高一数学上学期期末考试试题理21.doc

内蒙古赤峰市第二中学2016 - 2017学年高一上学期期末考试
理数试题
一、选择题: 本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4}, 集合A = {1, 2}, B = {2, 3}, 则∁U(A∩B) =
A. {1, 3, 4} B. {3, 4} C. {3} D. {4}
2. 下列函数是偶函数的是
A. y = sinx B. y = xsinx C. y = D. y = 2x -
3. 若函数f(x) = lnx + 2x - 6的零点位于区间(n, n + 1)(n Î N)内, 则n =
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 设f(x) =a = f(2), 则f(a)的值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 已知非零向量,不共线, 且=, 则向量=
A.+ B.+
C.- D.-
6. 已知a Î (, p), sina =, 则tan(a +)等于
A. B. 7 C. - D. - 7
7. 函数y = sinx和y = cosx都递减的区间是
A. [2kp -, 2kp](k Î Z) B. [2kp - p, 2kp -](k Î Z)
C. [2kp +, 2kp + p](k Î Z) D. [2kp, 2kp +](k Î Z)
8. 若向量a = (1, 2), b = (1, - 1), 则2a + b与a - b的夹角等于
A. - B. C. D.
9. 若偶函数f(x)在(- ∞, - 1]上是增函数, 则下列关系中成立的是
A. f(-) < f(- 1) < f(2) B. f(- 1) < f(-) < f(2)
C. f(2) < f(- 1) < f(-) D. f(2) < f(-) < f(- 1)
10. 若f(sina + cosa) = sinacosa, 则f(sin) =
A. - B. C. - D.
11. 已知函数f(x) = Acos(wx + j)的图象如图所示, f() = -, 则f(0) =
y
x

O

-
A. - B. - C. D.

12. 在DABC中, 对任意t Î R, 恒有|- t| ≥ ||, 则DABC为
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定其形状

第Ⅱ卷(共90分)
3
2
x
O
y
2
二、填空题(每题5分, 满分20分, 将答案填在答题纸上)
13. 已知f(x)是定义在[- 2, 0)∪(0, 2]上的奇函数,
当x > 0时, f(x)的图象如图所示, 那么f(x)的值域是 .

14. 边长为1的正DABC中, = a, = b, = c, 则a×b + b×c + c×a = .
15. 把函数f(x) = - 2cos(x +)的图象向左平移φ(φ > 0)个单位得到函数y = g(x)的图象, 若函数y = g(x)是偶函数, 则φ的最小值为 .
16. 若函数f(x) = -的定义域和值域均为[a, b], 则b - a = .

三、解答题(本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分10分)已知函数f(x) = loga(ax - 1)(a > 0, a ¹ 1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)当a = 2时, 讨论函数f(x)的单调性.
18. (本小题满分12分)已知向量a = (sinq, cosq - 2sinq), b = (1, 2).
(1)若a//b, 求tanq的值;
(2)若|a| = |b|, 0 < q < p, 求q的值.
19. (本小题满分12分)已知函数f(x) = a(2cos2+ sinx) + b.
(1)当a = 1时, 求f(x)的单调递增区间;
(1)当x Î [0, p]时, f(x)的值域是[3, 4], 求a, b的值.
20. (本小题满分12分)如图所示, 已知点A(1, 0), D(- 1, 0), 点B, C在单位圆上半部分,
且ÐBOC =.
(1)若点B(,), 求cosÐAOC的值;
B
A
x
y
O
C
D
(2)若点B在第一象限, 求四边形ABCD的周长的最大值.

21. (本小题满分12分)已知函数f(x) = |x + 1| + ax(a Î R).
O
1
2
3
4
1
2
3
4
y
x
(1)试给出a的一个值, 并画出此时函数的图象;
(2)若函数f(x)在R上具有单调性, 求a的取值范围.

