河北省衡水市武邑武罗学校2020-2021学年高二数学上学期期中试题.doc

河北省衡水市武邑武罗学校2020-2021学年高二数学上学期期中试题

河北省衡水市武邑武罗学校2020-2021学年高二数学上学期期中试题

年级：
姓名：

16

河北省衡水市武邑武罗学校2020-2021学年高二数学上学期期中试题
一 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.1-8是单选，9-12是多选，全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2.在等差数列{an}中,a5+a13=40,则a8+a9+a10= (　　)
A.72 B.60 C.48 D.36
3.已知△ABC中，a=4,b=4,A=30°,则B等于( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
4.在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，则角B的大小为( )
A．150° B．30° C．120° D．60°
5已知等差数列{an}的公差d为4,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为55,则这个数列的项数为 (　　)
A.10 B.20 C.30 D.40
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )

7.数列{an}的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
8.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,
则= (　　)
A. B. C. D.15
9.在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,则q= (　　)
A. B.2 C.- D.-2
10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正确的是 (　　)
A.若==,则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形
11.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则an
等于 (　　)
A.-(2n+1) B.2n-1 C.2n+1 D.1-2n
12.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn.前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7·a8>1,<0.则下列结论正确的是 (　　)
A.0<q<1 B.a7·a9>1
C.Sn的最大值为S9 D.Tn的最大值为T7
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.一题两空的，第一个空2分，第二个空3分请把正确答案填在题中横线上)
13在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b－c=a，2sin B=3sin C，则cos A的值为_________.
14.已知对于任意的正整数n，an＝n2＋λn.若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是_________.
15在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4, |a1|+|a2|+…+|an|=________. 
16.已知△ABC中,A=,cos B=,AC=8.则△ABC的面积为________;AB边上的中线CD的长为________. 
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知等差数列{an}的公差d不为0,a1=3,且a2,a4,a7成等比数列.
(1)求{an}的通项公式.
(2)求a2+a4+a6+…+a2n.
18.(12分)在等差数列{an}中，a1+a2=7，a3=8.令bn=，
数列{bn}的前n项和为Tn．
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.

19（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c.已知
a=2,c=,cos A=.
（1）求sin C和b的值.
（2）求cos（2A+）的值.

20（12分） 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若 a=3c, b=, cos B=,求c的值.
(2)若=,求sin的值

21.(12分)已知数列{an}满足a1=,an+1=.
(1)求证:数列是等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.

22（12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A.
(1)求B.
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
2020-2021学年度上学期高二期中考试试题（数学）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.1-8是单选，9-12是多选，全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】选B.由题意有，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．
2.在等差数列{an}中,a5+a13=40,则a8+a9+a10= (　　)
A.72 B.60 C.48 D.36
【解析】选B.根据等差数列的性质可知:
a5+a13=40⇒2a9=40⇒a9=20,a8+a9+a10=2a9+a9=3a9=60.
3.已知△ABC中，a=4,b=4,A=30°,则B等于( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
【解析】选D.根据正弦定理得又a＜b所以B=60°或120°.
4.在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，则角B的大小为( )
A．150° B．30° C．120° D．60°
【解析】选A.由正弦定理可得b2－c2－a2＝ac，由余弦定理可得cos B＝. 故B为150°.
5已知等差数列{an}的公差d为4,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为55,则这个数列的项数为 (　　)
A.10 B.20 C.30 D.40
【解析】选B.设等差数列{an}的项数为n,前n项和为Sn,
则S偶-S奇=d=2n=40,n=20,即这个数列的项数为20.
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )

