2022年军队文职考试《数学1》备考手册.pdf

2022年军队文职考试数学1备考手册第一部分高等数学一、函数1、基本初等函数常函数，幕函数，指数函数，对数函数，三角函数与反三角函数称为基本初等函数.以下为儿个常见的基本初等函数的图像及性质：名称及表达式定义域图形(举例)特性常函数 y-b(-00,+o o)图像为平行于X轴的 一条直线塞函数随a而不 同，但在(0,+co)中 都有意义V61经过点(1,1);在第一象限内当a0 时，为增函数；当a 0,a w 1)(-00,+00)y=a,(0al)L1 I图象在x轴上方，过(0,1)点.当0a1时，为增函数第1页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册对数函数y=lo gx(a 0,a W1)(0,+co)1y=Ing.rl)y=logx(0il)图像在歹轴的右侧；过（1,0）点；当0。1时一,为减函数；当4 1时为增函数角函数正弦函数 y=sinx(-00,+o o)c3以2万为周期;奇函数，图形关于原点 对称；在两直线=1与=T 之间，即一iWsinxWl余弦函数y-co sx(-00,-1-00)y_J-以2万为周期;偶函数，图形关于N轴 对称；在两直线=1与=T之间,即-1 COSX 10-1L B 1/2.2、/2y=cn W（x）+g（x）+8,理/（加=皿理瑞=）.2、等价无穷小替换定理：设在时，。(%)伙工),则有：lim/(%)2(%)=lim/(x)/7(x),lim-=.1 口 Xf口 Xf口 a(x)Xf 口 p(x)第3页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册常见的等价无穷小公式：当X f0时一，x-sin x-arcsin%tan%arctan x ln(l+%)e*-11、(1+%)-1 ax,1-co s X 3、洛必达法则(1)设/(%),g(x)满足：1)Hm/(%)=lim g(%)=0 或 lim/(x)=lim g(x)=oo；xa xa xa xa2)/(x),g(x)在a的某去心邻域内可导且g(x)w 0；r fx)3)lim：二存在或为o o,X-g(X)一/(x)r fx)则有 lim 7=lim 7.x g(X)xia gZ(X)(2)设/(x),g(x)满足：1)lim/(%)=lim g(x)=0 或 lim/(%)=lim g(x)=co；Xf 8 Xf 8 Xf 8 XS2)存在一个正数X,当|x|X时有/(%),g(%)可导,且g(x)wO；r fx)3)hm一7厂存在或为8,Xf 8Xf 8 g(x)4、重要极限Qin x 1(1)lim=1,lim(l+x)；=ecinn 1重要极限的广义形式：lim =1,lim(l+uF=ef 0 f0 75、夹逼定理 第4页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册数列形式：若存在正整数N0,使得当N时，有”成立，并且lim xn=lim zn=a,则 lim yn=a-7200 00/700函数形式：若存在正数d,对于任意满足0|%-|5的%都有9(%)/(X)0,a w 1)y()=a、(lna)(3)y=sin%y()=sin(x+-)(4)y=co sxy()/n兀、=co s(x+(5)y=In xy()(6)y=y()=a(a-l).(tz-n+l)x”6、莱布尼茨公式设“(%)#(%)均有阶导数，则有：产=。：/)(%)俨一心(%).k=0【练习1】：已知函数丁=arcsin(x2),求y=()、2xX(B)-yJl-X4(C)2x2x(D)i-1 Xin,1VI-x4【答案】：(C).【练习2】：已知J=sin x,求严(0)二()(A)0(B)1(C)2(D)-2【答案】：(A).五、一元函数积分学第7页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册1、不定积分的基本性质设/1(x),g(x)均存在原函数，则(1)J/(%)+g(%)=J f(x)dx+j g(x)dx(2)k(x)dx=k1 f(x)dx人k e R,k W 0)；(3)(j f(x)dx)=f(x),dj f(x)dx=Jx)dx；(4)Fx)dx=F(x)+C,J(x)=F(x)+C.2、基本积分公式(1)Jxadx=彳x+i+C,(a w 一1),-dx=ln|x|+C,(2)f cixdx-.cix+C.f cxdx=e+C，J In。