2022年高考数学一轮复习专题 专题36 立体几何中的向量方法复习课件.pdf

立体几何中的向量方法（全）立体几何中的向量方法方向向量与法向量、方向向量与法向量1、直饯的方向向量如图，/为经过已知点A且平行于非零向量）的直线,那么非零向量叫做直线/的方向向量。换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量.直线的向量式方程 4P t a如果直线1 _L平面a取直线I的方向向量工则向量日叫做平面a的法向量.换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量.例1.如图所示，正方体的棱长为1直线0A的一个方向向量坐标为（1Q，0）平面0ABC的一个法向量坐标为（0。为平面ABQ的一个法向量坐标为（J，/）例2.在空间直角坐标系中，已知4(3,0,0)I(0,4,0),C(0,0,2),试求平面ABC的一个法向量.J=习惯上取=3 2)解:设平面4BC的一个法向量为=,歹,z)贝 17_1与，7_1就.二刀二(3,4,0),就=(3,0,2)(5)(1)11 Im a/b 1 =AB+AD+-DC22 _2 22,1AB+AD+-AC-AD)1 1 AB+-AC+-AD 2 2B*CD.DNC、1、1 1、MN-AB=(AB+-AC+-ADYAB=Q 2 2 2/.MNAB,同理 MNCD.例1四面体ABCD的六条棱长相等，ABvCD的中点分别是M、N,求证MN_LAB,MNCD.证3如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.练习棱长为a的正方体OABC-aARC中，E、F分别是棱AB,OA上的动点,且AF二BE,求证:I尸 O1E z间直翻阖图廨整A1(a,a.a)F(0,a b,O)。1(0,0,。)E(a-b,a,O)F=(_q,_6,一q)OE-(a-b.-a)7f-3=0 A:FIOrE例2.四棱锥P-Z8co中，底面4BCO是正方形,PD 1底面=DC,点E是PC的中点，作E产 _LP6交PB于点产.(2)求证：PB 平面EFD.直普如所示建立空间 设DC=1.1Z-1 1PB=(1,1-1)DE=(0,-,-)一一 1 1 2 2故PBDE=g=0 2 2所以尸5 1 DE 由已知EF 1 PB,且EF A DE=E,所以必J,平面ETOEpF例2.四棱锥尸-力与CO中，底面46co是正方作韵知前提Z万.（2）求证:PB 1平面EFO.PD1 面48CDBC c=ABCDBC1 ffiPDCQu面尸QCPD=DC是尸。的中点 DE1.ffiF5d PBu 面PBC in 尸。_L PCIPDrPC=PnDE 人 BC,、5CAPC=clnDE 1 PC,EpBCTyFnDEJLPB,工EF L PB=PB,面。厂.DErEF=Ex练习正方体ZBCZ)-中，E、F分别是CD中点，求证：D/平面4DE证明：设正方体棱长为1,以面，灰，E为单位正交基底,建立女吧所示坐行系。闪z,面二(1,0，瓦二(1,小”1 2D1F=(O,-,-l)则巧.瓦3=0,DF-DE=则“IDA,IDE.因 DAC DE=D.所以bL平面4DE.练习正方体48CD 中，区歹分别是CD中点，求证：D/平面4DE证明2：立体几何法例3正方体，E是中点，求证：平面EBD 1平面GZa证明：设正方体棱长为2,建立如后所示坐标系E(0,0,1)B(2,0,0)D(0,2,0)砺二(2,0,-1)丽二(0,2,-1)设平面EBD的一个法向量是二()由 m-EB-u-ED-0得=平面CiBD的一个法向量是v=C4=(-1.-1J)v=0.平而匚an 平面U彩71例3正方体25cZ)-4与。1。，E是441中点,求证：平面EBD 平而G6n证明2：立体几何法立体几何中的向量方法夹角问题L异面直线所成角口JI/重平面a,的法向量分别为，则/,加的夹角为夕。0,90,如的夹角为e,cos。二u-V uv歌设墨W的方向向量分别短平面a,尸的法向量分别为则a,B的夹角为a COS0=COS .2、线面角设直线I,m的方向向量分别为，平面火的法向量分别为/，则(2)/,畿的夹角为asin=cos 例 RtAABC,/BC/=90,现将AA5C沿着平面ZBC4G的中点、F,求，耳与所成的角的余弦值.解L以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C-町z.如图所示，设CG=1则：1 1 1 14（1,0,0）4（0,0）,耳（不 0,3 4（K 大 1）2 2 2 2 A4月二（一5,0/）/田二（-5,5，-1）zByB明,BD1730cos=-Y|州|町|ioa 所以5R与4片所成角的余弦值为詈.例 RtAABC,/5。