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2010年广东省广州市真光实验中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个答案选项中，只有一项是符合题目要求，请把答案写在答卷相应的位置上）
1．（2005•河北）生物学家发现一种病毒和长度约为0.000 043mm，用科学记数法表示这个数的结果为（　　）
A．4.3×10﹣4 B．4.3×10﹣5 C．4.3×10﹣6 D．43×10﹣5

2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．

3．如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1=50°，则∠E=（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°

4．（2005•大连）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）

5．下表是某公司今年8月份一周的利润情况记录：
日期（日）
7
8
9
10
11
12
13
当日利润（万元）
2
1.7
2.3
2.1
1.9
1.8
2.2
根据上表，你估计该公司今年8月份（31天）的总利润是（　　）
A．2万元 B．14万元 C．60万元 D．62万元

6．菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm，则它的面积为（　　）cm2．
A．6 B．12 C．24 D．48

7．已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3.5，则两圆的位置关系是（　　）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切

8．四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：1：1：2，则四边形ABCD的形状是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．平行四边形

9．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（　　）
A．a∥b B．a与b垂直 C．a与b不一定平行 D．a与b相交

10．如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（2004•河北）不等式组的解集是　_________　．

12．二元一次方程2x+y=﹣5的一个整数解可以是　_________　．

13．（1999•天津）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=，则AB=　_________　．

14．已知，（n≥3），请用计算器计算当n≥3时，A、B的若干个值，并由此归纳出当n≥3时，A、B间的大小关系为　_________　．

15．（2005•包头）如图，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=30m，拱形的半径R=30m，则拱形的弧长等于　_________　m．

16．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为　_________　．

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．先化简再求值：，其中．

18．同一条高速公路沿途有三座城市A、B、C，C市在A市与B市之间，A、C两市的距离为540千米，B、C两市的距离为600千米．现有甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两市出发驶向C市，已知甲车比乙车的速度慢10千米/时，结果两辆车同时到达C市．求两车的速度．

19．（2009•南充）如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．
求证：AF=BF+EF．

20．（2006•长沙）某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样的方法，从阅读、运动、娱乐、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？
（2）“其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？
（3）补全频数分布折线图．

21．（2005•泰州）如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于C点，过C作DC⊥OA交AB于D，且BD：AD=1：2．
（1）求∠A的正切值；
（2）若OC=1，求AB及的长．

22．（2003•四川）如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是﹣2．
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积．

23．（2006•扬州）如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（﹣4，2）；
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点坐标是　_________　，△ABC的周长是　_________　（结果保留根号）；
（3）画出△ABC以点C为旋转中心，旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA′B′是何特殊四边形，并说明理由．

24．（2006•凉山州）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）
（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；
（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．

25．（2006•常德）如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以B（﹣，0）为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．
（1）若抛物线y=x2+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P，使得△PBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

2010年广东省广州市真光实验中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个答案选项中，只有一项是符合题目要求，请把答案写在答卷相应的位置上）
1．（2005•河北）生物学家发现一种病毒和长度约为0.000 043mm，用科学记数法表示这个数的结果为（　　）
A．4.3×10﹣4 B．4.3×10﹣5 C．4.3×10﹣6 D．43×10﹣5
考点：科学记数法—表示较小的数。
专题：应用题。
分析：绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．用科学记数法表示比较小的数时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
解答：解：0.000 043=4.3×10﹣5．
故选B．
点评：把一个数记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．
规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．

2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
考点：二次根式的乘除法。
分析：根据乘法法则分别计算，再判断．
解答：解：A、4，故错误；
B、5，故错误；
C、2，故错误；
D、正确．
故选D．
点评：主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=．

3．如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1=50°，则∠E=（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
考点：平行线的性质。
专题：常规题型。
分析：根据对顶角相等求出∠1的对顶角的度数，再利用两直线平行，同位角相等求出∠3，然后利用直角三角形的两锐角互余进行解答．
解答：解：如图，
∵∠1=50°，
∴∠2=∠1=50°，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2=50°，
∵EG⊥AB，垂足为G，
∴∠E=90°﹣∠3=90°﹣50°=40°．
故选C．

点评：本题主要考查了两直线平行，同位角相等的性质以及直角三角形的角的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．