J(3)j co s xdx=sinx+C,j sin xdx=-co s x+C,(4)jsec2 xdx=tan x+C,j esc2 xdx=-co t x+C,(5)j sec x tan xdx=sec x+C,j esc%co t xdx=-esc x+C,(6)f dx=arctanx+C,(7)f J-dx=arcsmx+C=-arcco sx+C.(8)/1 dx=n x+J%-2+C,J yjx2+a2(9)f tanxdx=-ln|co sx|+C,f co txdx=ln|sinx|+C,(10)f secxdx=In|tan x+secx|+C,f escxdx=In|cscx-co t x|+C.3、三角代换常见使用方式:根式的形式所作换元三角形示意图第8页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册J 一/x=asin/XirJ-J/+/x=a tan taXx=a sect丁1J1 2 2x-aaJ4、分部积分法公式=uv-udv=-J vdu.5、定积分的性质rb rb f b(1)|f(x)dx=f(u)du=,i a J a J arb a(*a,b(2)f(x)dx=-Jx)dx,特例：f(x)dx=0,f(x)dx=0.J a J b J a J b(3)J/(x)+g(x)dx=f(x)dx+j g(x)dx,/b rb(4)f kf(x)dx=k f(x)dx,左为常数.J a J arb(5)dx=b-a.J arb re b(6)f(x)dx=f(u)du+f(t)dt.J a J a J c6、变上限积分计算导函数第9页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册(1)(J f=f(x),axb；(2)(j=-/(x),ax体.该立体的体积为：V=I 7lfx)dx.J a11、平面曲线的弧长X=(1)曲线方程用参数式表示：atb,该曲线段的弧长为:(2)曲线方程为显函数表示：y=f(xaxb,该曲线段的弧长为:s=J J1+俨(x)dx.(3)曲线方程为极坐标表示：r=pOaOb,该曲线段的弧长为：s=+2.12、旋转曲面的侧面积设在X轴上方有一条平面曲线L绕轴旋转得到一个旋转曲面x=x(Z)(1)若曲线方程由参数式表示：,atb,则该旋转曲面的面积为 y=y(t)s=2 d歹加+a24.(2)若曲线方程由显函数表示：y=f(xatb,则该旋转曲面的面积为第11页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册S=2万/(x)Jl+/(x)2 公.(3)若曲线方程由极坐标表示r二2),。夕6,则该旋转曲面的面积为S=2 乃夕(夕)sin ej,2(e)+|y(肛 2。.【练习1】：,yux+si/x,%=0,%=所围成的平面图形的面积为()/、乃，、1(A)(B)F 712 2(C)-71(D)2【答案】：(A).3【练习2】：丁=。所围成的平面图形的面积为()a+x2(C)nee【答案】：(C).(D)冗2 2【练习3：二+与=/b21(4。/0)绕1轴旋转所成旋转体的体积为(4(A)7iab 34 9(B)Kerb 3(C)1671ab(D)71【答案】：(A).六、多元函数微积分1、二元函数导数的四则运算法则设/(%/)，g(xj)的偏导数均存在，则有(af(%,y)+bg(x,y)=a 了)+b 电了),a,beR,ox ox cyS，/、/、次%/)，/、电(1/)/(羽 y)g(x,J)=g(x,y),:-+/(%,y)至7-，OX OX OX第12页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册3/(%/)&|_g(x,歹)g(2)竿_Ox o xgx,y)g(x,y)w0.2、二重积分的常见性质 1)设名/为任意实数，则有JJ y)+力 g(%,y)dxdy=a JJ/(x,y)dxdy+/JJ g(x,y)dxdy DDD2)dxdy=Aj其中/为区域。的面积.D3)设。可分为Q与2,则有公砂=JJ/(XJ)公砂+JJ/(x，y)公办.D 4 d24)如果在。上恒有了(%)g(%/)成立，则有 力*JJg(x,y)dx力.D D【练习11：计算J12Mb=(D),其中。是由y=v=x所围成.(A)一1(B)215(C)-8【答案】：34(D)(B).