2022年高考数学一轮复习专题 专题40 双曲线基础知识和典型例题（解析版）.pdf

专题40双曲线基础知识和典型例题（解析版）一、定义:平面内与两个定点招，%的距离之差的绝对值等于常数（小于忸1死1）的点的轨迹称为双曲线.即：Ilg lT峥卜2a,（2“|及居1）。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.二、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图形T|V*标准方程F-台=1（。力。）a o彳一尸=1(。,3 )a b范围x=或 x 之a,yeRy+/)对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率e=-=1+丁(1)a a越大，双曲线的开口越阔 g渐近线方程y=-x aJ y=x b二、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.四、直线与圆锥曲线的位置关系1直线与扇锥曲线直线与圆锥曲线的位量系几何角度住要适用于直线与圆的位置关系）.代数角度（适用于所有直线与圆锥曲线位置哼）直线与圆锥曲线相交廨长问题利用一般弦长公式（筱）利用两点间距离公式繁琐）12.直线与圆锥曲线的位置关系：.从几何角度看：(特别注意)要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线 只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。(2).从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到+占x+c=0 o1.若=0,当圆锥曲线是双曲线时一，直线L与双曲线的渐进线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。2.若a。0,设右=b2-A ac o3.时:直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。b.A=时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。五、弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根 据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点B(x2，y/时，则1ABLj l+k?ki _ x2|=1+k2 g+9尸 一4勺町1+乩F1+他-4y仍题型一：求双曲线的解析式例L求下列双曲线的标准方程.2 2(1)与双曲线上一匕=1有公共焦点，且过点(3正，2)的双曲线；16 4X(2)以椭圆3*+13/=39的焦点为焦点，以直线7=土一为渐近线的双曲线.【答案】(1)-=1;(2)-=1.12 8 8 2【解析】【分析】2 2(1)求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为-=1(20-/o),将点a 20-a22）代入双曲线方程，解方程可得。，b,进而得到双曲线的方程；（2）利用椭圆的方程求2 2 1出双曲线的焦点坐标，设=-二=1（。01 0）,根据双曲线的渐近线为y=-%求出/,a b 2可得答案.【详解】2 2（1）双曲线上一匕=1的焦点为（2石，0）,16 4v-2 2设所求双曲线方程为二-一J=1（20-20）,a2 20-/又点（3五,2）在双曲线上，18 4*,-T=解得/=12 或 30（舍去），a 20-a2 2所求双曲线方程为上一匕二1.12 82 2（2）椭圆3/+13；2=39可化为二+匕=1,13 3其焦点坐标为（而，0）,所求双曲线的焦点为（土西，0）,2 2 1设双曲线方程为二-4=l（a0,6（）.双曲线的渐近线为y=-,a b 2.b _1.b2 _W-a2 _1 2 q 入2。-=2=2=-7，ci=8，b=2，a 2 a a 42 2即所求的双曲线方程为二-匕=1.8 2【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，考查椭圆的性质，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题.例2.在下列条件下求双曲线标准方程.（1）经过两点（3,0）,（6,-3）；（2）焦点在V轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为46，且经过点（2,-5）.2 2 2 2【答案】（1）-匕=1；（2）Z_一二=1.9 3 20 16【解析】3【分析】2 2（1）根据题意可设双曲线的标准方程为斗-2=l（a 0,b 0），将题干中两点坐标代入 a b双曲线的方程，可求出力、/的值，即可得出所求双曲线的标准方程;2 2（2）根据题可设双曲线的标准方程为1r-方=l（a0,b0）,根据双曲线的定义可求出。