4．（2005•大连）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
考点：点的坐标。
分析：根据点在第二象限的符号特点横坐标是负数，纵坐标是正数作答．
解答：解：∵点在第二象限的符号特点是横纵坐标均为负，
∴符合题意的只有选项C．故选C．
点评：本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

5．下表是某公司今年8月份一周的利润情况记录：
日期（日）
7
8
9
10
11
12
13
当日利润（万元）
2
1.7
2.3
2.1
1.9
1.8
2.2
根据上表，你估计该公司今年8月份（31天）的总利润是（　　）
A．2万元 B．14万元 C．60万元 D．62万元
考点：用样本估计总体。
分析：先求出7天中平均每天的利润，然后用这个平均数乘以31天即可．
解答：解：7天中平均每天的利润=（2+1.7+2.3+2.1+1.9+1.8+2.2）÷7=2万元，
∴该公司今年8月份（31天）的总利润是2×31=62万元．
故选D．
点评：本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．

6．菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm，则它的面积为（　　）cm2．
A．6 B．12 C．24 D．48
考点：菱形的性质。
分析：利用菱形的面积公式：两对角线积的一半求得面积．
解答：解：菱形的面积=6×8÷2=24cm2，故选C．
点评：本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分来解决．

7．已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3.5，则两圆的位置关系是（　　）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由两圆的半径分别为1和4，圆心距为3.5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵两圆的半径分别为1和4，圆心距为3.5，
又∵1+4=5，4﹣1=3，3＜3.5＜5，
∴两圆的位置关系是相交．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．

8．四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：1：1：2，则四边形ABCD的形状是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．平行四边形
考点：等腰梯形的判定。
分析：由已知条件可知∠A=∠D，∠B=∠C，而由四边形内角和为360°，可推得∠A+∠B=180°，即同旁内角互补，根据等腰梯形的判定可知四边形ABCD的形状是等腰梯形．
解答：解：∵∠A：∠B：∠C：∠D=2：1：1：2，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，且∠A≠∠B，∠C≠∠D，
∴2（∠A+∠B）=360°，
∴∠A+∠B=180°，即同旁内角互补；
∴四边形ABCD的形状是等腰梯形．
故选C．

点评：此题考查了等腰梯形的判定方法，需注意的是判定梯形必须满足两个条件：①一组对边平行，②另一组对边不平行，缺一不可．

9．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（　　）
A．a∥b B．a与b垂直 C．a与b不一定平行 D．a与b相交
考点：反证法。
分析：根据反证法的步骤，直接得出即可．
解答：解：∵用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，
∴第一步应假设：若a⊥c，b⊥c，则a、b相交．
故选：D．
点评：此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

10．如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．
考点：相似三角形的判定。
专题：网格型。
分析：三边对应成比例的两个三角形互为相似三角形，可求出三边的长，即可得出．
解答：解：原三角形的边长为：，2，．
A中三角形的边长为：1，，．
B中三角形的周长为：1，，．
C中三角形的周长为：，，3．
D中三角形的周长为：2，，．
故选B．
点评：本题考查相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形互为相似三角形．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（2004•河北）不等式组的解集是　2＜x＜3　．
考点：解一元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
解答：解：由（1）得，x＜3
由（2）得，x＞2
根据“小大大小中间找”的原则可知不等式组的解集为
2＜x＜3．
点评：求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．

12．二元一次方程2x+y=﹣5的一个整数解可以是．
考点：解二元一次方程。
专题：开放型。
分析：本题是开放型题目，答案不唯一，只要符合要求，即是整数解即可．
解答：解：二元一次方程2x+y=﹣5，
当x=0时，0+y=﹣5，y=﹣5；
所以，是二元一次方程2x+y=﹣5的一个整数解．
故答案为．
点评：本题考查了二元一次方程的整数解，二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值．

13．（1999•天津）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=，则AB=　6　．
考点：解直角三角形。
分析：根据角的正弦值与三角形边的关系可求AB的长．
解答：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=，
∴sinA=，
∴AB==6，