七、微分方程1、可分离变量方程1)定义形如_/=/(x)g(y)的方程称为可分离变量方程.2)解法将y=/(x)g3)整理得y=f(x)dx,对该方程的两端求不定积分 g(y)系J=J f(x)dx就得到微分方程的通解.2、齐次方程第13页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册1)定义形如半=02的方程称为齐次方程.ax x J2)解法令=2,则歹二打，由一元函数微分学的知识可知，dy=xdu+udx(或 xdy du du du dx=X+U)代入原方程可得+w=03),整理得一 ,这样我们dx dx dx(p(u)-u x就将原方程化成了可分离变量方程，求解该方程得到未知函数”，再由y二找就可以得到未知函数V.3、一阶线性微分方程1)定义一阶线性微分方程的标准式：y-+p(x)y=Q(x).dx2)通解公式：尸 e J，。.4、伯努利方程1)定义一阶微分方程+p(x)歹=q(x)ya,(a W 0,1)称为伯努利方程.这种方程可以通过变量代换化为一阶线性微分方程.2)解法在方程两端同时除以得必3+二(幻，令2=一可得z+p(x)z=式X),将原方程化为一阶线性微分方程.1-a5、可降阶的高阶微分方程1)/=/(%/)型的方程第14页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册作变量代换夕=了，则有 0,令=d，则有dy _ dy dt _t dy-=e,dx dt dx dt=4 L-=&L-=F/dy e_,=e_2l _ 2/dy_ dx2 dx|_ dt J dt|_ dt dx dt2 dt dt2 dt以此类推，将这些关系代回就可以将原方程化为常系数线性微分方程.同理，当x+b n=n=l n=收敛+收敛=收敛；收敛+发散=发散；发散+发散=?00 CO 8(2)如果级数”收敛于力，则w=l n=1(3)去掉、增加或改变级数中的有限项不影响级数的收敛性.00(4)如果级数Z%收敛，则在级数中任意加括号后所得级数仍然收敛，且其和不变.W=100(5)如果级数收敛，则lim%=0./?00n=2、比较审敛法00 8设Z%与Z匕都是正项级数，如果除了有限项以外，都有耳之匕,成立，则/7=1 n=l00 002孙收敛二乞为收敛n=n=00 00Z匕发散发散、n=n=3、比值审敛法(达朗贝尔审敛法)第16页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册 1 n级数收敛00设是正项级数，则=n级数发散.7T7”-8 un =1 n不确定4、根值审敛法（柯西审敛法）O0设Z%是正项级数，77=11=1n级数收敛 n级数发散.=不确定5、交错级数的莱布尼兹定理00定理：如果交错级数满足如下条件:n=a.孙 训山(=1,2,3);b.股=0；00则级数Z（T）“收敛.n=00 njv【练习11：常数项级数anI（）占 3（A）收敛（B）发散（C）绝对收敛（D）无法判断【答案】：（B）.co on【练习2】：常数项级数Z（-1）右（）n=（A）收敛（B）发散（C）条件收敛（D）无法判断【答案】：（A）.【练习3】：常数项级数（1）ln l+J（）（A）条件收敛（B）发散（C）绝对收敛【答案】：（A）.(D)无法判断第17页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册【练习4】：常数项级数匚乙（）=1 n（A）条件收敛（B）发散（C）绝对收敛（D）无法判断【答案】：（A）.第二部分线性代数一、行列式1、基本性质性质一：将行列式的行和列互换后，行列式的值不变.性质二：将行列式的任意两行（或两列）互换位置后，行列式改变符号.推论1：如果行列式有两行（或两列）相同，则行列式的值为0.性质三：将行列式的某一行（或某一列）乘以一个常数左后，行列式的值变为原来的左 倍.推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）全为0,则行列式的值等于0.推论3：如果一个行列式的某两行（或某两列）元素对应成比例，则行列式的值等于0.性质四：如果行列式某一行（或某一列）的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行 列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（或列）分别对应两组加数，其 余行（或列）与原行列式相同.推论4：将行列式的一行（或列）的左倍加到另一行（或另一列）上，行列式的值不变.2、低阶行列式的计算公式a b=ad-be-c dci-y a?3瓦 b2 2c3+a力3cl+a3ble?-a3b2cl-a,bq-a&c?.C C1 33、上（下）三角行列式第18页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册 12,1 au 0.00。22.2。21 22 0一。11%2 0 annan an2 anna,a,n-aXn0.0%”。21,0=0.,a2,n-la2n(一 1)=(-1)2 ana2,n-anan,.00an,n-L nann4、范德蒙行列式1a1 a：1a2a；1。