=90,现将ZU5C沿着平面/5C 的法向量平移到a481G位置，已知8C=ca=cq，取44、4G的中点2、F,求/月与28所成的角的余弦值.例：正方体/BCDGA 的棱长为1.求与G与平面/与。所成的角的正弦值.解1建立直角坐标系.则瓦召=(0,-1,0),平面ABQ的一个法向量为D=(1,1-1),/(0 1+0 y/3cos(BD.,此 C J=-)=-=-/1.百 3所以4G与面/4。所成的角的正弦值为上二 3例：正方体的棱长为1.求生。与平面/与。所成的角的正弦值.解2立体几何法 z t例4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD_L底面ABCD,PD=DC,E是PC的 中点，作EFJ.PB交PB于点F.(1)求证：PA平面EDB;(2)求证：PB 1平面EFD;(3)求二面角CPBD的大小。A(3)解 建立空间直角坐标系，设DC=1.已知尸由(2)可知尸故NETO是二面角C-尸5-D的平面角.设点方的坐标为(x,y,z),则尸尸=(x,y,z-l)因为标二左丽 JZ所以(x,y,z 1)=网1,1,1)二(A,A,ky Px k,y k,z 因为丽丽=0 所以(1,1,1).化。左)=k+k +k=3k 1=0 1 1 1?所以左，F(-,-,-)3 3 3 3 6.，为 1 1 1所以所=(_)的=(3 0,0_,因为cos ZEFD=竺至 FE FD（_11 _1_2）1二（3%，6）3，3，3）二y/6-J6 1 2 6-3-3所以NEFD=60即二面角C-必-。6勺大小为60.例4如图,在四棱锥PABCD中.底面ABCD是正方形，侧棱PDJ.底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EFJ.PB交PB于点F.的大小。解2如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.平面PBC的一个法向量为：1 1DE=(。小 平面PBD的一个法向量为：f 土，。)cos函前 =-1/2J(3)号二面角CPBDcos0=l/2,8=60。EpYF例4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是WHWPiffiABCDr PD=DC/EMPC0g中点，作EF_L PB交PB于点F.(3)求二面角CPBD的大小。p解3立体几何法：设DC=1,PB EF,由(2)可知心 _LDF,故N爰是二面角C-%-D的平面角DE 当 DF=PDDB V6EF 2 PB 6PB 3 4eA2八 df2+ef2-de cos ZEFD=-2DF-EFECZEFD=60.2F练习 正方体ABC。的棱长为1.求二面角A-C的大小.D解1建立直角坐标系.g平面ABD1的一个法向量为可=(0,1,1),平面CBDi的一个法向量为西=(1,0,1),;/.cos=1/2,1 7 1 7 X二面角/-BDr。为钝角,设为仇.cos。=1/2,8=120.则二面角A-53-C的大小为120.A-yBAi练习正方体4BC。一4/的。的棱长为1.求二面角A-C的大小.解2立体几何法在AAPC中，：CP=AP=,AC=,31/.cos ZAPC=)2则二面角A-53-C的大小为120.立体几何中的向量方法距离问题-一设直线I,m的方向向：i里7T力IJ力华刀9平面a,的法向量分别为井，则 A(xi,yi/D,B(x2,y2,z2),则4B1=小(X毛+(%)?+(4 Zap6平面的法向量分别为#,则(2)点P与直线1的距离为d,则d=AP sin,AAP 71-cos2.aTTnrffJZJIRI尸J里刀 力力,平面a,的法向量分别为U，则(3)点P与平面平面巨离为d，则d 曲|刀|cos|I”万向J中AP u I wl一一一 设直线IM的方向向量平面火的法向量分别为则(4)平面a与0的距离为d,则d-p|cos(AP,i/|=L I u/，加为异面直线，则m 八M公垂线的方向向量，/,相距离d同上!如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？解：如图1,设48=44=4。=1,ABAD=ZBAA=ADAA=60DxClAC.=AB+AD+AAiAC.=(AB+AD+AAX)2A1C,A B-2-2-2-图 1=AB+AD+AA,+2(AB AD+AB AA+AD AAJ u=1+1+1+2(cos 600+cos 600+cos 60)=6所以|正|=Ji答：这个晶体的对角线AC,的长是棱长 的6倍。练习.(P107.以图，60的二面角的棱上 有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的 两个半平面内，且都垂直AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.