广东高中青数学教师命题大赛理科.doc

2010年高考数学测试题（理科）（34）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页,试卷满分150分,答题时间为120分钟．
注意事项：
1．答题前,考生必须将自己地姓名、准考号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区
域内.
2．选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目地答案标号涂黑,如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.
3．非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹地签字笔书写,字迹工整,笔迹清楚,请按照题号顺序在各个题目地答题区域作答,超出答题区域书写地答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
参考公式
如果事件Ａ、Ｂ互斥,那么
如果事件Ａ、Ｂ相互独立,那么
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出地四个选项中,只有一个是符合题目要求地．
1．若集合,,则=
A． B． C． D．
2．在复平面内,复数 对应地点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知,则地值等于
A． B．1 C．2 D．3
4．已知三条不重合地直线m、n、l,两个不重合地平面,有下列命题
①若； ②若；
③若； ④若；
其中正确地命题个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知数列、都是公差为1地等差数列,其首项分别为、,且,,,则数列前10项地和等于
A.55 B.70 C.85 D.100
6．定义行列式运算=. 将函数地图象向左平移（）个单位,所得图象对应地函数为偶函数,则地最小值为
A． B． C． D．
7．定义在上地函数地图象关于点成中心对称,对任意地实数都有,且,则地值为
A．-2 B．-1 C．0 D．1
8．对任意正整数,定义地双阶乘如下：
当为偶数时,
当为奇数时,`
现有四个命题：①, ②,
③个位数为0, ④个位数为5
其中正确地个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题. 每小题5分,满分30分.
9．若抛物线地焦点与双曲线地右焦点重合,则地值为 ．

10．设＝,则二项式展开式中含项地系数是
11．在Rt△ABC中,CA⊥CB,斜边AB上地高为h1,
则；类比此性质,如图,在四
面体P—ABC中,若PA,PB,PC两两垂直,底
面ABC上地高为h,则得到地正确结论为 ；
12．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒地作用,把名使用血清地人与另外名未用血清地人一年中地感冒记录作比较,提出假设：“这种血清不能起到预防感冒地作用”,利用列联表计算得,经查对临界值表知．
对此,四名同学做出了以下地判断：
p：有地把握认为“这种血清能起到预防感冒地作用”
q：若某人未使用该血清,那么他在一年中有地可能性得感冒
r：这种血清预防感冒地有效率为
s：这种血清预防感冒地有效率为
则下列结论中,正确结论地序号是 ．（把你认为正确地命题序号都填上）
（1） p∧﹁q ； （2）﹁p∧q ；
(3)（﹁p∧﹁q）∧（r∨s）； （4）(p∨﹁r)∧(﹁q∨s)
▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选地只计算前两题地得分.
13．（坐标系与参数方程选做题） 已知圆地极坐标方程为,则该圆地圆心到直线 地距离是 .
14．（不等式选讲选做题） 已知g(x)=|x-1|-|x-2|,则g(x)地值域为 ；

B
A
P
C
若关于地不等式地解集为空集,则实数地取值范围是 ．
15．（几何证明选讲选做题） 如图：PA与圆O相切于A,
PCB为圆O地割线,并且不过圆心O,已知∠BPA=,
PA=,PC=1,则圆O地半径等于 ．
三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
16．（本小题满分12分） 在△ABC中,角A、B、C地对边分别为a、b、c.已知a+b=5,c =,且 (1) 求角C地大小； （2）求△ABC地面积.
17．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R地函数：
（1）现从盒子中任取两张卡片,将卡片上地函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数地概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数地卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数地分布列和数学期望.

18．(本小题满分14分) 已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上地点,EF∥BC,AE = x,G是BC地中点.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .
(1) 当x=2时,求证：BD⊥EG ；
(2) 若以F、B、C、D为顶点地三棱锥地体积记为f(x),求f(x)地最大值；
(3) 当 f(x)取得最大值时,求二面角D-BF-C地余弦值.
19．(本小题满分14分) 椭圆C地中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率e = ,椭圆上地点到焦点地最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0,m）,与椭圆C交于相异两点A、B,且．（1）求椭圆方程； （2）若,求m地取值范围．
20．(本小题满分14分)已知数列地前n项和满足：（a为常数,且）． （Ⅰ）求地通项公式；
（Ⅱ）设,若数列为等比数列,求a地值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）地情形下,设,数列地前n项和为Tn .
求证：．
21．(本小题满分14分) 已知函数
（I）若 在其定义域是增函数,求b地取值范围；
（II）在（I）地结论下,设函数地最小值；
（III）设函数地图象C1与函数地图象C2交于点P、Q,过线段PQ地中点R作x轴地垂线分别交C1、C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处地切线与C2在N处地切线平行？若存在,求出R地横坐标；若不存在,请说明理由.
试题知识分值分布

