p252-316讲稿北师大的群论.doc

5.3 微扰引起的能级分裂复习：定理二如果不存在偶然简并，则依薛定谔方程群G的一个不可约表示变换的的本征函数，属于同一能量本征值。根据微扰势能与的对称性，能级的分裂有以下两种情况：（1）的对称群为G，的对称群为G，G是G的子群；的对称群是G群G的第j个不可约表示，是G的表示。一般是可约表示，可以约化为且表示的维数 没有微扰时的重简并能级，可能分裂。（2）的对称群为G，的对称群也是G；的对称群还是G微扰不引起能级分裂。例1原子处于简立方晶场中，能级的分裂情况。解：的对称群（正当转动）为G=SO(3)，的对称群为G=O，是G的子群；的对称群是G=O自由原子中电子的能级是重简并的，个简并波函数构成群G=SO(3)的第个不可约表示；群O是SO(3)的子群。该维表示是群O的可约表示，可以约化为几个低维的不可约表示，对应于重简并能级的分裂。具体讨论如下：SO(3)群的第个（维）不可约表示的特征标为也是O群的维可约表示的特征标；具体O群的不可约表示特征标表：由 则O群的维可约表示，约化为（1维）：D0=D1 （s态不分裂）（3维）：D1=D4 （p态不分裂）（5维）：D2=D3D5（d态分裂为2个）（7维）：D3= D2D4D5（f态分裂为3个：1个单重态，2个三重态）（9维）：D4= D1D3D4D5（g态分裂为4个能级：1个单重态，1个二重态，2个三重态）例2 例1的进一步讨论（对称性再降低）。沿立方体的三度轴拉伸，微扰的对称群为D3；的对称群进一步由O降低为D3。解：D3群是O群的子群，O群的不可约表示成为D3群的可约表示；特征标为D3群的不可约表示特征标表：则D3群的可约表示，约化为D1=A1D2=A2D3=ED4= A2ED5= A1E作业：（p.289）习题6、75.4 矩阵元定理与选择定则含时微扰的矩阵元 （5.4-2）跃迁几率为 （5.4-1）允许跃迁，禁戒跃迁。的本征态是按的群G的不可约表示来分类的。可将跃迁矩阵元改写为将，用的本征函数集（表象）展开即跃迁矩阵元若展开系数为零，就意味着由到的跃迁是禁戒跃迁。矩阵元定理如果函数中不包含依群G的第个不可约表示第n列基函数变换的部分，那么，矩阵元.具体分析中是否包含成份：荷载群G的表示为直积表示（例如：）直积表示D可以约化为群G的不可约表示的直和（1）如果（记作），则.其中 （2）如果，需进一步确定函数中是否包含表示的第n列基函数。电偶极跃迁的选择定则（设G=C4v）C4v群的特征标表微扰哈密顿V的分量，可以成为D1及D5的基函数，即首先，分析D1与D2能级之间的跃迁：（1）初态D2：（2）初态D1：在电偶极矩作用下，能级D1与D2之间的跃迁是禁戒的。一般地，（） （）在电偶极矩作用下，DiDi、以及 DiD5之间的跃迁是可能的。特殊地，（1），Di到Di之间的跃迁是可能的；（2）， （） （）DiD5（）的跃迁是可能的。磁偶极跃迁的选择定则（设G=C4v）（略）具有反演中心体系的跃迁选择定则电偶极矩作用下，相同宇称的态之间的跃迁是禁戒的。量子力学中，得到偶极跃迁选择定则就是表明偶极跃迁发生在不同宇称态之间。（偶宇称）5.5 计入自旋1/2的理论（略）5.6 时间反演对称性时间反演算符T的定义：， 有 ， 物理量算符，分为两类：、 时间反演算符T（一）不考虑自旋（时间反演算符）T = K（复共轭算符）说明如下： 又 即 时间反演算符（T = K）的性质：（1）（反线性算符）（2） （反幺正算符）（3） （单位算符）（二）考虑自旋时间反演算符T反线性反幺正算符，记T = UK（其中U是幺正算符）下面确定U。（略）考虑自旋的时间反演算符 或 5.7 空间及时间的平移H具有空间平移不变性，则 动量守恒；H具有转动不变性， 则 角动量守恒；， （3.2-18）H具有时间平移不变性，则 能量守恒；H具有空间反演不变性，则 宇称守恒；空间平移定义函数平移算符下面分析函数平移算符的具体表示式。对于，有。泰勒展开一般， 若，当且仅当。时间平移定义时间平移算符下面分析时间平移算符的具体表示式。泰勒展开，得到 （5.7-8）若，H本身与时间无关，能量守恒。第六章 空间群与晶体能带6.1 广义空间群转动平移算符由正交变换（包括正当的或非正当的转动）加上平移而组合成的等距离变换。不是一个保长变换；不是一个线性算符：广义空间群的集合组成群。（1）单位元（2）证明：（3）逆元证明：设由 ，有，得到 ，。（4）满足结合率。广义空间群的子群转动反演群O(3)：平移群：的集合组成群。正规子群。函数变换算符例如：对平面波的作用即 或写作 对于R=E，；对于，6.2 晶体空间群格点位矢即格矢 作用前后，要求格点重合。简单晶格：复式晶格：不一定是格矢晶体空间群通常简称为空间群。6.2.1 空间群性质1 平移对称操作中，具体有性质2 若有，则也必然是格矢。证明：性质3 中，若，则（1）转轴必在格矢方向，且必与某格矢垂直（n1）；（2）n=1,2,3,4,6性质4 若有群元和，则性质5 群元中，平移部分只有两种（1）（2）（n是转动R的阶）空间群分别称为（1）简单空间群：（2）非简单空间群：、简单空间群73个，空间群230个。非简单空间群特有的两种（两类）操作：n度螺旋， 滑移反映6.2.2 晶体空间群的结构平移群T是空间群G的正规子群。晶格平移群：，；阶；阶布拉伐格子是简立方 的平移群 记作Ts；布拉伐格子是面心立方的平移群记作Tf；布拉伐格子是体心立方的平移群记作Tb。空间群G的点群G0的群G0称为空间群G的点群。简单空间群的点群，是空间群G的子群。空间群G的商群平移群T是空间群G的正规子群。空间群G可以按平移群T做陪集展开商群G/T商群G/T与空间群的点群G0同构。空间群G的阶 只要知道 平移群（或平移群的生成元）和 陪集代表元，就可以确定空间群G.6.2.3 晶体空间群实例（CsCl晶体）Ts：，（NaCl、铜）Tf：， （金刚石、硅、锗），Tf：， （Na、K）Tb：，（金红石）（其中），T：简单四方格子（布拉伐格子）平移群。 （镁、锌等六角密积结构金属）（其中），T：简单六角格子（布拉伐格子）平移群。 六角晶系的（实用）原胞基矢：6.2.4 二维空间群（略）作业：6.1 计算。6.2 设转动的转轴是（O是位于某格点上的坐标原点），过O点作某格点P的位矢，R作用于得到、。证明这n个格矢之和的和矢量方向平行于转轴。6.3 证明晶体对称操作的正当转动角度只能是，其中n=1、2、3、4、6。- 20 -