点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

14．已知，（n≥3），请用计算器计算当n≥3时，A、B的若干个值，并由此归纳出当n≥3时，A、B间的大小关系为　A＜B　．
考点：计算器—数的开方；实数大小比较。
专题：常规题型。
分析：从n=3开始，分别计算出n=3、4、5、6时的A、B的值，然后根据变化规律即可作出判断．
解答：解：n=3时，A=﹣≈0.3178，B=1﹣0=1，
∴A＜B，
n=4时，A=﹣≈0.2679，B=﹣1≈0.4142，
∴A＜B，
n=5时，A=﹣≈0.2361，B=﹣≈0.3178，
∴A＜B，
n=6时，A=﹣≈0.2134，B=﹣≈0.2679，
A＜B，
以此类推，随着n的增多，A在不断变小，而B的变化比A慢两个数，
∴当n≥3时，A、B间的大小关系为：A＜B．
故答案为：A＜B．
点评：本题主要考查了计算器的利用，利用计算器进行计算然后观察出规律即可，此类题目难度不大．

15．（2005•包头）如图，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=30m，拱形的半径R=30m，则拱形的弧长等于　20π　m．

考点：弧长的计算；垂径定理；解直角三角形。
分析：要求弧长，只要求出圆心角即可根据弧长公式计算．
解答：解：过点O作OC⊥AB于C．
则AC=BC=AB=15．
在直角△AOC中，OA=30cm，AC=15cm，
则∠AOC=60°．
∴∠AOB=120°．
∴弧长l==20π．

点评：正确记忆弧长公式，正确利用垂径定理求出圆心角，是解题的关键．

16．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为　3：2　．

考点：角平分线的性质。
分析：本题需先利用角平分线的性质可知点D到AB、AC的距离相等，即两三角形的高相等，观察△ABD与△ACD，面积比即为已知AB、AC的比，答案可得．
解答：解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，
又∵AB：AC=3：2，
则△ABD与△ACD的面积之比为 3：2．
故答案为：3：2．
点评：本题考查了角平分线的性质；此题的关键是根据角平分线的性质，求得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即△ABD边AB上的高与△ACD边AC上的高相等．

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．先化简再求值：，其中．
考点：分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：先把分子与分母分解因式，然后进行约分，最后将a的值代入即可．
解答：解：原式=•﹣
=﹣，
=，
=﹣
∵，
∴原式=﹣
=3．
点评：本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．

18．同一条高速公路沿途有三座城市A、B、C，C市在A市与B市之间，A、C两市的距离为540千米，B、C两市的距离为600千米．现有甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两市出发驶向C市，已知甲车比乙车的速度慢10千米/时，结果两辆车同时到达C市．求两车的速度．
考点：分式方程的应用。
专题：行程问题。
分析：本题用到的关系是：时间=路程÷速度．本题的关键语是“两辆车同时到达C市”，由此可列出方程．
解答：解：设甲车的速度为x千米/时．
则：．
解得：x=90．
经检验：x=90是原方程的解，也符合题意．
∴乙为100千米/时．
答：甲的速度为90千米/时，乙的速度为100千米/时．
点评：列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．

19．（2009•南充）如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．
求证：AF=BF+EF．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：因为AF=AE+EF，则可以通过证明△ABF≌△DAE，从而得到AE=BF，便得到了AF=BF+EF．
解答：证明：∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°（1分）
∵DE⊥AG，
∴∠DEG=∠AED=90°
∴∠ADE+∠DAE=90°
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠BAF．（2分）
∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠DEG=∠AED．（3分）
在△ABF与△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．（4分）
∴BF=AE．（5分）
∵AF=AE+EF，
∴AF=BF+EF．（6分）
点评：此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况．

20．（2006•长沙）某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样的方法，从阅读、运动、娱乐、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？
（2）“其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？
（3）补全频数分布折线图．

考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布折线图；扇形统计图。
专题：阅读型。
分析：（1）由“运动”的人数和所占比例，求出全部调查人数；
（2）根据扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数=百分比*360度计算出“其它”在扇形图中所占的圆心角；
（3）根据各项的比例，求出各项的人数，补全折线图．
解答：解：（1）运动的人数为20人，占的比例为20%，则全部调查人数：20÷20%=100人；

（2）阅读的人数为30人，则阅读占的比例：30÷100=30%，其它占的比例=1﹣20%﹣40%﹣30%=10%，则表示其它的扇形的圆心角：360°×10%=36°；

