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§5.3 微扰引起的能级分裂
复习：定理二
如果不存在偶然简并，则依薛定谔方程群G的一个不可约表示变换的的本征函数，属于同一能量本征值。

根据微扰势能与的对称性，能级的分裂有以下两种情况：
（1）的对称群为G，
的对称群为G’，G’是G的子群；
的对称群是G’
群G的第j个不可约表示，是G’的表示。一般是可约表示，可以约化为

且表示的维数
没有微扰时的重简并能级，可能分裂。
（2）的对称群为G，
的对称群也是G；
的对称群还是G
微扰不引起能级分裂。

例1
原子处于简立方晶场中，能级的分裂情况。
解：的对称群（正当转动）为G=SO(3)，
的对称群为G’=O，是G的子群；
的对称群是G’=O
自由原子中电子的能级是重简并的，个简并波函数构成群G=SO(3)的第个不可约表示；
群O是SO(3)的子群。该维表示是群O的可约表示，可以约化为几个低维的不可约表示，对应于重简并能级的分裂。

具体讨论如下：

SO(3)群的第个（维）不可约表示的特征标为

也是O群的维可约表示的特征标；具体

O群的不可约表示特征标表：

由
则O群的维可约表示，约化为
（1维）：D0=D1 （s态不分裂）
（3维）：D1=D4 （p态不分裂）
（5维）：D2=D3⊕D5（d态分裂为2个）
（7维）：D3= D2⊕D4⊕D5
（f态分裂为3个：1个单重态，2个三重态）
（9维）：D4= D1⊕D3⊕D4⊕D5
（g态分裂为4个能级：
1个单重态，1个二重态，2个三重态）

例2 例1的进一步讨论（对称性再降低）。
沿立方体的三度轴拉伸，
微扰的对称群为D3；
的对称群进一步由O降低为D3。
解：D3群是O群的子群，O群的不可约表示成为D3群的可约表示；特征标为

D3群的不可约表示特征标表：

则D3群的可约表示，约化为
D1=A1
D2=A2
D3=E
D4= A2⊕E
D5= A1⊕E

作业：（p.289）习题6、7

§5.4 矩阵元定理与选择定则
含时微扰的矩阵元
（5.4-2）
跃迁几率为
（5.4-1）

允许跃迁，禁戒跃迁。

的本征态是按的群G的不可约表示来分类的。可将跃迁矩阵元

改写为

将，用的本征函数集（表象）展开

即跃迁矩阵元

若展开系数为零，就意味着由到的跃迁是禁戒跃迁。
矩阵元定理
如果函数中不包含依群G的第β个不可约表示第n列基函数变换的部分，那么，矩阵元.

