实数典型例题.doc

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实数典型例题及练习习题
一．有关概念的识别
　　1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ）
　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4
　解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数
　　故选C
　　举一反三：
　　【变式1】下列说法中正确的是（ ）
　　A、的平方根是±3　 B、1的立方根是±1　 C、=±1 　D、是5的平方根的相反数
　　【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，
　　　　　　∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．
　　　　　　∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．
　　【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）

　　A、1　　　 B、1.4　　　 C、 　　　D、
　【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．
　　【变式3】
　　【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10
　　　　　　因此3π-9＞0，3π-10＜0
　　　　　　∴
类型二．计算类型题
　　2．设，则下列结论正确的是（ ）
　　A. 　　　　　　B.
　　C. 　　　　　　D.
　　解析：（估算）因为，所以选B
　　举一反三：
　　【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________， ___________，___________.
　　【答案】1）；.2）-3. 3）， ，

　　【变式2】求下列各式中的
　　（1） 　　　（2）　　　　（3）
　　【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-
类型三．数形结合
　　3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
　　解析：在数轴上找到A、B两点，
　　举一反三：
　　【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）　　　　
　　A．－1 B．1－ C．2－ D．－2
　　【答案】选C
　　[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

　　　　　　化简
　　【答案】：
类型四．实数绝对值的应用
　　4．化简下列各式：
　　(1) |-1.4|　　　(2) |π-3.142|
　　(3) |-| 　　　(4) |x-|x-3|| (x≤3)
　　(5) |x2+6x+10|
　　分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
　　解：(1) ∵=1.414…＜1.4
　　 　　　 ∴|-1.4|=1.4-
　　　　(2) ∵π=3.14159…＜3.142
　　 　　　 ∴|π-3.142|=3.142-π
　　　　(3) ∵＜, ∴|-|=-
　　　　(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,
　　 　　　 ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
　　 　　　 　　　　　 =|2x-3| =
　　说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
　　(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
　　　　∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0
　　　　∴|x2+6x+10|= x2+6x+10
　　举一反三：
　　【变式1】化简：
　　【答案】=+-=
类型五．实数非负性的应用
　　5．已知：=0，求实数a, b的值。
　　分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组 从而求出a, b的值。
　　解：由题意得
　　　　由(2)得 a2=49 ∴a=±7
　　　　由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。
　　　　∴只取a=7
　　　　把a=7代入(1)得b=3a=21
　　　　∴a=7, b=21为所求。
　　举一反三：
　　【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
　　解：∵(x-6)2++|y+2z|=0
　　　　且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,
　　　　几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
　　　　∴ 解这个方程组得
　　　　∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

　　【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
　　【答案】初中阶段的三个非负数： ，
　　　　　　a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2
类型六．实数应用题
　　6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
　　解：设新正方形边长为xcm，
　　　　根据题意得 x2=112+13×8
　　　　∴x2=225
　　　　∴x=±15
　　　　∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，
　　　　∴只取x=15(cm)
　　答：新的正方形边长应取15cm。
　　举一反三：
　　【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）

　　（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
　　（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积
　　　　 多24cm2，求中间小正方形的边长.

　　解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：
　　　　　　　 ，所以面积为=
　　　　　　　 大正方形的面积=，
　　　　　　　 一个长方形的面积=。
　　　　　　　 所以，

　　　　　　　 答：中间的小正方形的面积，
　　　　　　　　　发现的规律是：（或）
　　　 　(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长：
　　　　　　 ，即 ，
　　　　　　 又 大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2
　　　　　　 所以有，
　　　　　　 化简得：
　　　　　　 将代入，得：
　　　　　　 cm
　　　　　　 答：中间小正方形的边长2.5 cm。
类型七．易错题
　　7．判断下列说法是否正确
　　（1）的算术平方根是-3；　　　（2）的平方根是±15.
　　（3）当x=0或2时，　　　（4）是分数
　　解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
　　 　　 （2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，
　 　　　　　　故的平方根是.
　　　　　（3）注意到，当x=0时， =，显然此式无意义，
　 　　　　　　发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.
　　　　　（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.

类型八．引申提高
　　8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
　　　　　　（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③
　　（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．
　　解：由 得　　
　　　　的整数部分a=5, 的小数部分，
　　　　∴

　　（2）解：(1) 设x= ① 则 ②　②-①得　9x=6
　　 　　　　　　∴ .
　　　　　　 (2) 设 ①　则 ②②-①，得　99x=23
　　 　　　　　　∴ .
　　　　　 　(3) 设 ①　则 ②②-①，得　999x=107，
　　 　　　　　　∴ .

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