（3）其它的人数：100×10%=10人，娱乐的人数=100×40%=40人，如图．

点评：本题考查统计知识的应用，试题以图表为载体，要求学生能从中提取信息来解题，与实际生活息息相关，符合新课标的理念．

21．（2005•泰州）如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于C点，过C作DC⊥OA交AB于D，且BD：AD=1：2．
（1）求∠A的正切值；
（2）若OC=1，求AB及的长．

考点：切线的性质；弧长的计算。
专题：几何综合题。
分析：（1）易知DB、DC都是⊙O的切线，由切线长定理可得DB=DC，那么结合已知条件则有：DC：AD=1：2；即Rt△ACD中，sinA=，由此可求出∠A的度数，进而可的∠A的正切值．
（2）连接OB．在构建的含30°角的Rt△OBA中，已知了OB=OC=1，可求出AB的长及∠BOC的度数；进而可根据弧长公式求出弧BC的长．
解答：解：（1）（方法一）∵DC⊥OA，OC为半径．
∴DC为⊙O的切线；
∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB；
在Rt△ACD中，
∵sinA=，BD：AD=1：2，
∴sinA=；∴∠A=30°，
∴tanA=．
（方法二）∵DC⊥OA，OC为半径．
∴DC为⊙O的切线；
∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB；
∵BD：AD=1：2，∴CD：AD=1：2；
∴设CD=k，AD=2k；
∴AC=k；
∴tanA==．

（2）连接OB；
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB．
在Rt△AOB中，
∵tanA=，OB=1；
∴AB=
∵∠A=30°，∴∠O=60°；
∴的长=．

点评：掌握切线的判定方法，综合运用切线长定理、勾股定理以及锐角三角函数的概念进行计算；熟悉30°的直角三角形的性质以及弧长公式．

22．（2003•四川）如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是﹣2．
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：待定系数法。
分析：（1）先求出A，B两点坐标，将其代入一次函数关系式即可；
（2）根据一次函数与y轴的交点为（0，2），则△AOC和△BOC的底边长为2，两三角形的高分别为|x1|和|x2|，从而可求得其面积．
解答：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1=﹣2，y2=﹣2，
把x1=y2=﹣2分别代入y=得y1=x2=4，
∴A（﹣2，4），B（4，﹣2）．
把A（﹣2，4）和B（4，﹣2）分别代入y=kx+b得

解得
∴一次函数的解析式为y=﹣x+2．

（2）如图，分别过点AB作AD⊥x轴，BE⊥y轴，
∵A（﹣2，4），B（4，﹣2）．
∴AD=2，BE=4，
∵y=﹣x+2与y轴交点为C（0，2）
∴OC=2，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC
=×OC×|AD|+×OC×|BD|
=×2×2+×2×4=6．

点评：解答本题的关键是要把△AOB分割为两个小三角形，进而再求解，同时本题数据比较多，同学们在解答时要细心．

23．（2006•扬州）如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（﹣4，2）；
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点坐标是　（﹣1，1）　，△ABC的周长是　2+2（结果保留根号）；
（3）画出△ABC以点C为旋转中心，旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA′B′是何特殊四边形，并说明理由．

考点：作图-旋转变换；等腰三角形的性质；矩形的判定。
专题：网格型。
分析：根据A点的坐标，首先确定坐标系的位置，在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，则C一定在AB的中垂线上，通过作图即可确定C的位置，根据勾股定理即可求得三角形的周长，根据对角线的关系即可判定四边形的形状．本
解答：解：（1）图形如右．

（2）图见上，C（﹣1，1），△ABC的周长是2+2．

（3）由旋转180°可知，BC=CB′，AC=CA′，
∴四边形ABA′B′是平行四边形，
又∵AA′=BB′，
∴四边形ABA′B′是矩形．

点评：本题考查了在格点上找等腰三角形的顶点，旋转变换作图，根据旋转中心画图，确定旋转后的点的坐标时，要抓住“动”与“不动”，看图是关键．

24．（2006•凉山州）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）
（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；
（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．