的值，再将点（2,-5）的坐标代入双曲线的标准方程，求出力的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】（1）由于双曲线过点（3,0）,则该双曲线的焦点在工轴上，2 2设双曲线标准方程为二=1（。0/0）,a2 b2 7由题意可得(-6)2(-3)22 入2=1a2=9b2=3因此，所求双曲线的标准方程为二 匕=1；9 3（2）由双曲线的焦点在歹轴上，可设双曲线的标准方程为=由双曲线的定义可得2a=46，则a=2后，所以，双曲线的标准为匕一0=1，20 b2将点（2,-5）的坐标代入双曲线的标准方程得（：）_*=1，解得b=4,因此，所求双曲线的标准方程为匕一二=1.20 16【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，解题时要确定双曲线的焦点位置，考查运算求解能力，属 于基础题.4题型二：求双曲线的轨迹例3.已知线段与。互相垂直平分于点。，动点M满足|M4 HM若48|=8,|8|=4,求动点/的轨迹方程.【答案】y2-x2+6=0【解析】【分析】以。为原点，分别以直线为1轴，V轴建立平面直角坐标系，写出A、B、C、D的坐标，根据两点间距离公式及|比4卜|同化简可得M的轨迹方程.【详解】以。为原点，分别以直线4民。为X轴，歹轴建立平面直角坐标系，则 2(-4,0),8(4,0),C(0,2),D(0,-2),设(工,、)为轨迹上任意一点，因为=Mq.,所以 J(x+4)?+y2(x-4)2+.y2=x2+(y-2x2+(y+2,化简得y2-x2+6=0,所以动点M的轨迹方程为y2-x2+6=0.【点睛】本题考查了平面直角坐标系中轨迹方程的求法，注意建立坐标系时选择合适的原点及坐标 轴，属于基础题.例4.已知圆G：(x+3)2+/=i和圆&：(%_3)2+歹2=9,动圆同时与圆G及圆。2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.2【答案】/匕=1(x0)5【解析】【分析】设动圆”与圆G及圆G分别外切于点力和8,根据两圆外切的条件和1上仅1=1 mb得到|加2|-|01|=2,再结合双曲线的定义，即可求解.【详解】由题意，设动圆M与圆G及圆。2分别外切于点4和4，根据两圆外切的条件,得阿gH.gI=imh|mg|-忸因为|M4|=|M3|,所以卜MG|忸。2卜3 1=2,即阿-阿C=2,即动点M与两定点c2.G距离的差是常数2,根据双曲线的定义，可得动点的轨迹为双曲线的左支(点与。2的距离大，与C的距 离小)，其中。=1,c=3,则从=8，2所以点的轨迹方程为x2-=l(x0,即3+2加0，2 2由点河(西,必)，(2/2)在抛物线。上得$2=1区=m2，6 6由 OM ON得 xxx2+y1y2=m2-6m=0,解得加=6或加=0(舍)，则加=6,满足/0,则 yy2=-36,*,弦长=Ji+,J(y+%)2 4 必为;J+.,36”+144=6次+1),2+4)=6a/J+5r+412,当且仅当r=0时取等号，故WV|的最小值为12.【点睛】本题考查双曲线的基本概念及抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理 能力和运算求解能力，考查数学运算、逻辑推理等核心素养.题型四：直线与双曲线的位置关系8例7.平面直角坐标系xOy中，抛物线。的顶点在坐标原点，焦点为双曲线匕=1的 3右顶点.求抛物线。的方程；经过已知双曲线的左焦点作抛物线。的切线，求切线方程.【答案】(1)/=4%；y=等(x+2)【解析】【分析】(1)由抛物线的焦点为双曲线f匕=1的右顶点可得上=1,从而可得结果；(2)先 3 2/f y2=4x判断直线斜率存在且不为零，再设所求切线为歹=左(工+2)，由z 及kwO得,y=kx+2)y2-iy+S=0,由判别式为零可得左=42,从而可得结果.k 2【详解】依题意，设抛物线。的方程为/=2px八1,2所以2=2,抛物线。的方程为y2=4x2双曲线f 一4二1的左焦点为方(2,0)显然x=-2不是抛物线C的切线，设所求切线为y=k(x+2)由y2=4%y=k(x+2)及4w 0得,y2-iy+S=0,依题意d 4X8=0,解得左=YI k k)2切线方程为y=土半(X+2)9【点睛】本题主要考查双曲线的方程及简单性质，待定系数法求抛物线方程以及直线与抛物线的位置 关系，属于中档题.在解题过程中需要用“点斜式”、“斜截式”设直线方程时，一定不要 忘记讨论直线斜率不存在的情况，这是解析几何解题过程中容易出错的地方.例8.已知双曲线C：一马=1伍0法0)的离心率为其3,且过点(6,1).a b 3(1)求双曲线。的方程；(2)若直线/：y=丘+正与双曲线。