3.12111ax a2 a32ax2 a22。3.a/.a：】.=n(%-ali j/=O或6=0；AB=AC,A手O B=C.3)方幕AnAm=Am+n，(H)二4叫4、常用公式(1)设45为阶方阵，且左为一常数，则有=切|=-同,卜6|=|川忸|.A(2)O=闻忸,C B OA O AB=(-1)”司见CBAOB其中分别为7阶，阶方阵.此公式又称为拉普拉斯展开定理.5、逆矩阵的基本性质性质一：若力可逆，则力T唯一.性质二：若z可逆，则才加均可逆，且(才|尸=4(/尸=(4尸.性质三：若46为同阶可逆矩阵，则46可逆，且性质四：若力可逆且上wo,则可逆，且(心尸二左一，第21页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册A OO BAO性质五：若4 6均可逆，则均可逆且Ax OO B1性质六：若Z可逆,则同31=1.O BA OOB 14TOO BA OOB6、矩阵的初等变换(1)交换矩阵的两行(列)；(2)将一个非零数左乘到矩阵的某一行(列)；(3)将矩阵的某一行(列)的左倍加到另一行(列)上.7、初等矩阵(1)交换单位矩阵的第，行和第，行得到的初等矩阵记作g/,该矩阵也可以看做交换 单位矩阵的第，列和第j列得到的.(2)将一个非零数上乘到单位矩阵的第，行得到的初等矩阵记作笈(左)，该矩阵也可 以看做将单位矩阵第i列乘以非零数人得到的.(3)将单位矩阵的第，行的左倍加到第，行上得到的初等矩阵记作方式左)，该矩阵也可 以看做将单位矩阵的第j列的左倍加到第i列上得到的.12.”【练习1：设。=也也，J，并假设必，=.，_1 2.n_ 则a%=().。n(n+V(A)n(B)/(C)-(D)n2【答案】(C).-1 2 3一【练习2】：设Z=2 4 6,则二()3 6 9第22页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册(A)A(B)IKA【答案】：(B)(71 0 0/)10 a2 b2 0【练习3：求&4 b4 0 0 a4(A)0(C)(Q/一。2。3)(4d-b2b3)【答案】(D).(C)nA(D)6-，()(B)(她-q%)(%。3 一她)(D)(Q。4 她)(。2。3 一她)二、向量的线性相关与线性表出1、常用公式定理(1)向量组,%，a机线性相关当且仅当%，中至少有一个向量是其余-1个向量的线性组合.(2)若向量组。加线性相关，则向量组如%,4,也线性相关.(3)若向量组a机线性无关，则向量组1,%，”的延伸组也线性无关.(4)已知向量组线性无关，且向量组,%，氏,，/线性相关，则仅可 以由向量组,%，a,”线性表出.(5)阶梯型向量组线性无关.(6)若向量组1,4可以由向量组方，夕2，力线性表出，且%，,4线性 无关，则有(7)+1个维向量必然线性相关.2、向量组的秩1)r(A)=r(AT)=r(kAk0.2)设，为加X”矩阵，则力)4min%*设%，an均为加维向量，则,里，)minm,n.第23页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册3)如果向量组a,%，%可以由向量组笈，62,，色线性表出，则设46分别为加x 和 x左矩阵，则45)min(4)/(5)推论L乘以可逆矩阵不改变秩;推论2：若45均为加x 矩阵,推论3：等价的向量组秩相同；推论4：设46均为加x 矩阵,则4=3当且仅当)=5)；则 r(A+B)厂(Z)+r(B).4)设45分别为加x”和“x左矩阵，若/6=0,则力)+5)人n,r(A)=n推论：设力为阶方阵，则4*)=1,力)=-1.0/(N)77-15)r(/i)=r(AAr)=r(ArA).1 2 3 0 1 0 0【练习1：已知阶矩阵力=0 0 1 0,则秩力)=_0 0 0 1(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】(A).-1 23一【练习2】：已知2=2 4t,P为3阶非零矩阵,且满足尸2=0,则(3 69(A)当=6时，尸的秩必为1(B)当/=6时，P的秩必为2)(C)当时，尸的秩必为1(D)当时，P的秩必为2【答案】：(C).(3)4*的秩abb【练习3】：设/=b a b,厂(4*)=1,则()b b a第24页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册(A)a=-2b(B)a=b(C)。=一26且。6(D)。=6且。=一26【答案】：(C).四、线性方程组(解的判定)1、解的存在性定理：设4=3，%,%)，其中/,火，a为力的列向量，则线性方程组力亲二力 有解=向量能由向量组q,%，氏线性表出；o rax,a2,.,an)=rax,a2,an,b)；r(A)=r(A,b)。