高一数学上学期期末考试试题理21.doc

内蒙古赤峰市第二中学2016 - 2017学年高一上学期期末考试理数试题 一、选择题: 本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U = 1, 2, 3, 4, 集合A = 1, 2, B = 2, 3, 则U(AB) = A. 1, 3, 4 B. 3, 4 C. 3 D. 4 2. 下列函数是偶函数的是 A. y = sinx B. y = xsinx C. y = D. y = 2x - 3. 若函数f(x) = lnx + 2x - 6的零点位于区间(n, n + 1)(n N)内, 则n = A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 设f(x) =a = f(2), 则f(a)的值为A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知非零向量,不共线, 且=, 则向量= A.+ B.+ C.- D.-6. 已知a (, p), sina =, 则tan(a +)等于A. B. 7 C. - D. - 77. 函数y = sinx和y = cosx都递减的区间是A. 2kp -, 2kp(k Z) B. 2kp - p, 2kp -(k Z)C. 2kp +, 2kp + p(k Z) D. 2kp, 2kp +(k Z)8. 若向量a = (1, 2), b = (1, - 1), 则2a + b与a - b的夹角等于A. - B. C. D. 9. 若偶函数f(x)在(- , - 1上是增函数, 则下列关系中成立的是 A. f(-) f(- 1) f(2) B. f(- 1) f(-) f(2) C. f(2) f(- 1) f(-) D. f(2) f(-) 0时, f(x)的图象如图所示, 那么f(x)的值域是 .14. 边长为1的正DABC中, = a, = b, = c, 则ab + bc + ca = .15. 把函数f(x) = - 2cos(x +)的图象向左平移( 0)个单位得到函数y = g(x)的图象, 若函数y = g(x)是偶函数, 则的最小值为 . 16. 若函数f(x) = -的定义域和值域均为a, b, 则b - a = .三、解答题(本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分10分)已知函数f(x) = loga(ax - 1)(a 0, a 1).(1)求函数f(x)的定义域; (2)当a = 2时, 讨论函数f(x)的单调性.18. (本小题满分12分)已知向量a = (sinq, cosq - 2sinq), b = (1, 2).(1)若a/b, 求tanq的值; (2)若|a| = |b|, 0 q 0)的最小正周期为2, 关于x的方程f(x) = m在0, 2p)内有两个不同的解a, b. (1)求实数m的取值范围; (2)证明: cos(a - b) =- 1.内蒙古赤峰市第二中学2016 - 2017学年高一上学期期末考试理数试题 参考答案 一、选择题：ABBCA ACCDA CA 11. 解析1: 由图可知T = 2(-) =, 故=, w = 3, f(x) = Acos(3x + j).f() = Acos(+ j) = Asinj = -, f() = Acos(3+ j) = Acos(j -)=A(cosj + sinj) = 0, 即cosj = - sinj.(j -= kp +, j = kp +(k Z).) f(0) = Acosj = - Asinj =.解析2: 由图象可得最小正周期为, 于是f(0) = f(), 注意到与关于对称, 所以f() = - f() = 12. 解析1: 由|- t| | =|-|, 得|- t|2 |-|2, 展开并整理得2t2 - 2()t -2 +2 0, t R, D = (- 2)2 + 42(2 - 2) = (2 -)2 0, 2 -=(-) = 0, 即, 选A.解析2: 令t=, 则- t=, 因为任意t R, 恒有| |, 所以ACBC, 即DABC为直角的直角三角形.解析3: 设= (1, 0),= (x, y)(y 0), 则=-= (x - 1, y), |- t| |, (1 - tx)2 + (- ty)2 (x - 1)2 + y2, 即(x2 + y2)t2 - 2xt - (x2 + y2 - 2x) 0, t R, D = (- 2x)2 - 4(x2 + y2)(x2 + y2 - 2x) = 4(x2 + y2 - x)2 0, x2 + y2 - 2x = 0, = (x, y)(x - 1, y) = 0, 即, 选A. 