恒有两个不同的交点4，B,求左的取值范围.,3田一，、-2,1 百百1/6 A【答案】(1)-y=1；(2)1,U U-,1.3 3 3 3 3【解析】【分析】(1)首先根据离心率可以得到。与6的关系是二3b2,应用此关系将双曲线方程化简,接下来将点P的坐标代入方程，整理后即可得到曲线C的方程；(2)联立直线/与双曲线。的方程，消去y项，可以得到关于x的一元二次方程，直线与 双曲线有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程有两个不相等的解，于是可得关于左的 不等式组，通过解不等式组求出后的取值范围.【详解】/,、u-,2,y/3 r/曰 C?4(1)由 e=-，可 d j-丁,3 a2 3所以二3b2,故双曲线方程可化为 将点尸(后,1)代入双曲线C的方程,解得=1,所以双曲线。的方程为工/=1;3(2)联立直线与双曲线方程,10y=kx+/2 x2-3/-3=0=(1-3左2卜2_6瓜_9=0,由题意得，A=72左2 0 3左2)x(9)01 342 wo解得一1左1且左。1,3所以上的取值范围为-1,-【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题.题型五：弦长问题相交弦AB的弦长M却=Jl+E 忖 _ x2|=Jl+k2 Q(X+v)?-4%2=Jl+k2a或|四二J+N 一刃=j l+j Oi+%)2 4凹力=Jl+%2b.中点(4,%),%一再；%2,%=8例9.已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是=瓜，且双曲线过点（行,行）.（1）求双曲线的方程;（2）过双曲线右焦点尸作倾斜角为:的直线交双曲线于力、8两点，求耳.2【答案】（1）%2_匕=1；（2）6.3【解析】【分析】（1）设所求双曲线的方程为3x2 /=4,将点（、汇,6）的坐标代入双曲线的方程，求得4 的值，由此可得出所求双曲线的方程；（2）可得出直线43的方程为y=%2,设点力（阳,%）、8（%2/2），将直线Z6的方程 11与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得【详解】（1）设双曲线方程为：将点卜2月）的坐标代入双曲线的方程得 4=3x 23=3,2所以所求双曲线方程为f 匕=1；3（2）易知双曲线右焦点的坐标为（2,0）,设点/（外,必）、B（x2,y2）,直线43的方程为V=%-2,联立y=x-23%2_ y2=3可得 2丁+4%7=0,=16+4x2x7=72,由韦达定理可得匹+马=-2,x,x2=72因此，|/司=Jl+一 二收 J(%1+%2-4%2=V2 X J(-2)2-4x 1_ g)=6.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，同时也考查了直线截双曲线的弦长，考 查计算能力，属于中等题.例10直线V=履+加（左，加e R）与双曲线 2 一匕=1相交于力、3两点，。为坐标原点,3且况_ L两（1）求左与加满足的关系；（2）求证：点。到直线48的距离是定值，并求|力M的最小值.【答案】（1）2加23左2=3（左WG）；（2）证明见解析，48，in=#【解析】【分析】2（1）设点A（X,弘）,B（%2，%）联立直线方程丁=履+加和双曲线方程V-匕=1消元化简：（3-r）%2-2而X 阳2-3=0,然后利用韦达定理结合向量垂直即占马+必%=0,可求得k和m满足的关系;12(2)利用点到直线的距离公式求出距离表达式再利用(1)的结论即可证明距离是定值;利用弦长公式以及韦达定理表示出弦长表达式|，同=（1+阴（54+6 左 2），然后利用换元配方求解最小值.【详解】Iy=kx+m2 y2 消.得（3-卜2_2痴-疗一 3=0,X-133-左2 wo2 km再+%2=-71 2 3-左2ni2 3由厉JL砺得4O8=XxX2+必2=（1+女2）西2+而（而+%2）+加2=0代入化简口I得上和加满足的关系为:2m1 3k2=3(左w V3);|0-0+m|I ml ow2 _ 7(2)由点到直线的距离公式可得：d=/=-7u=，由得42=丝_代入可解得d=逅为定值;2由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:A B=y/l+k2（%=%2）24%匕=54：6左），令3_92 二/V（I）（W）化简可得|/国=2881：）-2,由fW3可得当1=1,尸3时.=y/6.t 3 1 m,n【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系以及弦长距离的问题，解决此类问题通常联立解直线与 双曲线方程组成的方程组，消元利用韦达定理解决，运算过程常常采用设而不求，整体代入等 13解法，是高考常考题型.题型六：双曲线焦点弦问题例11.