2022年高考数学一轮复习专题 专题35 立体几何初步知识点与典型例题（解析版）.pdf

专题35立体几何初步知识点与典型例题（解析版）一.平面基本性质即三条公理公理1公理2公理3图形语言/rS-/zzzzz文字 语言如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线 在此平面内.过不在-条直线上的三点，有 且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公 共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线.符号 语言Ael,B)n/u a A g a,B g a48。不共线=。确定平面二aV/3-1P&a,P&6n4 Pel作用判断线在面内确定一个平面证明多点共线公理2的三条推论：推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.二.直线与直线的位置关系一共面直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；I异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）三.直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内有无数个公共点.符号aU a相交有且只有一个公共点 符号ana=A平行没有公共点 符号aa说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a t a来表示一、单选题1.如图所示的是平行四边形43。所在的平面，有下列表示方法：平面48。；平面平面/Q；平面48C；AC；平面。淇中不正确的是（）C.D.【答案】D【分析】根据平面的表示方法判断.【详解】中40不为对角线，故错误；中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D2.下列叙述错误的是（）A.若 paV，且 aQff=/,则 p/.b.若直线刖=力，则直线。与能确定一个平面.c.三点4 b,c确定一个平面.D.若60/且力 a,fieaplij la.【答案】C【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可.【详解】选项4,点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项5,由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C,只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项。，由公理1,直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内.故选：C3.在空间中，下列结论正确的是（）A.三角形确定一个平面 B.四边形确定一个平面C.一个点和一条直线确定一个平面 D.两条直线确定一个平面【答案】A【分析】根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.【详解】三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即4正确；当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故8错误；当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故。错误；当两条直线异面时，不能确定一个平面，即。错误；故选：A.【点睛】本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.4.下列命题中正确的是（）A.若直线/上有无数个点不在平面。内，则/。B.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C.若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D.垂直于同一个平面的两条直线互相平行【答案】D【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面的位置关系进行判断.