【解析】选C.由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6①.
由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab②.
所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.
所以S△ABC＝.
7.数列{an}的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选D.由题意可得,当n=1时,a1=S1=1+1=2.
当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=2n-1,
经过验证后当n=1时不符合上式,
所以前n项和Sn=n2+1不能推出an=2n-1,
反之,an=2n-1也不能推出Sn=n2+1.
故数列{an}的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的既不充分又不必要条件.
8.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,
则= (　　)
A. B. C. D.15
【解析】选B.因为======.
9.在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,则q= (　　)
A. B.2 C.- D.-2
【解析】选AC.因为数列{an}是等比数列,所以a2a3a4==8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,所以q=或-.
10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正确的是 (　　)
A.若==,则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形
【解析】选AC.由==,利用正弦定理可得==,即
tan A=tan B=tan C,A=B=C,△ABC是等边三角形,A正确;
由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B⇒sin 2A=sin 2B,2A=2B或2A+2B=π,△ABC是等腰或直角三角形,B不正确;由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,即sin =sin B,sin A=sin B,则A=B,△ABC是等腰三角形,C正确;
由余弦定理可得cos C=>0,角C为锐角,角A,B不一定是锐角,D不正确,故选AC.
11.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则an
等于 (　　)
A.-(2n+1) B.2n-1 C.2n+1 D.1-2n
【解析】选AC.当n为奇数时,an=n2-(n+1)2=-(2n+1)
当n为偶数时,an=-n2+(n+1)2=2n+1.
12.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn.前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7·a8>1,<0.则下列结论正确的是 (　　)
A.0<q<1 B.a7·a9>1
C.Sn的最大值为S9 D.Tn的最大值为T7
【解析】选AD.因为a1>1,a7·a8>1,<0,所以a7>1,a8<1,
所以0<q<1,故A正确;a7·a9=<1,故B错误;
因为a1>1,0<q<1,所以数列为递减数列,所以Sn无最大值,故C错误,
又a7>1,a8<1,所以T7是Tn的最大值,故D正确.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.一题两空的，第一个空2分，第二个空3分请把正确答案填在题中横线上)
13在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b－c=a，2sin B=3sin C，则cos A的值为_________.
【解析】因为2sin B=3sin C，所以2b=3c，
解得b=，a=2c.所以cos A=.答案：－
14.已知对于任意的正整数n，an＝n2＋λn.若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是_________.
【解析】因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ＞0对于任意的正整数n恒成立，即λ＞－2n－1对于任意的正整数n恒成立，所以λ＞－3.答案：λ＞-3
15在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4, |a1|+|a2|+…+|an|=________. 
【解析】本题主要考查了等比数列的通项及其求和.
依题意a1=,a4=-4,则·q3=-4,所以q3=-8,所以q=-2.
所以an=(-2)n-1,所以|an|=2n-2.
所以|a1|+|a2|+…+|an|==2n-1-.答案:　2n-1-
16.已知△ABC中,A=,cos B=,AC=8.则△ABC的面积为________;AB边上的中线CD的长为________. 
【解析】因为cos B=,且B∈(0,π),所以sin B==.
所以sin C=sin (π-A-B)=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=,在△ABC中,由正弦定理得=,
即=,解得AB=7,所以△ABC的面积为
S=AB·AC·sin A=×7×8×=28.
在△ACD中,AD=, 所以由余弦定理得
CD2=82+-2×8××=,所以CD=.答案:28　
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知等差数列{an}的公差d不为0,a1=3,且a2,a4,a7成等比数列.
(1)求{an}的通项公式. (2)求a2+a4+a6+…+a2n.
【解析】(1)因为a2,a4,a7成等比数列,所以=a2a7,
即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+6d),化简得(a1-3d)d=0,
因为公差d≠0,所以a1=3d,因为a1=3,所以d=1,
所以an=a1+(n-1)d=n+2.
(2)由(1)知a2n=2n+2,故{a2n}是首项为4、公差为2的等差数列,
所以a2+a4+a6+…+a2n===n2+3n.
18.(12分)在等差数列{an}中，a1+a2=7，a3=8.令bn=，数列{bn}的前n项和Tn．
(1)求数列{an}的通项公式. (2)求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由
得解得a1=2，d=3,
所以an=2+3(n-1)=3n-1.
(2)因为

所以Tn=b1+b2+…+bn

19（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c.已知
a=2,c=,cos A=.
（1）求sin C和b的值.（2）求cos（2A+）的值.
【解析】（1）在中，由
又由.
20（12分） 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值.
(2)若=,求sin的值.
【解析】(1)因为a=3c,b=,cos B=,
由cos B=,得=,即c2=.所以c=.
(2)因为=,
由正弦定理=,得=,所以cos B=2sin B.
从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=.
因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=.
因此sin=cos B=.
21.(12分)已知数列{an}满足a1=,an+1=.
(1)求证:数列是等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)因为an+1=,且可知an≠0,所以-=2,所以数列是等差数列.所以=+2(n-1)=2n,即an=.
(2)因为bn==,
所以Sn=b1+b2+…+bn=1+++…+,则Sn=+++…+,两式相减得Sn=1++++…+-=2-,所以Sn=4-.
22（12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A.
(1)求B.
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.
因为sin A≠0,所以sin=sin B.
由A+B+C=180°,可得sin=cos,
故cos=2sincos.
因为cos≠0,故sin=,因此B=60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.
由正弦定理得a===+.
由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°,由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故<a<2,从而<S△ABC<.
因此,△ABC面积的取值范围是.