椭圆W+4=l（abO）的离心率为走，且过点（0,1）.a b 2（I）求椭圆方程（II）过椭圆右焦点做斜率为1的直线交椭圆于48两点，求线段同的长 8【答案】（I）+/=i；（|）_ 4 5【解析】【分析】（I）由椭圆二十二=1（。60）的离心率为,且过点（0,1）,结合性质 cT b 2a2=b2+c2，列出关于。、b、。的方程组，求出由此能求出椭圆方程；（H）设/（/）,B（x2,y2）,直线方程为y=x 直线与椭圆联立得58氐+8=0,由此利用根与系数关系、弦长公式能求出线段目的长.【详解】（I.椭圆=+，=1（。60）的离心率为日，且过点（0,1）.由已知得9=立，b=l,a 2解得。=2,2.椭圆方程为土+/=1.4设力8（%2，歹2），直线方程为y=x-G，f V=X y3.1-直线与椭圆联立-以三【点睛】本题主要考查椭圆的方程与离心率、直线与椭圆的位置关系，是中档题.求椭圆标准方程的 方法一般为待定系数法，根据条件确定关于l,b,c的方程组，解出生，从而写出椭圆的标 准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联 立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常 常用“点差法”解决，往往会更简单.题型七：中点弦问题 2 2 2 2例12已知双曲线G 二勺=l(a0,60)与椭圆土+匕=1有共同的焦点，点 a2 b2 18 14/(3,、万)在双曲线。上.(1)求双曲线C的标准方程；(2)以尸(1,2)为中点作双曲线。的一条弦28,求弦48所在直线的方程.【答案】土_ Z1=1；(2)x-2y+3=0.2 2【解析】【分析】(1)由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线。的焦点坐标，利用点力(3,、万)在双曲线。上，根据双曲线定义|力片|一|力8|=2。,即可求出所求双曲线。的方程；(2)设2 _ 2 2X y ，两方程相减，借助于P(l,2)为%=2中点，可求弦所在直线的斜率，利用点斜式可求其方程.【详解】15由已知椭圆方程求出其焦点坐标，可得双曲线。的焦点为片（一2,0）,（2,0）,由双曲线定义/片卜|1|=2a,即V25+7-Vl+7=2a，2 2所以&，=4 2=2,所以所求双曲线的标准方程为上一匕=1.2 2（2）设力（国,必），一（%2，%），因为凡方在双曲线上，所以1；2%一得（占%）（玉+%2）-（必 一%）（弘+%）二。，所以之X-x2 x1+x2 2乂+2 41 k2，AB_2故弦月夕所在直线的方程为y 2=g（x 1）,即x 2y+3=0.【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质，双曲线的定义、双曲线的方程及“点差法”的应用，属于 中档题.对于有关弦中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：设点（即设出弦的两端点 坐标）；代入（即代入圆锥曲线方程）；作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）;整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.题型八：双曲线面积问题例13.已知双曲线C的焦点坐标为片（、万,0）,7（-710,0）,实轴长为6.（1）求双曲线。标准方程；（2）若双曲线。上存在一点P使得尸耳，尸与，求尸丹外的面积.【答案】（1）-/=1（2）19【解析】【分析】（1）由题意知，c=JIU，。=3,求出6,即可求解对应双曲线方程；（2）由垂直可得归片闾2=q而）2,再结合第一定义可得归凰_卢可=6,联立 16求解求出I列讣|竺|,即可求解【详解】（1）由条件得=-/m，24=6,。=3,；6=1,.双曲线方程为：y1=.9（2）由双曲线定义知归用一户周|=6且声（+尸网2=qW）2,联立解得|尸国|PE|=2,，/；工的面积为：j尸尸卜|尸网=1.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，焦点三角形面积的求法，属于基础题2 2例14.如图，。为坐标原点，椭圆G：q+=l（abO）的左，右焦点分别为耳，工，离心率为，双曲线c 2:二彳=l（aO,bO）的左，右焦点分别为月，工，离心率为 a be2,已知的2=逑，出川=2+&.（1）求G，G的方程；（2）过百作G的不垂直于V轴的弦45,为弦的中点，当直线。河与。2交于尸，。两点时，求四边形/尸3。面积的最小值.2 2【答案】C,：y+j2=l,C2：y-/=1；（2）2vL【解析】17【分析】由e,e2=可推出2=3,从而K(-V2Z),0),F4(240)，因此忸工=42b+2b，推 出b=1,a=G，从而得到G，G的方程;x=my-1(2)设直线48的方程为了=叼-1,联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出+y=1I 3)mf-3 m m 3”M-，从而得到直线PQ的方程为y=-一，再联立 2，由韦达I 3 I 3)3 o-y=1I 3，定理和弦长公式求出归。