【详解】解:选项A：若直线/上有无数个点不在平面a内，则或相交，故A错误；选项B：如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能与这个平面平行，也可包含于这个平面,故B错误；选项C:若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面，故C错误；选项D:垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故D正确，故选:D【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间 思维能力的培养.二、填空题5.如图，已知正方体力BCD 44G A的棱长为a,则异面直线与力。所成的角为【答案】60【解析】:BCJ!ADX 异面宜线8G与力。所成的角为NC4D=6014.已知/，阳是两条不同的直线，分是两个不同的平面，给出下列四个论断：/2,a邛，掰J.a,/，尸.以其中的两个论断作为命题的条件，/_L a作为命题的结论,写出一个真命题：.【答案】若/小，mla,则/_La【分析】若/m，mla,则/_La,运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论.【详解】解：/,加是两条不同的直线，分是两个不同的平nn,可得若Ulm,m Y a,贝ij/_L a,理由：在a内取两条相交直线a,b,由加_L a 可得 2 _L a.加_L b,又 lllm,可得/_La./_L6,而a,6为a内的两条相交直线，可得/_La.故答案为：若Him,m A.a,则/_L a【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题6.如图，在正方体Z 8CD44G A中，E,歹依次是4。和的中点，则异面直 线4E与CF所成角的余弦值为.3【答案】y【分析】连4、BF、EF,利用平行四边形可得5尸/Z E,可得尸。是异面直线Z E与C77所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果.【详解】在正方体力58 4401中，连力E、BF、EF,所以AE/BF且A1E=B,F,所以四边形A.B.FE为平行四边形,所以EF/44且斯=44,又AB/AB且44=力8,所以EF/4B且EF=AB,所以四边形必为平行四边形,.3尸/4,，/防。是异面直线力与。尸所成角（或所成角的补角）,设正方体/NCD 4H le14的棱长为2,则防=。9=7?71=遥,.co s ZBFC=5+4=2.2x j5x，5 5异面直线AE与CF所成角的余弦值为1.故答案为：【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理，属于基础题.三、解答题7.如图，在正方体/次 44。中，E,F,1,大分别为棱力D,BG，CR的中点.求证：ZEAXF=AEXCF,【答案】见解析【分析】根据空间中两个角的两边平行时,角的关系可知两个角相等或互补.结合空间中平行线的传 递性及当两个角的方向相同时，即可证明两个角相等.【详解】证明：如图,在正方体力BCD 44CQ中，取44的中点M,连接名BM,FM又 BFAM四边形AXFBM为平行四边形AXF/BM乂 F,M分别为CQi,力4的中点,则f、M=QB而CD,S是直角梯形/8C。所在平面 外一点，画出平面S3。和平面S/C的交线.（2）如图所示，在正方体48C。44G A中，试画出平面/片。与平面/CG 4的交线.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）延长和NC交于点0,再连接S0,即得到交线;（2）先记4A与4G的交点为。，连接力。，即可得出交线.【详解】（1）（延长8。和/。交于点。，连接so,SO即为平面S3。和平面S4C的交线），如图:（2）（记为A与4G的交点为。，连接/。，则z。即为平面/月。与平面力。14的交线），如图:【点睛】本题主要考查画出平面与平面的交线，考查空间想象能力，属于基础题型.立体几何中平行关系的证明1.直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。a(za简记为：线线平行，则线平行。符号：buanalaallb例1.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥尸/BCD中，AB1AC,P4_L平面ABCD,且尸/=/台，点是。的中点.求证：收/平面【答案】证明见解析【分析】根据图像，连接8。，与力。相交与0,连接。，是平行四边形，。是的中 点，根据中位线的性质即可得证.【详解】如图，连接8。，与NC相交与0,连接EO,48。是平行四边形，是的中点，又E是的中点，EO/PB,乂 P8 2平面/EC,EOu平面力EC,.%/平面NEC.例2.如图所示，在四棱锥尸48G D中，PA=AD=CD=2AB=2,AB上AD,CD AD,PA1&ABCD,为尸C的中点。求证：屈M7/平面尸40【答案】证明见解析.