角军二曰+方+而，_ _解得 CD=2V17./D练习(P10712)如图，60的二面角的棱上 有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的 两个半平面内，且都垂直AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.解2立体几何法1,E为Dig的中点，求点E到直线AB的距离.1,E为Dig的中点，求点E到直线AB的距离.解2立体几何法 面积法1,E为Dig的中点，求Bi到面ABE的距离.解：建立坐标系.还二(-12,0),奉二(0,T)-2 4设=C，y,为面ABE的法向量，由u.AE=0,u.AB=0,2得 u=(ilfl).=(0,1,0),B1到面A1BE的距离为G cd=A1B1 n nAE23Ay1,E为Dig的中点，求Bi到面ABE的距离.解2等体积法d=.35到面ABE的距离即为E为Dig的中点，求DC到面ABE的距离.解 1:丁 DiCII 面AiBE ZaDR到面ABE的距离.仿上例求得DC到面ABE的距离为“4 148衿UE为Dig的中点，求DC到面ABE的距离.解2等体积法LABE3限4*求面ARB与面DCBi的距离.解1:二 面DiCB/l 面A1BDDi到面ABD的距离即 为面DCBi到面ABD的距离 平面4助的一个法向量为 苑=(-1,1,1),且可=(1,0,0)取;而百 u-,-=-AC.3例刈囹，仕止力件AHLL 求面ADB与面DCBi的距离.解2等体积法V=Vv Dv-ABD v B-AiDDiV3d-.3例如囹,仕止力件ADL 求面ADB与面DCBi的距离.解3立体几何法7 4E 1。d=AP=AC.3 1 31=1-j例 如图，在正方体ABCD-ABiCiDi中，棱长为1,E为Dig的中点，求异面直线DiB与AE的距离.1解：v 2（0,o）,3（LL0）,4a0,1）,（0,-）2Zar i a/.AyE 155 0,I 2 J设=0,歹）与4七,刀15都垂直由4n-AXE-0,n,D.B 0,i4 nnn例题讲解题型一.求法向里 _例 1(1)已知方=(2,2,1),就=(4,5,3),求平面的单位法向量.1 2 2、一，1 2 2、(一，一)或(，一，).3 3 3 3 3 3(2)若两个平面a,的法向量分别是 u=(1,0,1),v=，则这两个平面所成的锐二面角的度数是.ABCA=90 t BC=CA=CCit E,F 分别是棱4耳、4G的中点，求BDX与AFX所成的角的余弦值.a(4)如图，ABCD是一直角梯形，ZABC=90,平面6CD,SA=AB=BC=tAD=-t求平面SCD与平面SBA所成的2锐二面角的余弦值.a73例 1(3)三棱柱中，N5C4=90,6C=C4=CqD.F1分别是棱、4G的中点，求BO】与4月所成的角的余弦值.解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 贝IJ1 1 1 的&），伐，5）4店=（；,0,1）石4=I=1 1弓厂31)AFBD,zV30 x4|明3 1025474(4)如图，4BCD是一直角梯形，ZABC=90,5L4J_平面锐二面角的余弦值.0*0),易知，面SA4的法向量R=5力=(0,0),1 1CD=(l-fiSD=-l)设平面r x 02 解得：n2=(1,2J)J=02一一 R 心 V6/.cos=-=51411 瓦 I 3点评：找到两两垂直点建系，正确写出坐标，二面角注意判断锐钝75大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点76题型三：求距离的问题(5)见面体中，0、E分别是4比的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=C.求证：NO_L平面尻D；求异面直线48与CD所成角余弦的大小;求点E到平面4CD的距离.(5)证明：连结 OC,BO=DO,AB=AD,:.AO：LBD.BO=DO,BC=CD,C01BD.在 AAOC 中，由已知可得 AO=l,CO=y/3,而 4。=2,同方法解：以0为原点，如图建立空间直角坐标系，则用1,0,0),。(-1,0,0),c(0,6,0),/(0,0,1),E 得与 0),4=(-1,0,1),cb=(-l5-A 0).COS函丽=叱2=%:.异面直线48与CD所成 BA-CD 4解：设平面/CD的法向量为=(x/,z),则/.AD=(xj,2).(-L0,-1)=0.Jx+z=0n-AC=(x,y.z)-(0,a/3,1)=0 z=0令=L得=(-6,V3)是平面/CD的一个法向量.又加=(-立,0),，点E到平面/CD的距离 2 2点评：找出一条垂直于底面的线作为Z轴，一些常见的规律如面 面垂直棱的垂线、麦柱的中线.