|.再利用点到直线的距离公式求出A到直线PQ的距离以及B到 直线PQ的距离，进而得到四边形A PBQ的面积的最小值.【详解】3 a a 3Q；./_/=q4,即 q2:3/)2,耳卜扬,0)3(2o),片鸟|二 4+26=2+夜，b=T,a=y/3,2 2G的方程为y+y2=1,C2的方程为(_/=.(2)依题意，直线A B的方程可设为=冲T,设力(石,必)，a%,%)，Ix=my-1%2+2 消去、可得(加2+3)72_2冲_2=0,2 m-218/62中,A B中点坐标为M-3 m j m2+3，m2+3rm直线产。的方程为y=1,由my=-x2 消去儿可得（3/-j;2=lI 3.*2=9,l 2 9 3 0 IC x-3-m2m2 3-m2中。|=24+/=29+m23 m2设A到直线PQ的距离为d，则B到直线PQ的距离也为d,2d=加工+y|+|mx2+3y21J.+9V（mxx+3%（加/+3%）0，2d=眄+3弘 _3刃 _ 帆（阳 一）+3（,%）|_ 2+3）仅 1 _%|y/m2+9y/m2+9又I 必乂 I=（必+为一切%:4m2-r+/+3丫y/m2+98+2m2+3 m2+3c,2V3-Vw2+22d=/lm2+9四边形/尸3。的面积S=PQ-2d=-2b+/26二&2 2_ 3-川府万一22月+53 m2当相=0时,S取得最小值，且5min=2V2，即四边形A PBQ面积的最小值为2也.【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题,考查计算能力，需要学生对相关知识熟练掌握且19灵活应用，难度较大.题型九：双曲线求参数 例15.已知椭圆C的方程为=十二=1（。60）,双曲线二4=1的一条渐近线与工a2 b2 ）a1 b2轴所成的夹角为30。，且双曲线的焦距为4求椭圆。的方程；设片，耳分别为椭圆。的左，右焦点，过E作直线/（与工轴不重合）交椭圆于力，B两 点，线段4g的中点为石，记直线片E的斜率为左，求左的取值范围.【答案】（1）+=1；（2）1 o，.6 2 L 12 12_【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于。、b、。的方程组，结合性质,求出。、b、c,即可得结果；（2）设4（国,%），8（%2，%），设直线43的方程为=W+2,直线与曲线联立，根据韦达定理，将斜率网用，表示，利用基本不等式即可得结果.试题解析：一条渐近线与轴所成的夹角为30。知2=tan3（）o=立，即=3/，a 3又c=2亚,所以/+=8,解得/=6，R=2,2 2所以椭圆。的方程为二+匕=1.6 2由知g（2,0）,设4（西,弘），B（x2,y2）,设直线43的方程为=W+2.20土乙=1联立,6 2 得+3)/+4卬2=0,x=ty+2,-4/口 12+2=+3倚/+%2=,+3，.“a(产+3 t+3)2t又(2,0),所以直线耳的斜率左二 厂-2 鼻-r+3当，=0时、左=0；i/ci=kl=1 1(而当方W0时，I|/|2+6川+9-26,即阳6 0,综合可知，直线片E的斜率左的取值范围是弋*例16.已知命题P：实数加满足加之5加+4/0；命题9：方程2 2+=1表示双曲线.m3 m-5(1)若。=1,2和9均为真命题，求实数机的取值范围；(2)若9是2的充分不必要条件，求实数。的取值范围.【答案】(1)(3,4)；(2)2,3.4【解析】【分析】(1)化简命题夕和命题9,求出。=1时命题P的表示，根据题意即可求出机的范围.(2)由9是P的充分不必要条件得9n p但P 4/所以mI加“加|加ep,从而得出答案.【详解】由加25。加+4/0，得(冽一。)(加一4。)0,所以相4。，即命题P：。加4。.212 2由方程+3一=1表示双曲线，可得：m-3 m 5（加一 3）（加5）0解得3加5,即命题4：3 m 5.（1）若 a=1,则命题 P：1 m 4,fl m 4因为命题夕和0均为真命题，所以,所以3加4,3 m 5所以符合题意的）的取值范围为：（3,4）.（2）若q是P的充分不必要条件，则有：q n p但24 q,所以mmm e p,即及21 3根 5 ma m 4a2 5 4所以实数。的取值范围是j,3.【点睛】本题第一问以命题为背景考查一元二次不等式，双曲线标准方程的性质，第二问考查必要不 充分条件，属于中档题.题型十：双曲线离心率问题2 2例17.过双曲线=-二=l（a0,60）的一个焦点厂作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线 a b段（0为原点）的垂直平分线上，求双曲线的离心率.【答案】V2.【解析】【分析】设/为右焦点，过尸作灯垂直于一条渐近线，垂足为。，过。