【分析】取的中点,连接力瓦放，由三角形的中位线定理可得ME。，放=；CD,而已知48 CD,AB=；CD,从而得AB ME,AB=ME,所以四边形/氏为 平行四边形，从而得8/,再利用线面平行的判定定理可证明【详解】证明：取PD的中点,连接力已因为M为尸。的中点，所以板 CD,ME=-CD,2因为4B/CD,AB=-CD,2所以AB=ME,所以四边形为平行四边形，所以BM/EA,又因为氏仪。平面尸4D,瓦4u平面尸4D,所以5河/平面尸4D.注：证明线面垂直1,找中位线 2,找平行四边形3,正两个面平行2.直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行，则线线平行.符号:a aa u 0=a bar/3=b例3.如图，在三棱锥PABC中，D,E,F分别是PA,PB,PC的中点.M是AB上一点，连接MC,N是PM与DE的交点，连接F N,求证：F N/7CM.A【答案】见解析.【分析】先通过中位线，通过线线平行，证得平面。尸/平面4BC,在根据面面平行的性质定理 证得PN CM.【详解】因为D,E分别是PA,PB的中点，所以DEAB.又DES平面ABC,ABU平面ABC,所以DE平面 ABC,同理 DF平面 ABC,且 DECIDF=D,所以平面DEF平面ABC.又平面PCMfl平面DEF=F N,平面PCMA平面ABC=CM,所以F NCM.【点睛】本小题主要考查线线平行的证明、线面平行的证明和面面平行的证明，其中涉及到了线 面平行的判定定理、面面平行的判定定理，还有面面平行的性质定理.在平行转化的过程中,已知和求之间，用判定定理还是性质定理，要看清楚题目所给的条件来判断.平面与平面的位置关系：平行没有公共点：符号 a相交有一条公共直线：符号a np=a1.平面与平面平行的判定定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。简记为:线面平行，则两面平行.a/3,b 0例4.如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱PD与EC均垂直于底面PD=2EC,求证：平面6C平面PD4.【答案】见解析【分析】由正方形的性质得出BCHAD,可得出BCH平面PDA,由线面垂直的性质定理得出CEHPD,可得出CE平面尸Z X4,再利用面向平行的判定定理可证得结论.【详解】由于四边形Z 8C。是正方形，.BCV/Z。，BC(Z 平面 PDA,AD u 平面 PDA,/.BCII 平面 PDA,.0_1平面/3。，。石 _L 平面 ABC。，/CEHPD,z平面尸。/,尸Qu平面PCU,C 平面PCU,v BCHCE=C,.平H H EBCV/平面产。/.【点睛】本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的 交线平行。简记为：面面平行，则线线平行.修 符号：aCy=a a b0Cy=b补充：平行于同一平面的两平面平行；夹在两平行平面间的平行线段相等；两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；例5.如图，在三棱锥尸力5。中，E,F,C,D分别是AP,BP,BQ,AQ中点、,平面PCDRl 平面石尸。=G.求证：AB/GH.p【答案】证明见解析【分析】先根据线面平行证明所/G”,结合平行的传递性可得力5/G.【详解】因为分别是月。,5。,力尸,5。的中点，斫以EFAB,DC/AB,所以 EF/DC.又EFg平面PCD,OCu平面PC。，所以所/平面尸CO.因为F u平面E尸0,平面石尸。平面尸CQ=G，所以EF/GH.又 EF IIAB,所以 4B/GH.【点睛】本题主要考查空间中的直线与直线平行，线线平行可以通过线面平行转化，侧重考查逻辑推 理的核心素养.针对练习1.如图所示，在三棱柱力8C 中，。为3C的中点，连接4。，4民/。求证43/平面%。0.【答案】见解析【分析】要证48/平面4DG,只要证48与平面内某条直线平行即可.因为。是边的 中点，所以考虑从中位线入手，在平面Z DG内找与48平行的直线，再结合线面平行的判 定定理，证得48/平面【详解】如图，连接4。，设4Cc/c;=o,连接o o.由题意知四边形Z/CG是平行四边形，所以。是4。的中点.乂。是3c的中点，所以。是A4cB的中位线，即OD/48又48a平面4DC,OQu平面4DC,所以4台/平面40G.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.2.如图，在直三棱柱/BC 43G中，M,N分别是Z C和的中点.求证：MNII平面 43c.【答案】证明见解析【分析】取4。的中点D,由中位线定理和平行线的传递性可证四边形Q2VW4为平行四边形，可得MN/B.D,再根据线面平行的判定定理即可证明结果.