文科
理科
知识版块
题号
分值
题号
分值
集合与逻辑

1
5
函数与导数
8、21
19
3、7、10、21
29
立体几何
6、9、19
24
4、18
19
平面解析几何
7、12、20
24
9、19
19
算法初步
5
5

概率与统计
2、17
17
12、17
17
平面向量与三角
1、4、16
22
6、16
17
数列
10、11、18
24
5、20
19
推理与证明
13
5
8、11
10
复数
3
5
2
5
坐标系与参数方程
15
5
13
10
几何证明选讲
14
5
15
不等式选讲

14
2010年高考数学测试题答案（理科）
一、选择题：（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
D
B
C
C
D
C
1、解析： B．本题考查了定义域及交集运算
={-1＜x＜1}, N={0≤x＜1}
2． 解析：B．本题考查了复数地概念及运算
原式=
3．解析：D．本题考查了函数概念及分段函数

4．解析：B．本题考查了直线和平面地基本位置关系．
②,④正确；①,③错误
5．解析：C．本题考查了等差数列地通项及前项和计算．

因此,数列 也是等差数列,并且前10项和等于：
6． 解析：C．本题考查了信息地处理、迁移和应用能力以及三角函数地基础知识．
=2cos(x+) 左移 n 2cos(x+n+) , 因此,n=
7． 解析：D．本题考查了函数地对称性和周期性．
由,得,因此,是周期函数,并且周期是３
函数地图象关于点成中心对称, 因此,=-,所以,
,＝
8．解析：C．本题考查了信息处理和应用能力．
因为

所以,有
因此,①,③,④正确；②错误
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题：本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题. 每小题5分,满分30分.
9． 解析：６．本题考查了抛物线和双曲线地有关基本知识．
双曲线地右焦点F（3,0）是抛物线地焦点,所以,,p=6
10．解析：－192．本题考查了简单定积分地计算以及求二项式展开式地指定项地基本方法．
＝=2 , T=(-1) ()()=(-1) 2x
D
O
令３－r=2,得r=1 , 因此,展开式中含项地系数是－192．
11．解析：．本题考查了合情推理地能力．
连接CO且延长交AB于点D,连PD,
由已知PC⊥PD,在直角三角形PDC中,DC·h＝PD·PC,
即,
容易知道 AB⊥平面PDC,所以AB⊥PD,
在直角三角形APB中,AB·PD＝PA·PB,所以,
,故.
（也可以由等体积法得到）
12．解析：（1）（4）．本题考查了独立性检验地基本思想及常用逻辑用语．由题意,得,,所以,只有第一位同学地判断正确,即：有地把握认为“这种血清能起到预防感冒地作用”．由真值表知（1）（4）为真命题．
▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选地只计算前两题地得分.（其中14题第一空3分,第二空2分）
13．解析：．本题考查了简单地直线和圆地极坐标方程以及它们地基本知识．
直线 化为直角坐标方程是2x+y-1=0; 圆地圆心（１,０）
到直线2x+y-1=0地距离是
14． 解析： [－１,１] ； ．本题考查绝对值地意义,含参绝对值不等式地解法．
当x≤1时,g(x)=|x-1|-|x-2|=-1
当１＜x≤２时,g(x)=|x-1|-|x-2|=2x-3,所以-１<≤1
当x＞２时,g(x)=|x-1|-|x-2|=1
综合以上,知-1≤g(x) ≤1.
（此结果也可以由绝对值地几何意义直接得出）
A
E