作尸M_ LQ F于由射影定理知|尸尸二|五朋1尸可得凡b,c的关系，可求得双曲线的离心率.【详解】如图所示，不妨设F为右焦点，过月作勿垂直于一条渐近线，垂足为尸，过尸作尸朋r _ L OF 22于M由已知得M为OF的中点，由射影定理知|PF|2=|FM FO,又尸(c,0),渐近线的方程为灰-即=0,所以|尸尸|=/C=b,于是 lb+a 2即 2b2=，=/+/,因此/=,故=J1+1 a a【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的离心率，属于基础题.2 2例18.双曲线二-与=1伍0力0)的左右焦点为片，工，尸是双曲线上一点，满足 a b归耳卜忱用，直线尸片与圆/+/=/相切，求双曲线的离心率.答案】e=3【解析】【分析】设直线尸片与圆/+/=/相切点，连接。屈，根据|尸闾=|片段和直线尸片与圆+2=。2相切得到26=。+。，再求离心率即可.【详解】设直线产片与圆工2+)2=。2相切点M，连接。如图所示：23因为|尸月|=|用，所以片入。为等腰三角形，又因为片，所以阿耳|=；P/口在RT耳。中,MF=，防2ToM2=J0 23=b,所以仍用=46.因为|尸周一|尸阊=2a,所以4b-2c=2q,即26=a+c.所以 4b2=a2+c2+lac，4c2-4/=a2+c2+lac3c2-5/-2ac=0,3e2-2e-5=0 解得e=*或e=-l（舍去）.3【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.题型十一：双曲线渐近线问题Y2 v2 5例19.已知双曲线。与椭圆：土+匕=1有公共的焦点,且离心率为e=,求双曲线。49 24 4的方程及其渐近线方程.2 2 3【答案】双曲线C的方程为-=1,渐近线方程为y=-x.【解析】【分析】24椭圆:三+匚=1的焦点为(5,0)和(5,0),可得c=5,根据双曲线。与椭圆 49 24Y2 V2 c 5:L+匕=1有公共的焦点,可得双曲线C的离心率为e=一,即可求得答案.49 24 a 4【详解】2 2椭圆E:工+匕=1的焦点为(-5,0)和(5,0),49 24c=5,c 5双曲线。的离心率为e=-=一，a 4a=4,b=3,;双曲线。的焦点在无轴上，2 2 3双曲线。的方程为二-匕=1,渐近线方程为j=-x.16 9 4【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程及其渐近线方程,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2 2例20.斗 鸟为双曲线二-4=l(a0,60)的左、右两焦点，过用作垂直于1轴的直线 a b交双曲线与点尸且/产片月=30,求双曲线的渐近线方程.【答案】y=V2x【解析】【分析】设产月=加，在出;军工中，根据/尸耳=30,可以求出产片、片月的长，根据双曲线 的定义可以求出2。=根，求出离心率，利用c=行二庐，可以求出以6之间的关系，最 后求出双曲线的渐近线方程.【详解】设产耳=加，所以尸耳=2加，F1F2=2c=43m,由双曲线定义可知：25PF-PF2=2a=m；.e=-=y/3：.e2=3=可=1+1.勺=2 2a a2 a2 a2：.-=42,所以双曲线的渐近线方程为y=a【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力.题型十一：双曲线定值问题例2L已知。为坐标原点，尸是抛物线C：-=4丁的焦点，是抛物线。上位于第一象限内的任意一点，过，F,。三点的圆的圆心为。.（1）是否存在过点尸，斜率为左的直线/，使得抛物线。上存在两点关于直线/对称？若 存在，求出左的范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在点，使得直线。与抛物线。相切于点？若存在，求出点M的坐标;若不存在，说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，M（2后,2）【解析】【分析】（1）.先假设存在，设直线/的方程为y=履+1,若A,B两点关于直线/对称，则直线A B的方程为丁=-！+机，联立直线AB与抛物线方程，求A,B两点的中点N,再将N带入直 k线1中，在判断是否能求出k的范围；（2）.将抛物线化为二次函数形：y=,利用导数的几何意义，求得切线MQ,4结合Q点的宗坐标值，求得Q的横坐标；最后根据两西=0,列出关于关于M点 横坐标x的方程，并求解即可。【详解】（1）假设存在，设直线/的方程为丁=依+1,关于直线/对称的两点乂），8（X2，%），由题意知左W。，所以直线的方程为V=-+加，26联立1V=X+772.)4k 消了可得：/+%-4加=0,2 A k=4y,16A=7+16m 0(X),k2.4 4所以 +/=，必+2=7+2m，k k2 2所以4,8中点N(,7+加)，由题意N在直线/上,k k2 2所以r+加=-1,即加=-1-,k k代入（X）式可得：-1-匕0,即公0,b0,c0,。