【详解】,：M,。分别为/C,4。的中点，以）/4且用。=44.2又N 为 B、B 的中或，：.BN/AARB,N=；AA,MDBN&MD;B、N,：.四边形。A/四 为平行四边形，W平面44。，4Ou平面MN平面 44c.【点睛】本题主要考查了平行线的传递性和线面平行的判定定理，属于基础题.3.如图，在三棱柱/bc/4G中，力4，/。且，4=力。，点,b分别为4G和 8C的中点，8/与/田相交于点G.（1）证明：平面F G/平面4/CC；【答案】（1）证明见解析；（2）45【分析】（1）连接4C力G，通过证明尸G/平面与EG/平面4力。,可得平面F G/平面/CC；【详解】证明：（I）由题意可得，点RG分别是和84的中点，连接4CZ G，:.FG/AC,又少60平面4%。1，4。匚平面44。1，二厂G/平面同理：EF/C.C,则 EF/平面 4/CC,又 FG n EF=F,FG u 平而 EFG,EF U 平面 EFG,.平面 EFGII 平面 AXACCX；4.已知P是四边形ABCD所在平面外一点，E,F,G分别是PB,AB,BC的中点.求证：平面PAC平面EF G.【答案】证明详见解析.【解析】【分析】利用中位线，分别证明M/B4,G/PC,由此证得平面内两条相交直线和另一个平面平行，从而证得两个平面平行.【详解】因为EF是APAB的中位线，所以EF PA.又EF 2平面PAC,PAU平面PAC,所以EF平面PAC.同理得EG平面PAC.乂 EF U平面 EF G,EG U平面 EF G,EF flEG=E,所以平面PAC平面EF G.【点睛】本小题主要考查空间两个平面平行的证明.要两个平面平行，需要一个平面内有两条相交直 线和另一个平面平行，这样才能够证得两个平面是平行的.或者一个平面内有两条相交直线 和另一个平面的两条相交直线平行，这样可以证明两个平面平行.5如图，。0在平面a内，AB是。O的直径，平面a,C为圆周上不同于A、B的 任意一点，M,N,Q分别是PA,PC,PB的中点.c（l）求证：MN/平面a；（2）求证：平面肠V。/平面a；【答案】（1）见详解；（2）见详解；【详解】试题分析：关于第一问，注意应用线面平行的判定定理，同时注意线面平行的判定定理的条 件，注意第二问注意面面平行的判定定理的条件和结论，注意证明过程的书写，第三问注意 关于线面垂直的判定定理的条件和结论，注意垂直关系的转化.试题解析：证明：（1）.:MN分别是/XPC的中点，：.MN IIAC,又,：MN tcc,AC ua,.N/平面 a.（2）由（1）知MN/平面a,同理可证N。/平面a.N u平面MNQ,N。u 平面MNQ,MNCNQ=N,.平 HHtW。/平面 a.考点：线面平行的判定，面面平行的判定，6.如图，在三棱柱481cl中，D、尸分别是棱48、AXBX的中点，求证：平面4PC/平面4CD.【答案】证明见解析【分析】设3G与4。的交点为。，连结。，证明O3/G，再由线面平行的判定可得平 面48；由2为线段44的中点，点。是/台的中点，证得四边形月为平行四边形，得至I/尸/z)4,进一步得到zp平面4co.再由Z G平面4co,结合面面平行的判定 可得平面4PCJ/平面用8.【详解】证明：设8G与4c的交点为。，连结。，四边形BCCB为平行四边形，O为4。中点，乂。是的中点，.O。是三角形N3G的中位线，则OQ/G，又/AC,仁平面BCD,OD u平面BCD,平面 4CD；月为线段44的中点，点。是的中点，ADgPnAD=B】P，则四边形/D4 P为平行四边形，/.AP/DB、,乂4。仁平面片。，平面geo,北平面4co.乂/q 平面 4CD,AQrAP=A,且/C】u 平面 4PC；,4P u 平面 APC平hhhpG 平面gax【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.7.如图，在三棱柱461G中，E,b分别为4G和6C的中点，M,N分别为46 和4。的中点.求证：（1）平面 ABC,（2）石尸平面AAiBB.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）推导出由此能证明MN平面/8C（2）取小向的中点,连接QE,3D推导出四边形是平行四边形，从而EFBD,由此能证明后/平面AABB.【详解】证明：（1）：M.N分别是/和小。中点.：.MN/BC,又BCu平面48C,平面/BC,.,.MN平面 NBC（2）如图，取小8的中点。，连接。E,BD.。为/四中点，为小。1中点，.。片9。1且。=；3。,在三棱柱/3C-4B1G中，侧面3CG B1是平行四边形，皿=5小6是叱的中且“十小:.DEBFRDE=BF,.,.四边形。E必是平行四边形，J.EF/BD,又8Qu平面44归8，跖，平面/小58,.平面4/d.