二、填空题13. - 3, - 2)(2, 3 14. - 15. 16. 6 16. 解析: f(x) = -= 设0 x1 0, 故f(x)在0, + )上是单调递减函数, f(- x) = -= - f(x), f(x)是奇函数. f(0) = 0, f(x)在R上是单调递减函数, 而x 0, + )时, f(x)值域为(- 4, 0, x (- , 0)时, f(x)值域为(0, 4), 要使得y = f(x)在a, b上的值域也为a, b, 则a 0 b, 且即解得b - a = 6. 两式相加得= a + b, (a + b)- 1 = 0, a 0 b, - 1 0, a + b = 0, 三、解答题(17. 解析: (1)当0 a 0, 得x 1时, 由ax - 1 0, 得x 0, 所以, 当0 a 1时, f(x)的定义域为(0, + ).(2) f(x) = log2(2x - 1), f(x)的定义域为(0, + ). 设任意x1, x2 (0, + ), 且x1 x2, 则1 , log2(- 1) log2(- 1), 即f(x1) f(x2), f(x)在(0, + )上是增函数. 18. 解析: (1)因为a/b, 所以2sinq = cosq - 2sinq, 于是4sinq = cosq, 故tanq =. (2)由|a| = |b|知, sin2q + (cosq - 2sinq)2 = 5, 所以1 - 2sin2q + 4sin2q = 5,从而- 2sin2q + 2(1 - cos2q) = 4, 即sin2q + cos2q = - 1, 于是sin(2q +) = -又由0 q p知, 2q + 0时, b f(x) (+ 1)a + b, 解得 当a 0时, b f(x) (+ 1)a + b, 解得 当a = 0时, b f(x) b, 矛盾. 故a =- 1, b = 3或a = 1 -, b = 4. 20. 解析: (1)B(,), cosAOB =, sinAOB =; cosAOC = cos(AOB +BOC) = cosAOBcosBOC - sinAOBsinBOC =-=. (2) 设AOB = x(0 x ), 在等腰三角形AOB中, |AB| = 2|OB|sin= 2sin, 在等腰三角形COD中, 求得|CD| = 2|OC|sin= 2sin(-), 设四边形ABCD的周长为y, 则 y = |AB| + |BC| + |CD| + |DA| = 3 + 2sin+ 2sin(-) = 3 +2sin(+), 由0 x 得, +1时，当x -1时，f(x) = (a + 1)x + 1是增函数， 且f(x) f(- 1) = - a; 当x -1时，f(x) = (a - 1)x - 1是增函数, 且f(x) 1时，函数f (x)在R上是增函数.同理, 当a - 1时, 函数f(x)在R上是减函数. a =1或- 1时, 易知, 不合题意. -1 a 1时，取x = 0，得f(0) = 1, 取x =, 由 0, 所以= 2p, 故w =, f(x) =sin(x + j). (1)依题意, sin(x + j) =在区间0, 2p)内有两个不同的解a, b, 当且仅当| 1, 故m的取值范围是(-,). (2)a, b是方程sin(x + j) =在区间0, 2p)内的两个不同的解, sin(a + j) =, sin(b + j) =. 当1 m 时, =- j, a - b = p - 2(b + j); 当- m 1时, =- j, a - b = 3p - 2(b + j); 所以cos(a - b) = - cos2(b + j) = 2sin2(b + j) - 1 = 2()2 - 1 =- 1.解析2: (1)同解析1. (2)因为a, b是方程sin(x + j) =在区间0, 2p)内的两个不同的解, 所以sin(a + j) =, sin(b + j) =. 当1 m 时, =- j, a + j = p - (b + j); 当- m 1时, =- j, a + j = 3p - (b + j); 所以cos(a + j) = - cos(b + j), 于是cos(a - b) = cos(a + j) - (b + j) = cos(a + j)cos(b + j) + sin(a + j)sin(b + j) = - cos2(a + j) + sin(a + j)sin(b + j) = - 1 - ()2 + ()2 =- 1. 9