即可.
4.已知向量，若，则在上的投影是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据坐标先求得向量，结合平面向量数量积的运算律求得，即可由平面向量投影的定义求得在上的投影.
【详解】向量，则，
因为，
则，即，
所以，
在上的投影为.
故选：D.
【点睛】本题考查由坐标求平面向量模，平面向量数量积的运算律简单应用，投影的定义和求法，属于基础题.
5.《算法统宗》里有一段叙述：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传”，意思是将996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传.则第二和第七个孩子分得棉的斤数之和为（ ）
A. 167 B. 176 C. 249 D. 255
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可设8个子女所得棉花斤数依次为，可知8个数字构成等差数列，公差为，前8项之和为，结合等差数列的性质，可求出的值.
【详解】由题意，设8个子女所得棉花斤数依次为，8个数字构成等差数列，公差，前8项之和为，则，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查数学文化，考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
6.已知向量，，且向量与向量平行，则的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量与向量平行，得到与的关系，再用基本不等式
【详解】解：由题知：
，当且仅当
故选：B．
【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示和基本不等式的应用，属于基础题.
7.l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(　　)
A. 0°≤α<90° B. 90°≤α<180°
C. 90°<α<180° D. 0°<α<180°
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，直线l经过第二、四象限，根据直线的倾斜角的定义，即可得到答案．
【详解】由题意，可得直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的范围是90°180°，故选C.
【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的定义，其中解答中熟记直线的倾斜角的概念，合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
8.已知等比数列{an}中，若a5+a7＝8，则a4（a6+2a8）+a3a11的值为（ ）
A. 8 B. 16 C. 64 D. 128
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列{an}中，等比中项的定义，化简求解本式即可.
详解】等比数列{an}中，
a4（a6+2a8）+a3a11＝a4a6+2a4a8+a3a11，
∵a5+a7＝8，
∴a4（a6+2a8）+a3a11＝82＝64.
故选：C.
【点睛】本题主要考查等比数列和等比中项的应用，属于基础题.
9.△ABC是边长为4的等边三角形，，则（ ）
A. ﹣2 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与数量积的定义，计算即可．
【详解】如图所示，

是边长为4的等边三角形，，
所以，
所以

．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算问题，是基础题．
10.已知正项数列的首项为1，是公差为3的等差数列，则使得成立的的最小值为（ ）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式求出数列的通项公式，解关于的不等式即可.
【详解】依题意得，，故，
令，得，解得，
因为，所以使得成立的的最小值为13.
故选:C
【点睛】本题考查等差数列通项公式；考查运算求解能力；熟练掌握等差数列通项公式是求解本题的关键；属于基础题.
11.已知向量的重心为，则与的夹角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求解出和的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的夹角公式计算出与夹角的余弦值.
【详解】，
如图，，
.
故选：B.

【点睛】本题考查坐标形式下向量夹角余弦值的计算，其中涉及到三角形重心的简单应用，难度较易.三角形的重心将所在中线分为的两段.
12.已知函数满足，且时，，则当时，与的图象的交点个数为( )
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵满足，且时，，

分别作出函数与的图像如图：

由图象可知与的图象的交点个数为11个．故选C．
考点： 1.抽象函数；2.函数图象.
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题
13.向量与向量共线且反向，则______
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量共线坐标表示，可列出方程，解得的值.
【详解】因为向量与向量共线且反向，
所以且，
则.
故答案为：.
【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.
14.若关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
讨论和时，从而求出不等式恒成立时实数m的取值范围.
【详解】时，不等式化为恒成立，满足条件；
时，有，解得，即；
综上所述，实数m的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了含有字母系数的不等式恒成立应用问题，是基础题.
15.已知，，，，设数列的前n项和为，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
将变形为，由可得数列为等比数列，求出即可.
【详解】由条件得，
则，
且，故数列是首项为，公比为的等比数列，
则.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用数列的递推式求等比数列前项和，属于常考题.
16.已知不等式的解集为，若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由不等式的解集可求得，将曲线与直线绘制在同一坐标系下，通过观察，即可得到的取值范围.
【详解】不等式的解集为，
由韦达定理可得 ，则 ，
作出曲线和直线图象，观察可知，
要使两个图象没有公共点，则.
故答案为：.