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力，是中档题.8.如图所示，在多面体444胡中，四边形4DR4,4BCD均为正 方形，E为与2的中点，过4，。,的平面交C4于尸.证明：EF/B.C.【答案】见解析【分析】通过四边形44CD为平行四边形，可得4c7/4。，利用线面平行的判定定理即得结论；【详解】证明：.超。=4。且 44=CD,二.四边形A.B.CD为平行四边形，BC/AQ,又.4。仁平面4比*,平面4*平面49办，乂因为平面4瓦z)Pl平H H gCA=E,BQu平面gcn，EF/B.C；【点睛】本题考查线面平行的判定及性质定理的应用，属于基础题.9.如图所示，尸是平行四边形所在平面外一点，是的中点、若M是。上 异于C,。的点，连接交CE于点G,连接创/交/C于点“，连接G”,求证：GH/PB.p【答案】证明见解析【分析】先连接BD交力。于点0,连接EO,AE,根据线面平行的判定定理，得到尸8平面EAC,再由线面平行的性质定理，即可得到【详解】证明：如图所示，连接8。交NC于点0,连接EO,AE,则。是的中点.乂 E 是 PD 的中点、，：.PB/EO.平面 KOu 平面 4。，.05 平面 4。.乂.平面?区0。*平面E4C=G，PBu平面心，GH/PB.【点睛】本题主要考查证明线线平行，熟记线面平行的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.立体几何中垂直的证明一、直线与平面垂直定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直c判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。简记为：线线垂.直，则线面垂宜.符号：加,uaI mn=A=I A.aI.Lm,I.Ln例1.如图所示，4）是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，。是底面圆周上异于46的任意一点，4/=46=2.求证：6。_1_平面AAC.【答案】详见解析.【分析】根据宜线与平面垂宜的判定定理可知，只需证明BC与平面44。内的两条相交宜线垂宜即可，而3C _L/C,_L 3C满足定理条件.【详解】证明:是底面圆周上异于4#的任意一点，是圆柱底面圆的直径，二台。_L/C,-AA _L平面平面1BC,AAX rAC=A,AAx u 平面 44C，Z Cu平面 AAXC,6C_L平面4/C.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查棱柱的性质,考查学生空间想象能力和推理论证能力,属于中档题.二.直线与平面垂直性质性质I：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号:a Lab A.an a b性质H：垂直于同一直线的两平面平行符号:a LI/3LI=a P推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.符号语言：ab,a_La,=b_Laf例2.如图，在三棱锥尸。中，CD-B,垂足为D,PO 1 ABC,垂足为O,且0 在。上，求证：AB1PC.【答案】证明见解析【分析】通过线面垂直证得R9_L/8,结合CQ_LZ 6得48 J_平面尸OC,即可得证.【详解】证明：.,尸O JL底面 48C,AB 底面 48C,R9 _L 4/.在 CD 上，:.POcCD=O.又AB _L平面 POC.,:PC u平面 POC,AB PC.【点睛】此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直.例3.已知三棱锥尸中，AB1AC,AB LAP.若平面a分别与棱PA、PB、BC、力C相交于点,EG,且尸C尸平面a.AB 1FG.【答案】证明见解析.【分析】利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线垂直，利用 平行线的性质，最后证明出尸G.【详解】因为AB Y AP,4Pc/C=Z,4P,/Cu平面0NC,所以力8_L平面尸Z C,而PCu平面P/C,所以力3_LPC,由（1）可知PC FG EH,所以ABLFG.【点青】本题考查了线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理、以及平行公理的应用.3.平面与平面垂直的判定定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。简记为：线线垂直，则线直垂直.I-L mJ.Ln例4.已知是圆的直径，4垂直圆所在的平面,C是圆上任一点.