考点：二次函数综合题。
专题：压轴题。
分析：（1）P点的横坐标与N点的横坐标相同，求出CN的长即可得出P点的横坐标，然后通过求直线AC的函数解析式来得出P点的纵坐标，由此可求出P点的坐标；
（2）可通过求△MPA的面积和x的函数关系式来得出△MPA的面积最大值及对应的x的值．
△MPA中，MA=OA﹣OM，而MA边上的高就是P点的纵坐标，由此可根据三角形的面积计算公式求出S与x的函数关系式，进而根据函数的性质得出S的最大值和对应的x的值；
（3）可分三种情况进行讨论：
①MP=AP时，延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA，那么此时有AQ=BN=MA，由此可求出x的值．
②当AP=AM时，可根据AP、AM的不同表达式得出一个关于x的方程即可求出x的值．
③当MP=MA时，可在直角三角形PMQ中，根据勾股定理求出x的值．
综上所述可得出符合条件的x的值．
解答：解：（1）由题意可知C（0，8），又A（6，0），
所以直线AC解析式为：y=﹣x+8，
因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为6﹣x，代入直线AC中得y=，
所以P点坐标为（6﹣x，x）；

（2）设△MPA的面积为S，在△MPA中，MA=6﹣x，MA边上的高为x，
其中，0≤x≤6
∴S=（6﹣x）×x=（﹣x2+6x）=﹣（x﹣3）2+6
∴S的最大值为6，此时x=3；

（3）延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA
①若MP=PA
∵PQ⊥MA
∴MQ=QA=x．
∴3x=6，
∴x=2
②若MP=MA，则MQ=6﹣2x，PQ=x，PM=MA=6﹣x
在Rt△PMQ中，
∵PM2=MQ2+PQ2
∴（6﹣x）2=（6﹣2x）2+（x）2
∴x=
③若PA=AM，
∵PA=x，AM=6﹣x
∴x=6﹣x
∴x=
综上所述，x=2，或x=，或x=．

点评：本题着重考查了二次函数的应用、矩形的性质、图形面积的求法等知识点，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

25．（2006•常德）如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以B（﹣，0）为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．
（1）若抛物线y=x2+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P，使得△PBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）根据A（，0），B（﹣，0）可求圆半径是2，连接AD，在Rt△AOD中，可求OD，即D（0，﹣3），把C，D两点坐标代入抛物线y=x2+bx+c，可求抛物线解析式，将B点坐标代入解析式进行检验即可；
（2）由（1）知，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，连接CD，交抛物线对称轴于P点，P点即为所求，先求直线CD的解析式，已知P点横坐标x=，代入直线CD的解析式即可求P；
（3）∵BC=4，Q点横坐标是，M在Q点左边，则M点横坐标为﹣4=﹣3，代入抛物线解析式可求M点坐标．
解答：解：（1）∵OA=，AB=AC=2，
∴B（﹣，0），C（3，0），连接AD，
在Rt△AOD中，AD=2，OA=，
∴OD==3，
∴D的坐标为（0，﹣3），（3分）
又D，C两点在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3，（5分）
当x=﹣时，y=0，
∴点B（﹣，0）在抛物线上，（6分）

（2）∵y=x2﹣x﹣3，
=（x﹣）2﹣4，
∴抛物线y=x2﹣x﹣3的对称轴方程为x=，（7分）
在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBD的周长最小．
∵BD的长为定值∴要使△PBD周长最小只需PB+PD最小．
连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点．
设直线DC的解析式为y=mx+n．
由，
得，
∴直线DC的解析式为y=x﹣3．
由，
得，
故点P的坐标为．（9分）

（3）存在，设Q（，t）为抛物线对称轴x=上一点，
M在抛物线上要使四边形BCQM为平行四边形，
则BC∥QM且BC=QM，点M在对称轴的左侧．
于是，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（xm，t），
由BC=QM得QM=4，
从而xm=﹣3，t=12，
另外：M在抛物线的顶点上也可以构造平行四边形！
故在抛物线上存在点M（﹣，12）或（﹣，4）或（，），使得四边形BCQM为平行四边形．（12分）

点评：本题考查了点的坐标及二次函数解析式的求法，要求会在坐标系中求线段和最小的问题以及探求平行四边形的条件．

参与本试卷答题和审题的老师有：
zcx；星期八；bjy；zhehe；lantin；wdxwzk；zhangCF；lanyan；MMCH；zhqd；CJX；mmll852；ln_86；hbxglhl；438011；lk；lanchong；gbl210；zhjh；心若在；bjf；疯跑的蜗牛；nhx600；开心；HLing；wangjc3；算术。（排名不分先后）
菁优网
2012年4月21日