正四棱柱的中心78三知直三棱柱4BC/1G的侧棱Z4=4,AABC 中，ZC=BC=2,ZBCA=90,-AB的中点,求异面直线CE与4Bi的距离.80解：如图建立坐标系C-盯Z,则 C(0,0,0),(U,0),4(2,0。,4(0,2,4).=(1,1,0),明=(2,2,4),设。及力片的公垂线的方向向量为方=(X/),则 CE=0n AB.=0 _ _ _/a/即=(AC+CD+DB)2=ab+BD2+2(AC+AC DB+CD DB)V cos,码CA DB CA DBCA DB abd2=a2+c2+b2+2AC DB2abc os0=a2+b2+c2-d2.库底与水坝所成二面角的余弦值为a+b+c-dlab(9)如图，已知四棱锥P一CD中，底面/BCD为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDCJ底面 而CD,E为PC的中点.(1)求证:P/平面EDB；求证：平面EDBJ平面PBC.分析:如果我们有多种方法,应选择自己最容易想同时最 简便的方法.(9)已知四棱锥P/IBCD中，底面4BCD为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDCJ_底面陶CD,E为PC的中 占(1)求证：P。/平面EDB；求证：平面EDB J平面PBC.证明：连阅交BD于0,连E0,由四边形4BCD为正方形，得0为用中点，在4P匍中，由中位线定 理得E0P4 又EOu平面EDB,P42 平面 EDB,二 P4/平面 EDB.由平面PDC_L平面/BCD,BCDC,得BC_L平面PDC.又 DEu平面PDC,则BC_LDE.E为PC的中点，PDC为正三角 形，ADEPC.BCnPC=C,DEJ平面PBC 又DEu平面 EDB,平面EDB_L平面PBC.85学生绿(10)如图,60的二面角的棱上有4、5两点，直线ZC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直N5已知力万=4,AC=6f BD=81 求CO的长.MlMl(10)图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.解:问=6,网=4,阿卜8且0_1万，丽 _lZS,(CA,BD=120/A-A 2-2-2-A 2-A-A-：.CD=CA+AB+BD+2CA AB+2AB BD+2CA BD=62+42+82+0+0-2x6x8xi=68_2A CD=2a/T7 答：CD的长为2历.注：利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二鱼的大小.87IMBMI作业(11)已知P4垂直于正方形所在的平面，M、N分别是、PC的中点，并且=求证：设，_1平面PDC(12)已知 ABCD 是正方形，PD_L平面 ABCD,PD=AD=2.求PC与平面PBD所成的角;求点D到平面PAC的距离;在线段PB上是否存在一点E,使PC_L平面ADE?若存在,确定E点的位置，若不存在，说明理由.88证明：24=4D=ABPA 平面 AB.可设应=7,万=J,AP=k.PA=1 八zP 分别以7,7,k为坐标向量建立空间直角坐标系4 4(0,0,0),(0,1,0),0),P(-l,0,0),p(。，。)J i 1 L 2 2 2 公.mN=(，0,)W=(T0,l).2 2DC=(0,M).MN PD=(-LoJ)(-1,0,-1)=0.MN PD2 2又 PD n oc=o MN 1 平面PDC89解:如图建立空间直角坐标系。一型，.尸方4刀二2,:111)(0.0,0),4(2,0,0),0(1,0),夙2,2,0)(0,2,0)加,0,2)J,.正方形 4BCD,JOCIDB.PZ)_L平面ABCD,OCu平面ABCD,f C：，/：,J.PD_LOC.又/)6np.OC_L平面PSD/A CPO为PCm至面PBD所成的角.:正=(0,2,-2)屈=(1,1厂2),：、o 7cos正而=至皎=2，PC与平面P助所成的角为30 PCPO 2过。做。歹，平面B4C于点E设平面B4C的法向量为-=(X4，z)上=。即 n-PC=Q犬_一令卡1,则产 1,z=l,.二 n=(1,1 J).j z=0 _ _,f:n,DA,2 V3 cos=-=.n-DA x2 3 r-Z7 S90IV(ill)Biw.贝|JP=；IP5.、M=(2,2,2),PE=(22,22,-22).E(22,22,2-22).AE=(22-2,22,2-22.)要证PC_L平面4DE,即证PC_L/E4 4 1即证PC4E=84 4=0.即证4=2E(1,1,1),x二存在E点且E为PB的中点时PC_L平面ADE.注：这类探索问题用向量法来分析容易发现结论.