B
P
C
D

地解集为空集,就是1= []max＜
所以 .
15．解析：7．本题考查了圆和切线地基本知识．
由圆地性质PA=PC·PB,得,PB=12,连接OA并反向延长
交圆于点E,在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J记圆地半径为R,由于ED·DA=CD·DB
因此,(２R－２) ·2=3·8,解得R=7
三、解答题：
16．（本小题满分12分）
(1) 解：∵A+B+C=180°
由 …………1分
∴ ………………3分
整理,得 …………4分
解 得： ……5分
∵ ∴C=60° ………………6分
（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC,即7=a2+b2－ab …………7分
∴ ………………8分
由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分
……10分
∴ …………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）记事件A为“任取两张卡片,将卡片上地函数相加得到地函数是奇函数”,由题意知 ………………………………………………………………4分
（2）ξ可取1,2,3,4.
,
； …………8分
故ξ地分布列为
ξ
1
2
3
4
P

……………………………………………………………10分

答：ξ地数学期望为 ………………………………………………………………12分
18．（本小题满分14分）
解:（1）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz.…………………………………………… 1分
则A（0,0,2）,B（2,0,0）,G（2,2,0）,D（0,2,2）,E（0,0,0）…………2分
x
y
z

（－2,2,2）,（2,2,0）…………………………………………………3分
H
（－2,2,2）·（2,2,0）＝0,∴ ……………………………4分
（法二）作DH⊥EF于H,连BH,GH,……………1分
由平面平面知：DH⊥平面EBCF,
而EG平面EBCF,故EG⊥DH.
又四边形BGHE为正方形,∴EG⊥BH,
BHDH＝H,故EG⊥平面DBH,………………… 3分
而BD平面DBH,∴ EG⊥BD.………………… 4分
（或者直接利用三垂线定理得出结果）
（2）∵AD∥面BFC,
所以 VA-BFC＝＝··4·(4-x)·x
………………………………………………………………………7分
即时有最大值为.…………………………………………………………8分
（3）（法一）设平面DBF地法向量为,∵AE=2, B（2,0,0）,D（0,2,2）,
H
_
E
M
F
D
B
A
C
G
F（0,3,0）,∴（－2,2,2）, ………………………………9分
则 ,
即,
取x＝3,则y＝2,z＝1,∴
面BCF地一个法向量为 ……………………………12分
则cos<>= …………………………………………13分
由于所求二面角D-BF-C地平面角为钝角,所以此二面角地余弦值为－ …………………14分
（法二）作DH⊥EF于H,作HM⊥BF,连DM.
由三垂线定理知 BF⊥DM,∴∠DMH是二面角D-BF-C地平面角地补角.…………………9分
由△HMF∽△EBF,知,而HF=1,BE=2,,∴HM＝.
又DH＝2,
∴在Rt△HMD中,tan∠DMH=-,
因∠DMH为锐角,∴cos∠DMH＝, ………………………………13分
而∠DMH是二面角D-BF-C地平面角地补角,
故二面角D-BF-C地余弦值为－. ………………………………14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）设C：＋＝1（a>b>0）,设c>0,c2＝a2－b2,由条件知a-c＝,＝,
∴a＝1,b＝c＝,
故C地方程为：y2＋＝1　 ………………………………………4分
（2）由＝λ得－＝λ（－）,（1＋λ）＝＋λ,
∴λ＋1＝4,λ＝3　 ………………………………………………6分
设l与椭圆C交点为A（x1,y1）,B（x2,y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝, x1x2＝　 ………………………………………………9分
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2,得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0,∴3（）2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　 ………………………………………………11分
m2＝时,上式不成立；m2≠时,k2＝,
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0,∴－1<m<－ 或 <m<1
容易验证k2>2m2－2成立,所以（）成立
即所求m地取值范围为（－1,－）∪（,1） ………………………14分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∴
当时,
,即是等比数列． ∴； ……………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,若为等比数列,
则有而
故,解得, ………………………………7分
再将代入得成立,
所以． ………………………………………………………………8分
（III）证明：由（Ⅱ）知,所以

, ………………………………………………… 9分
由得
所以, …………………… 12分
从而

．
即． …………………………14分
21．解：（I）依题意：
在（0,+）上是增函数,
对x∈（0,+）恒成立, …………2分

…………4分
（II）设

当t=1时,ym I n=b+1； …………6分

当t=2时,ym I n=4+2b …………8分

当地最小值为 …………9分
（III）设点P、Q地坐标是
则点M、N地横坐标为
C1在点M处地切线斜率为
C2在点N处地切线斜率为 …………10分
假设C1在点M处地切线与C2在点N处地切线平行,则

……………11分

设 ……………… ① …………12分

这与①矛盾,假设不成立.故C1在点M处地切线与C2在点N处地切线不平行. …………14分
12 / 12