求证:平面48c _1平 面 PNC.【分析】先证直线bcj平面产力c,再证平hhz6c_l平面尸4c.【详解】证明：是圆的直径，C是圆上任一点，.NZ C5=90,8C_LZ C,.尸4 1 平面 48C,BCu 平面 43C,BC1PA,又4。力。=4,3。_1平面夕力。，乂8Cu平面二.平面平面P4c.【点睛】本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.4.平面与平面垂直性质定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。简记为：线而为垂直，则ffnnn垂直.11/3I u a=a1B推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。例4.如图所示，在四棱锥尸 488中，底面为直角梯形，AD/BC,BAD=90a,P4,底面Z 8CQ,且/P=/Q=48=28C,M、N分别为PC、的中点.求证:【答案】证明见解析【分析】在等腰三角形为8中，N是。8的中点，可得4NLPB,利用线面垂直的判定定理可证 平面/OWN,利用线面垂直的性质定理，即可得证.【详解】证明：义是P8的中点，AP=AB,AN A.PB,：PA _L底面 ABC。，二.PA A.AD,乂：/BAD=90，即 ASLAD二 AD 1 平面 PAB,二.AD VPB,.力N u平面4DMN,4。(=平面40的，PB 平面 ADMN,/QA/u平面/OWN,DM A PB 针对练习1.如图所示，在四棱锥尸/BCD中，ADHBC,AD工AB,面48cD _L面P43.平面P8C，平面048.【答案】见解析【分析】由题，易得8C_LZ B,再利用面/5CQJ_面可得8。_1面98,即得证.【详解】(1)v AD/BC,BCPBC,Z D a两尸3。，/。/平两尸8。(2)AD/BC,AD AB：.BC1 AB,：面 PAB H H ABCD,H H PAB n 面 ABCD=AB,BC u H H ABCD,BC _L 曲 PAB,又 BC u 面 PBC,.,.面 PBC JL 面【点青】本题主要考查了空间儿何中平行以及垂直的判断定理和性质定理，熟悉定理是解题的关键,属于较为基础题.2.如图，在四棱柱 488 44G中，侧面和侧面都是矩形,BC HAD,ABD是边长为2的正三角形，E,F分别为AD,4 A的中点.（1）求证：DD_L平面/3C。；（2）求证：平面平面【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】试题分析：（1）本间考查线面垂直的证明，根据线面垂直判定定理可知，应证明。与平面ABCD内的两条相交宜线垂直，根据已知条件侧面和侧面CDG都是矩 形，所以。且）A_LCQ,于是问题得证；（2）本问考查面面垂直的证明，应 先证明线面垂直，根据题中条件A43Q为正三角形，E为AD中点，所以BE1AD,根据 面面垂直的性质定理，则BE，平面/Q04，3石=平面4成，所以问题得证；试题解 析：因为侧面4D04和侧面CO0G都是矩形，所以。且Q_LC。.因 为ADcCD=D,所以DO】_L平面48CO.（2）因为A4BD是正三角形，且为40中点，所以5石，40,因为_L平面，而4Eu平面48C。，所以BE工DQ.因为ADcDR=D,所以4石，平面 因为8Eu平面4台,所以平面48_L平面40。/1.考点：1.线面平行；2.线面垂直；3.线面垂直.方法点睛：线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直的位置关系的证明中起着承 上启下的桥梁作用，依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问 题的关键.证明面面垂直时，关键是从现有直线中找一条与其中一个平面垂直，若图中不存 在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决.3.（2014淄博二模）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA_L平面 ABCD,ADBC,BC=2AD,PB AC,Q是线段PB的中点.【答案】见解析【解析】试题分析：（I）根据线面垂直的性质及PA_L平面ABCD推断出PA_LAC,PA1AB,进而利用 PBAC,推断出AC_L平面PAB,利用线面垂直性质可知ACAB,再根据PAAB,PA,ACc 平面PAC,PAG AC=A推断出AB_L平面PAC.证明：（I）TPAJL平面 ABCD,AC,ABu平面 ABCD,A PA AC,PAAB,VPB1AC,API AC,PA,PBu 平面 PAB,PAG PB=P,，ACJ_平面 PAB,TABu平面 PAB,A AC AB,PAAB,PA,ACu 平面 PAC,PAG AC=A；.AB_L平面 PAC.4.