【点睛】本题考查了根据一元二次不等式解集求其参数，函数的图象，属于中档题.
三．解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）
17.已知，，与的夹角为.
(1)求的值;
(2)若k为实数，求的最小值.
【答案】(1);(2)1
【解析】
【分析】
(1)利用数量积公式得出的值，再由数量积的运算律计算即可；
(2)由模长公式得出，再由二次函数的性质得出当时，的最小值.
【详解】(1)因为，，与的夹角为，
，
所以.
(2)，
当时，的最小值为1，
即的最小值为1.
【点睛】本题主要考查了利用定义计算数量积以及已知数量积求模，属于中档题.
18.已知数列的前项和和通项满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）等差数列中，，，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先由数列的前项和和通项的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列的类型，再求出通项公式；
（2）先由题设条件求出，再结合（1）中的求出，最后利用分组求和的方法求出．
【详解】解：（1）当时有，解得．
又①，
②．
由②①可得：

即，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．
；
（2）等差数列中，，，
，，

．
【点睛】本题考查等比数列的定义及通项公式和数列求和中的分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.已知正实数，满足等式.
（1）求的最大值；
（2）若不等式恒成立，求实数取值范围.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】
(1) 求的最大值即求的最大值， 即可求出
(2)先求出的最小值为，然后解不等式即可
【详解】(1)因为，，由基本不等式，得.
又因为，所以，，
当且仅当，即时，等号成立，
此时的最大值为10.
所以.所以当，时，
的最大值为1；
(2)因为，，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
不等式恒成立，
只要，解得.
所以的取值范围是.
【点睛】1.运用基本不等式需满足三个条件：一正二定三相等
2.恒成立问题一般转化为最值问题处理.
20.已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据已知可得，由累加法可得，进而求出的通项公式；
（2）由（1）得，用错位相减法，即可求出的前项和．
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
，
…
，
所以．
又，所以，所以．
又，也符合上式，
所以对任意正整数，．
（2）结合（1）得，所以
，①
，②
，得，
，
所以．
【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，错位相减法求数列的前项和，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
21.已知，，令.
（1）求最小正周期及的解集；
（2）锐角中，，边，求周长最大值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积公式，求出，用降幂公式、二倍角公式和辅助角公式化简为正弦型函数，即可求解；
（2）依题意求的最大值，由（1）求出角，利用正弦定理，将用表示，再把转化为角关系式，利用三角恒等变换，化为关于的正弦型函数，即可求解.
【详解】（1）
，
∴，∵，∴，
∴，
∴的解集是.
（2），∴，
∴，∵，
∴
，
∵锐角三角形且角，
∴，当时，最大为，
∴周长最大值为.
【点睛】本题考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数性质、正弦定理，考查计算能力，属于中档题.
22.已知函数在区间上有最大值和最小值.设
（1）求的值
（2）若不等式在上有解,求实数的取值范围;
（3）若有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
【答案】（1）.（2）（3）
【解析】
【分析】
(1)由函数,所以在区间上是增函数,故,由此解得的值;
(2)由(1)可得,所以在上有解,等价于在上有解, 即在上有解, 令,则,即可求得的取值范围;
(3)原方程可化为,令则,有两个不同的实数解,其中,或,即可求得实数的取值范围.
【详解】(1)函数,
,
在区间上是增函数,
故:,解得.
(2)由(1)可得,
在上有解
等价于在上有解
即在上有解
令,则
,故
记,

的取值范围为
(3)原方程可化为
令则
有两个不同的实数解
其中,或
记
则——①,解得
或——②,不等式组②无实数解.
实数的取值范围为.
【点睛】本题考查根据函数零点求参数取值范围,解题关键是掌握利用零点存在的判定定理构建不等式求解,分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解,如果涉及由几个零点时,还需考虑函数的图像与参数的交点个数,考查了分析能力和计算能力.