具体分析中是否包含成份：
荷载群G的表示为直积表示

（例如：）
直积表示D可以约化为群G的不可约表示的直和

（1）如果（记作），则.
其中
（2）如果，需进一步确定函数中是否包含表示的第n列基函数。

电偶极跃迁的选择定则（设G=C4v）

C4v群的特征标表

微扰哈密顿V的分量，可以成为D1及D5的基函数，即

首先，分析D1与D2能级之间的跃迁：
（1）初态D2：

（2）初态D1：

在电偶极矩作用下，能级D1与D2之间的跃迁是禁戒的。
一般地，
（）
（）

在电偶极矩作用下，
Di←→Di、以及 Di←→D5
之间的跃迁是可能的。
特殊地，
（1），，
Di到Di之间的跃迁是可能的；
（2），，
（）
（）

Di←→D5（）的跃迁是可能的。

磁偶极跃迁的选择定则（设G=C4v）
（略）
具有反演中心体系的跃迁选择定则
电偶极矩作用下，相同宇称的态之间的跃迁是禁戒的。
量子力学中，得到偶极跃迁选择定则

就是表明偶极跃迁发生在不同宇称态之间。
（偶宇称）

§5.5 计入自旋1/2的理论
（略）

§5.6 时间反演对称性
时间反演算符T的定义：
，
有 ，
物理量算符，分为两类：
、

时间反演算符T

（一）不考虑自旋
（时间反演算符）T = K（复共轭算符）
说明如下：

∵
∴
又
即
∴

时间反演算符（T = K）的性质：
（1）（反线性算符）
（2） （反幺正算符）
（3） （单位算符）

（二）考虑自旋
时间反演算符T反线性反幺正算符，记
T = UK（其中U是幺正算符）
下面确定U。
（略）
考虑自旋的时间反演算符
或

§5.7 空间及时间的平移
H具有空间平移不变性，则 动量守恒；
H具有转动不变性， 则 角动量守恒；
， （3.2-18）
H具有时间平移不变性，则 能量守恒；
H具有空间反演不变性，则 宇称守恒；
…
空间平移
定义函数平移算符

下面分析函数平移算符的具体表示式。

对于，有。
泰勒展开

一般
，
若，当且仅当。

时间平移
定义时间平移算符

下面分析时间平移算符的具体表示式。
泰勒展开，得到

（5.7-8）
若，H本身与时间无关，能量守恒。

第六章 空间群与晶体能带

§6.1 广义空间群
转动平移算符
由正交变换（包括正当的或非正当的转动）加上平移而组合成的等距离变换。

不是一个保长变换；
不是一个线性算符：

广义空间群
的集合组成群。
（1）单位元
（2）
证明：

（3）逆元
证明：设
由 ，有
，
得到 ，。
（4）满足结合率。

广义空间群的子群
转动反演群O(3)：
平移群：的集合组成群。正规子群。

函数变换算符

例如：对平面波的作用

即
或写作

对于R=E，；
对于，

§6.2 晶体空间群
格点位矢即格矢
作用前后，要求格点重合。
简单晶格：
复式晶格：不一定是格矢
晶体空间群通常简称为空间群。

§6.2.1 空间群
性质1 平移对称操作中，
具体有

性质2 若有，则也必然是格矢。
证明：
性质3 中，若，则
（1）转轴必在格矢方向，
且必与某格矢垂直（n>1）；
（2）n=1,2,3,4,6
性质4 若有群元和，则
性质5 群元中，平移部分只有两种
（1）
（2）（n是转动R的阶）
空间群分别称为
（1）简单空间群：
（2）非简单空间群：、
简单空间群73个，空间群230个。

非简单空间群特有的两种（两类）操作：
n度螺旋， 滑移反映

§6.2.2 晶体空间群的结构
平移群T是空间群G的正规子群。
晶格平移群
：，；阶
；阶
布拉伐格子是简立方 的平移群 记作Ts；
布拉伐格子是面心立方的平移群记作Tf；
布拉伐格子是体心立方的平移群记作Tb。

空间群G的点群G0
的群G0称为空间群G的点群。
简单空间群的点群，是空间群G的子群。
空间群G的商群
平移群T是空间群G的正规子群。
空间群G可以按平移群T做陪集展开

商群G/T

商群G/T与空间群的点群G0同构。
空间群G的阶
只要知道 平移群（或平移群的生成元）和 陪集代表元，就可以确定空间群G.

§6.2.3 晶体空间群实例
（CsCl晶体）

Ts：，，
（NaCl、铜）

Tf：，，

（金刚石、硅、锗）
，
Tf：，，
（Na、K）

Tb：，，

（金红石）
（其中），
T：简单四方格子（布拉伐格子）平移群。

（镁、锌等六角密积结构金属）
（其中），
T：简单六角格子（布拉伐格子）平移群。
六角晶系的（实用）原胞基矢：

§6.2.4 二维空间群
（略）
作业：
6.1 计算。
6.2 设转动的转轴是（O是位于某格点上的坐标原点），过O点作某格点P的位矢，R作用于得到、、…。证明这n个格矢之和的和矢量方向平行于转轴。
6.3 证明晶体对称操作的正当转动角度只能是，其中n=1、2、3、4、6。

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