如图，四边形ABCD为正方形，PD_L平面ABCD,PD=AD,AF _LPC于点F,F ECD交 PD于点E.（1）证明：CF _L平面ADF；【答案】（1）详见解析，【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用其判定定理，即证线线垂直：由PD_L平面ABCD,得 PD LAD|AD 1 PD,AD 1 DC,PD A DC=C PDQCu 面 PDC AD，平面PDC,CFu 面PDCnAD 1CF由/Q _LCF,/E _LCF,/尸 DCF=C/F,CF u面_L平面/Qp（2）证明 线面平行一般利用其判定定理，即证线线平行：因为AD=PD,由（1）知，F为PC中点，从 而AP/FO，因此由/尸u面402FO仁面4。石得FO/平面AED试题解析：（1）由PD_L平面ABCD,得PD工4D（1分）由力。LPD.AD A.DC.AD Pl。=C nAD _L平面?QC（3分，少一个条件扣一分）=AD J_ CF（1 分）由 4D A-CF,AF A.CF,AF ACT7=C=CF _L平面4Z 577（2 分）5.如图所示的三棱锥4-BCD中，侧面极）、4c。是全等的直角三角形，力。是公共 的斜边，且4Q=G，BD=CD=1,另一个侧面4BC是正三角形.求证：ADLBC.【答案】证明见解析【分析】取8C的中点。，连4。、由=1,侧面力8。是正三角形，得到/。，8。，DOVBC,再由线面垂直的判定定理证明即可.【详解】如图所示：取3c的中点0,连力。、DO,因为侧面4如、NCD是全等的直角三角形，且4。=且，BD=CD=,所以/O_L8C,因为侧面43C是正三角形，所以。OL8C,DOrAO=OBCLAOD,BC k AD.6.如图，在多面体尸KZ 3CD中，底面48C。是梯形，ADHBC,BC=2AD,ZABC=45,P4 工底面 43CD,PAHDK,AB=AC=PA=2DK=2,点、E 为 BC 的中点.证明：Z）石_L平面尸4c.【答案】证明见解析【分析】证明。_L/C、PALDE,再利用线面垂直的判定定理即可证明.【详解】证明：在梯形Z 8C。中，Z 5=Z C,则乙45c=45,/.ZACB=ZABC=45,ZBAC=90,：.AB VAC,.点 E 为 8C 的中点，BC=2AD,：.AD/BE 且 AD=BE,.四边形Z B屈是平行四边形，DEIIAB,J.DELAC,乂 _L 底面/5C。，。石 u 底H H/BC。，.PZ _L,又 P4u 平面 P4C,4Cu 平 H H P4C,PAAC=A,：.。石_1平面力。.【点睛】方法点睛：证明线面垂直的常用方法.(1)利用线面垂直的判定定理，它是最常用的思路.(2)利用线面垂直的性质，若两条平行线之一垂直于平面，则另一条必垂直平面.(3)利用面面垂直的性质.7.如图所示，四面体中，。为8。的中点，AC=BC=CD=BD=2,AB=AD=4i，求证：Z O_L平面6CO.【答案】证明见解析【分析】在等腰三角形中，。为4。的中点，可得力O_LAD,分别求出的长，利 用勾股定理，可得4O_L。，利用线面垂直的判定定理，即可得证.【详解】证明：连接。C,：8。=。，AB=AD,：.AOLBD,在NOC中，由已知可得40=1,CO=5 AC=2,AO2+CO2=AC2,即 40_L。，,:BDcOC=O,NQu 平面BC。，OCu平面8。，NO _L平面BCD.8.如图，三棱柱/B。/4G的侧面是平行四边形，bc q c,平面mgc 平面且P,E,尸分别是4区BC,的中点.（1）求证：3G_l 平面 4G C4；（2）求证：平面石Q_L平面8CC4.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）利用5G _LG。，由面面垂直得出线面垂直，进而可得BG，平面4G C4（2）利用面面平行定义，得到平面EF尸 平面4G C4,然后，根据8G _L平H H 4G C4,即可证明平面EQ J_平面BCCB【详解】（1）由已知得，平面4G C4 _L平面BCC&】,而平面4G C4 c平面BCCB=CC,乂由 8G，CC，乂因为 BC U平H H 8CG 4,可得_L平面4G C4由P,E,尸分别是的中点，根据中位线的定义，PF AAWPE/AC,又因为PF Pb不属于平面4G C4,所以，PF平面40C4PE/AC,P不属于平面4CC4,所以，P夕平面4C4,又因为P尸与尸E相交，且PEu平面Q,PFu平面EFP,所以，平面EFP平面4G C4,乂因为根据（1）,Bq_1平面4。1口成立，3G u平面8CG 4,所以，平面4G C平面8CG 4,所以，平面平面bcg与【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的运用，属于基础题9.