22. (本小题满分12分)已知函数f(x) = 4sinωxcosωx + cos2ωx(ω > 0)的最小正周期为2π, 关于x的方程f(x) = m在[0, 2p)内有两个不同的解a, b.
(1)求实数m的取值范围;
(2)证明: cos(a - b) =- 1.

内蒙古赤峰市第二中学2016 - 2017学年高一上学期期末考试
理数试题 参考答案
一、选择题：ABBCA ACCDA CA
11. 解析1: 由图可知T = 2(-) =, 故=, ∴ w = 3, f(x) = Acos(3x + j).
∴f() = Acos(+ j) = Asinj = -,
∵f() = Acos(3×+ j) = Acos(j -)=A(cosj + sinj) = 0, 即cosj = - sinj.
(∴j -= kp +, j = kp +(k Î Z).) ∴f(0) = Acosj = - Asinj =.
解析2: 由图象可得最小正周期为, 于是f(0) = f(), 注意到与关于对称,
所以f() = - f() =
12. 解析1: 由|- t| ≥ || =|-|, 得|- t|2 ≥ |-|2,
展开并整理得2t2 - 2(×)t -2 +2׳ 0,
∵t Î R, ∴D = (- 2×)2 + 42(2 - 2×) = (2 -×)2 £ 0,
∴2 -×=×(-) =××= 0, 即^, 选A.
解析2: 令t=, 则- t=, 因为任意t Î R, 恒有|| ≥ ||, 所以AC⊥BC, 即DABC为直角的直角三角形.
解析3: 设= (1, 0),= (x, y)(y ¹ 0), 则=-= (x - 1, y),
∵|- t| ≥ ||, ∴(1 - tx)2 + (- ty)2 ³ (x - 1)2 + y2, 即(x2 + y2)t2 - 2xt - (x2 + y2 - 2x) ³ 0,
∵t Î R, ∴D = (- 2x)2 - 4(x2 + y2)(x2 + y2 - 2x) = 4(x2 + y2 - x)2 £ 0, ∴x2 + y2 - 2x = 0,
∴×= (x, y)×(x - 1, y) = 0, 即^, 选A.