为双曲线上的一个动 点.27(1)设。点的横坐标为天,用/来表示P片的值;(2)作AP片乙的内切。，且圆心坐标为。(叫及)，求证：加为定值;Cx0+a.xQ a【答案】(1)PFx=a；c,Xq ci,a又因为/e(-*一aUa,+8),所以P=Xq _ a)Xq W-a、a(2)28设点P在右支上，如图所示，由双曲线的定义可知归耳|尸与卜2a,又因为|尸川二|尸川，|尸片上出闸，阳风=园闾，所以闺 所以（c+加）一（c-tn）=2a,解得 m=a,同理点P在右左支上m=-a【点睛】本题考查双曲线的定义，需熟记“，b,c之间的关系，理解双曲线的定义.走进iWj考一、单选题1,2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标II）Y2 V2设。为坐标原点，直线x=a与双曲线C:-y-看=1仅08 0）的两条渐近线分别交于 a h两点，若8的面积为8,则。的焦距的最小值为（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】【分析】2 2 E因为。：5一2=1伍力），可得双曲线的渐近线方程是y=-x，与直线x=a联立 a b a 29方程求得。，E两点坐标，即可求得|。|,根据。的面积为8,可得ab值，根据x=a联立，bI ax=a联立 b，解得 0,60)a bh双曲线的渐近线方程是=Xa2 2.直线x=a与双曲线c：二一二=1仅 08 0)的两条渐近线分别交于D,E两点 a b不妨设。为在第一象限，E在第四象限x=a故。(a,6)x=aJ=-b故 E(a,b)|ED=2b。面积为：S 4OD E=ax2b=ab=82 2 双曲线 C:二=1(。0,60)a b 其焦距为2c=2a2+b2 2及茄=2诟=8当且仅当a=6=2应取等号.C的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等 式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算 能力，属于中档题.302,2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标HI）2 2设双曲线C：二与=1（0,0）的左、右焦点分别为K,F1,离心率为尸是 a b。上一点，且biP_LBP.若PBB的面积为4,则=（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】9=6，3=后7，根据双曲线的定义可得|产片|产用|二 2。，S PFF 叫1=4,即|P用忖尸2|=8,-FP1F2P,:PF PF=（2c,（|P|-PF21）2+2 PF,-PF2=4c2,即/5/+4=0,解得。=1,故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.3,2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标III）丫2已知双曲线。：y2=1,O为坐标原点，歹为。的右焦点，过户的直线与。的两 3,条渐近线的交点分别为V、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A.|B.3 C.2百 D.4【答案】B【解析】【分析】【详解】31分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到/FON=36，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为60或120,根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60，利用点斜 式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得(3,e),阳|,-孝)，利用 两点间距离公式求得|AW|的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为立，且右焦点为尸(2,0),3从而得到ZFON=30，所以直线MN的倾斜角为60或120,根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60,可以得出直线的方程为歹=6(-2),分别与两条渐近线y=且和y=一走工联立，3 3求得 M(3,a/3),所以|M 二 二3，故选 B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距 离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线 的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右 焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点 间距离公式求得结果.4,2018年全国普通高等学校招生统一考试理数(全国卷H)2 2双曲线1一4=1(400)的离心率为V3，则其渐近线方程为 a bA.y=+/2x B.y=+y/3x C.y=i-X D.y=-x【答案】A32【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.