已知四边形力BCD是矩形，P4_L平面4BCD,PA=AD=a,M,N分别是 PC的中点，求证：平面MVQ_L平面尸CO.【答案】证明见解析.【分析】取PD的中点,连接/,NE,证出N力,利用线面垂直的判定定理可得平 面尸C。，从而可得肋VJ平面PCD,再利用面面垂直的判定定理即可证明.【详解】证明：取？。的中点,连接4E,NE,如图：M,N分别是48,尸。的中点，EN=-CD=-AB=AM,豆 ENHCDHAB.2 2四边形力是平行四边形.MN/AE.在等腰直角三角形尸4中，4E是斜边上的中线，./1 _LPQ.又 CD 上 AD,C_LPZ,CQJ_ 平面尸40.CD 上 AE.又 CDCPD=D,，/石，平面尸CO.又MNHAE,平面尸CD 又MNu平面MND,.平面平面PCD.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，考查了逻辑推理能力，属于基础题.10.如图，在正方体 中，点P，2分别为棱NO，CG的中点，求证：APLBQ.【答案】证明见解析【分析】取。的中点心 连接力,/R,通过证明火证得结论.【详解】证明：取的中点H,连接0H,力凡如图：ARcAF=O.。是CG的中点，二。做8.而神么8，S.QR/JAB.，四边形48口是平行四边形，.50/4R.在正方形力4。中，0，火分别是力。,。的中点,.RtA44P三 RtADAR,ZAA.P=ADAR.ZDAR+ZAiAR=90:.ZAAiP+ZAlAR=90:.ZAO%=90,即:.AXPLBQ.【点睛】此题考查线线垂直的证明，通过平行关系的转化，结合平面儿何的知识进行证明.异面直线成角步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解注意：取值范围：（0。，9011.如图，四边形4BCD是边长为2的正方形，尸。，面力3。，直线P4与直线3c所成角大小为60.（1）求证：平面尸力C_L平面？5。；（2）求异面直线尸。与所成角大小.【答案】（1）证明见解析；（2）arcco sZ.4【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明再由面面垂直的判定定理，即可得出结论成立；（2）设正方形的中心为。，PZ中点为,连接0,则。石PC,得到/8（或其补角）是异面直线PC与8。所成角，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）证明：PD ABCD,力Cu平面Z 8C。，：.PD1AC,又；BD 上 4C,PDcBD=D,PZ）u 面PBD,8。u 面PBD,/C J面PBD,/。（=面04。，平面04C_L平面/W；（2）设正方形ABC。的中心为。，P4中点为E,连接0,E。，则。7/尸C,/.ZEOD（或其补角）是异面直线尸。与所成角，V ZPAD=60,PD=273 ED=2,乂PC=4,：.OE=2,OD=血,co s Z.EOD=。2+0。2即2 2EOOD4+2-4 _7|2-272 4B二.直线PB与直线AC所成角大小为arcco s.4【点睛】本题主要考查证明面面垂直，考查求异面直线所成的角，属于常考题型.2.空间四边形4BCQ中，AB=CD,点、N分别为对角线3。、/C的中点.（1）若直线与N所成角为60。，求直线与。所成角的大小;（2）若直线44与。所成角为。，求直线与N所成角的大小.【答案】60；(2)1或180。J 2 2【分析】取力。中点为P,连接PM,PN,根据题中条件，由异面直线所成角的定义，得到ZMPN即是直线与所成的角，或所成角的补角，/PW 为直线44与所成的角，且PMN为等腰三角形；(1)根据条件，得到NPW=60。，求出NMW,即可得出结果；(2)根据条件，得到或/MW=180。，进而可求出结果.【详解】取力。中点为P,连接PM,PN,因为点、N分别为对角线4。、力。的中点，所以 PM/4B,PN/CD,且PN=-CD,2 2则NV/W即是直线与。所成的角，或所成角的补角，NPMN为直线AB与MN所成的角，又AB=CD,所以PM=PN,即PWN为等腰三角形；(1)若直线48与所成角为60。，即/PW=60。,贝ij AMPN=180。一 2 x 60。=60,所以直线AB与CD所成角的大小为60；(2)若直线48与CD所成角为。，则 ZMPN=。或/MPN=180。-。，若乙MPN=8,则/尸MN180。一/A/7W 180。一。即宜线与MN所成角的大小为2180。一。若 NMPN=180。9,则=2180。/MPN _ 92 20即直线与MV所成角的大小为不 21 qqo _ n n综上，直线43与MN所成角的大小为一-或三.2 2【点睛】本