第2周勾股定理应用(最短路径).doc

八（上） 培优训练2 勾股定理解决路径最短问题
第2周 勾股定理解决路径最短问题
姓名：
题型一：勾股定理解决直线上一动点到（直线同侧）两定点距离之和最小问题
A
C
D
B
例1． 如图，A、B两个村庄在河CD的同侧，A、B两村庄到河的距离分别是AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米。现在要在河边CD上修建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2万元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用。

例2、在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是 ___。

题型二：勾股定理解决直线上一动点到（直线同侧）一定点距离之和最小问题
例1、如图，在锐角△ABC中，AB=2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ___

例2、（1）如图1，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为 ；
（2）如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN 的值最小，则这个最小值 。

例3、在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为多少？

题型三：勾股定理解决曲面路线最短问题
例1．有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1、BB1为相对的两条母线.在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm ；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是 cm. （取π=3）

例1 变式练习
变式练习：如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
例2、如图，一个长、宽、高的仓库，在其内壁A（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的中点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为 .
A
B

变式练习：如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 .

例3：如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？

变式练习：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

A
B
D
C
巩固练习：
1、 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°，且DC＝2AB，以
AB为边向梯形外作正方形，其面积为S，已知AD=2，BC=3，则S= 。

2、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为
A
D
E
P
B
C

3、 如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一
动点，则EC＋ED的最小值为_______。

4、已知：如图，ΔABC是等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90o，P是三角形ABC内一点，且PA=1，PB=2，PC=3。求边BC的长。
A
B
C
P

5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且∠QPN=30°，在点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由。如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？

6、如下图，一块直角三角形的纸片，两直角边．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　）
Ｃ
D
B
E
A
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

150°
20m
30m

6题 7题 8题
7、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（　　）
A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元
8、如图，C是AB上一点，BC=2AC=2 cm，以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACD与等边△BCE，则DE长的平方为______。

9、如图，已知AB=10，AC=6，边BC上的中线AD=4.则CD2=__________.
9题图

10题
10、一只蚂蚁从长为6，宽为5，高为10的长方体纸箱的点，沿纸箱表面爬到C点，问它爬行的最短路线的平方是__________

11、若a、b、c是直角三角形三边，h为斜边c上的高，则以下判断是否正确。
（1）以a2、b2、c2为边的三条线段能够成直角三角形( )

（2）以a+b、c+h、h为边的三条线段能够成直角三角形( )

12、如图，已知BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC的延长线于D，求AD的长。

13、如图，四边形ABCD中，AC=BC，将四边形ABCD沿AE对折，使CE、BE在同一直线上，那么点B落在点F上，已知CF：CB=7:9，AB=12，求折痕AE的平方。

14、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：．

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