因为渐近线方程为=2%,所以渐近线方程为y=选A.af y2 y2 b点睛：已知双曲线方程J2V=l(q 0)求渐近线方程：二=0=y=3x.a Zr a b a5,20 18年全国卷HI理数高考试题2 2设耳，鸟是双曲线C:2一%=1(a 0,b0)的左、右焦点，。是坐标原点.过写作。的一条渐近线的垂线，垂足为尸.若归片卜庭|Q P|,则。的离心率为A.加 B.6 C.2 D.72【答案】B【解析】【分析】【详解】分析：由双曲线性质得到|尸阊=6,|PO|二 a然后在RQ POg和在Rt/W；鸟中利用余 弦定理可得.详解：由题可知|尸阊=可。阊=2.*.|PO|=a在 RtaPO与中，c osNPQ O二四=2OF2 C在 片月中,c os/PO=PFFPF _h2|0引闺闾b2+4(?(Cb 2 c 2=_ n c=3a c2b 2e=V333故选B.点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中 档题.6,2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）若双曲线C:二二=1（。0,60）的一条渐近线被圆（X 2+/=4所截得的弦 a h长为2,则C的离心率为（）A.2 B.73 C.V2 D.-3【答案】A【解析】2 2由几何关系可得，双曲线3=1（。，力。）的渐近线方程为乐土町=0，圆心（2,0）到渐近线距离为d=TFT=G，则点（2,0）到直线1+砂=。的距离为|2/)+(7x0|_ 2Z?yja2+b2 c即竺二）=3,整理可得。2=4片，双曲线的离心率e=J：=2.故选 c V aA.点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出a,c,代入公式6=二；只需要根据一个条件得到关 a于a,b,c的齐次式，结合=。2/转化为q,。的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或次转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.7,2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷3）已知双曲线C：（a0,b0）的一条渐近线方程为=且与椭圆L+匕=1有公共焦点，则C的方程为12 3342 2土-匕=14 52 2土-匕=15 4A.8B.c.D.2 2土-匕=14 3【答案】B【解析】由题意可得：-=,c=3,又/+=/,解得/=4,=5 a 2则。的方程为三-g二1.4 5本题选择B选项.8.2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标1卷)三-上二1已知方程er Mf 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则的取值范围是V3 V3A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在黑轴上，所以标+九+37n 2-n=4,解得力一因为方程用右一表示双曲线，所以匕一汽解得，九3,所以九的取值范围是(T 故选A.【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质，属于基础题.注意 双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.9,2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I)已知(%,/)是双曲线。：土_/=上的一点，F1,居是。的两个焦点，若 2MFcMF0,则比的取值范围是()35.2后 2a/2.n.273 2V3.（一亍7 r亍）【答案】A【解析】由题知片（6,0）,月（6,0），段-只=1，所以西丽=（一百一%,%）（0/,%）=芯+M3=3/10,解得,0 1,0-1,1 e1 2 2,贝g e0）的离心率为2,则。=优 3A.2 B.-C.-D.1【答案】D【解析】试题分析：由离心率e=f可得:。2=邙=22,解得：a=L考点：复数的运算18,2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新