重视应用三角形中位线解题.doc

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重视应用三角形中位线解题
姓名
一.利用现有中点，构造平行四边形
例1.（2007年株洲）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点；求证：MN与PQ互相垂直平分.

二.利用现有中点，构造全等三角形
例2.（2007年辽宁）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．
（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．
图①
图②
图③

A
·
B
C
D
E
F

·
·

·

（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上，

（2）成立．
证明：
法一：连结DE，DF．
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE．
N
C
A
B
F
M
D
E
N
C
A
B
F
M
D
E
∴MF=NE． 　

法二：
延长EN，则EN过点F．
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN．
又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°
∴△DBM≌△DFN．
∴BM=FN．
∵BF=EF， ∴MF=EN．
法三：
连结DF，NF．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB．
又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN．
在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°
又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，
∴∠DFE=60°．
∴可得点N在EF上，
∴MF=EN．
（3）画出图形（连出线段NE），

MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．

三.选择新中点，构造全等三角形
例3.（2007年广州）已知Rt△中，，在Rt△中，，连结，取 中点，连结和．
（1）若点在边上，点在边上且与点不重合，如图①，求证： 且；
（2）如图①中的△绕点逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

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