二、填空题
13. [- 3, - 2)∪(2, 3] 14. - 15. 16. 6
16. 解析: ∵f(x) = -=
设0 ≤ x1 < x2, 则f(x1) - f(x2) => 0, 故f(x)在[0, + ∞)上是单调递减函数,
∵f(- x) = -== - f(x), ∴f(x)是奇函数. ∵f(0) = 0, ∴f(x)在R上是单调递减函数,
而x Î [0, + ∞)时, f(x)值域为(- 4, 0], x Î (- ∞, 0)时, f(x)值域为(0, 4),
要使得y = f(x)在[a, b]上的值域也为[a, b], 则a < 0 < b, 且即
解得∴b - a = 6. [两式相加得= a + b, (a + b)[- 1] = 0,
∵a < 0 < b, ∴- 1 ¹ 0, ∴a + b = 0, ]
三、解答题(
17. 解析: (1)当0 < a <1时, 由ax - 1 > 0, 得x < 0; 当a > 1时, 由ax - 1 > 0, 得x > 0,
所以, 当0 < a <1时, f(x)的定义域为(- ¥, 0); 当a > 1时, f(x)的定义域为(0, + ¥).
(2) f(x) = log2(2x - 1), f(x)的定义域为(0, + ¥).
设任意x1, x2 Î (0, + ¥), 且x1 < x2, 则1 <<, ∴log2(- 1) < log2(- 1),
即f(x1) < f(x2), ∴f(x)在(0, + ¥)上是增函数.
18. 解析: (1)因为a//b, 所以2sinq = cosq - 2sinq, 于是4sinq = cosq, 故tanq =.
(2)由|a| = |b|知, sin2q + (cosq - 2sinq)2 = 5, 所以1 - 2sin2q + 4sin2q = 5,
从而- 2sin2q + 2(1 - cos2q) = 4, 即sin2q + cos2q = - 1, 于是sin(2q +) = -
又由0 < q < p知, < 2q +<, 所以2q +=, 或2q +=.
因此q =, 或q =
19. 解析: (1) f(x) = 2cos2+ sinx + b = cosx + sinx + b + 1 =sin(x +) + b + 1.
由-+ 2kp £ x +£+ 2kp, 解得f(x)的单调递增区间为[-+ 2kp,+ 2kp](k Î Z).
(2) f(x) =asin(x +) + a + b, x Î [0, p].
∴£ x +£, ∴-£ sin(x +) £ 1.
①当a > 0时, b £ f(x) £ (+ 1)a + b, ∴解得
②当a < 0时, b £ f(x) £ (+ 1)a + b, ∴解得
③当a = 0时, b £ f(x) £ b, 矛盾.
故a =- 1, b = 3或a = 1 -, b = 4.
20. 解析: (1)∵B(,), ∴cos∠AOB =, sin∠AOB =;
∴cos∠AOC = cos(∠AOB +∠BOC) = cos∠AOBcos∠BOC - sin∠AOBsin∠BOC
=´-´=.
(2) 设ÐAOB = x(0 < x <), 在等腰三角形AOB中, |AB| = 2|OB|sin= 2sin,
在等腰三角形COD中, 求得|CD| = 2|OC|sin= 2sin(-),
设四边形ABCD的周长为y, 则
y = |AB| + |BC| + |CD| + |DA| = 3 + 2sin+ 2sin(-) = 3 +2sin(+),
由0 < x <得, <+<, ∴当+=, 即x =时, y取得最大值5.
O
1
2
3
4
1
2
3
4
y
x
21. 解析: (1) a = 1时, f(x) =图象如图所示.
(2)化简
① a >1时，当x ≥-1时，f(x) = (a + 1)x + 1是增函数，
且f(x) ³ f(- 1) = - a;
当x < -1时，f(x) = (a - 1)x - 1是增函数, 且f(x) < f(- 1) = - a..
所以, 当a >1时，函数f (x)在R上是增函数.
同理, 当a < - 1时, 函数f(x)在R上是减函数.
② a =1或- 1时, 易知, 不合题意.
③ -1< a <1时，取x = 0，得f(0) = 1,
取x =, 由< - 1, 知f () = 1, 所以f(0) = f(). 所以函数f (x)在R上不具有单调性.
综上可知, a的取值范围是(- ¥, - 1)∪(1, + ¥).
22. 解析: f(x) = 4sinωxcosωx + cos2ωx = 2sin2ωx + cos2ωx
=(sin2ωx +cos2ωx) =sin(2ωx + j), 其中sinj =, cosj =.
因为f(x)的最小正周期为2p, 且w > 0, 所以= 2p, 故w =, ∴f(x) =sin(x + j).
(1)依题意, sin(x + j) =在区间[0, 2p)内有两个不同的解a, b, 当且仅当|| < 1, 故m的取值范围是(-,).
(2)∵a, b是方程sin(x + j) =在区间[0, 2p)内的两个不同的解, ∴sin(a + j) =, sin(b + j) =.
当1 £ m <时, =- j, ∴a - b = p - 2(b + j);
当-< m < 1时, =- j, ∴a - b = 3p - 2(b + j);
所以cos(a - b) = - cos2(b + j) = 2sin2(b + j) - 1 = 2()2 - 1 =- 1.
解析2: (1)同解析1.
(2)因为a, b是方程sin(x + j) =在区间[0, 2p)内的两个不同的解,
所以sin(a + j) =, sin(b + j) =.
当1 £ m <时, =- j, ∴a + j = p - (b + j);
当-< m < 1时, =- j, ∴a + j = 3p - (b + j);
所以cos(a + j) = - cos(b + j),
于是cos(a - b) = cos[(a + j) - (b + j)] = cos(a + j)cos(b + j) + sin(a + j)sin(b + j)
= - cos2(a + j) + sin(a + j)sin(b + j) = - [1 - ()2] + ()2 =- 1.

9