2、解的唯一性定理：当线性方程组力*=力有解时，Zx=5的解不唯一(有无穷多解)o线性方程组的导出组4r=0有非零解；O向量组%,火，an线性相关；;rA)n o2%-x2+x3=1【练习1】：已知线性方程组A=同；(5)/5=二厂(6)；(6)A-BXE-A=XE-B,也即相似的矩阵具有相同的特征值；第26页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册0 0 1【练习2】：设Z=2%1 3y1 0 0有三个线性无关的特征向量，则%和歹应满足的关系（)(A)%+歹=0(B)%+2y=0(C)x+3y=0(D)2%+3y=0【答案】（D）.六、二次型1、合同的常见性质i)A=B n 4=B；ii)4=8且矩阵Z可逆n A-B;iii)A-B r(A)=r(B).2、矩阵正定的判定方法定理L设/为实对称矩阵，元实二次型/（国）=x7/x正定。对任意非零的及维列向量,xTAx0-=A的正惯性指数为；0A的特征值全大于零；=A的合同规范形为；=存在可逆矩阵尸使得力=PTP；=A的所有顺序主子式全大于零.【练习1】：设二次型/（再,%2，%3）=2%；+岩+甘+2匹%2+比2%3正定，则色的取值范 围是（）（A）ty/2（B）t-y/2（C）-41 t 42（D）t2【答案】：（C）.第三部分概率统计一、随机变量及其分布1、常见的离散型随机变量第27页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册(1)二项分布若随机变量X的概率分布为尸X=储=C：pk(l-pk,k=o,l,其中参数P满足0P1,则称随机变量X服从参数为5,P)的二项分布，并记X(2)几何分布若随机变量X的概率分布为PX=%=(1-p)ip,k=、2，其中参数满足 0p0,则称随 机变量X服从参数为4的泊松分布，并记X尸(4).2、常见的连续型随机变量(1)均匀分布1,若随机变量X的概率密度为/(%)=/?-a,则称X服从区间(见力)上的其它均匀分布，记为XU(a,b).(2)指数分布若随机变量X的概率密度为/(%)=0,其中参数40,则称X服从参x 0,则称X服从正态分布，记为XNQi,。?).特别地，将N(0,l)称为标准正态分布，其概率密度和分布函数分别记作第28页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册1 ,X 1 一(px=,e 2 与(x)=；=e 2 dt.yj2/l j 42兀【练习1】假设X尸(4),4尸X=2=尸XW1,则PX=3=()(A)(B)(C)(D)e 2e 3e 6e【答案】：(D).【练习2】：设随机变量X。(0,6),则方程*+8+1=0有实根的概率为()2(A)一3(B)2(C)13(D)4【答案1(A).【练习3】：设随机变量则=()(A)(B)(C)11(D)e2e3e6e【答案】：(A).二、数字特征1、常见分布的数字特征0 1分布：若X服从0 1分布，则E(X)=p；O(X)=p(l 夕).二项分布：若 X B(%p),则(X)=p；D(X)=np(l-p).1 1 n几何分布：若 X G(p),则(X)=；Z)(X)=.P P泊松分布：若X。(，贝1J(X)=4；ZXX)=/L均匀分布：若 X U(a,b),则(丫)=审；Z)(X)=S；)一.指数分布：若X石(4),则(X)=；Q(X)=*.正态分布：若 X NQid),则(X)=4；D(X)=O-2.2、常用性质第29页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册1)E(c)=c,Z)(c)=0,Cov(X,c)=0；2)E(cX)=c(X),D(cX)=c2D(X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)；3)(X+y)=(X)+E(y),D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y),Cov(X,Y+Z)=Cov(X,Y)+Cov(X,Z)；4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X)；5)若x,y相互独立，则(xy)=(x)(y),Cov(x,y)=o,D(X+Y)=D(X)+D(Y).【练习1】：设随机变量X服从指数分布(%)(40),则(X)=()(A)(B)-(C)(D)74%4%【答案】(A).卜上 r0 1-o 2,A x U【练习2】：已知随机变量X的概率密度为/(%)=/e 2a，则随机变量一0,x0,有 则口风“=0,则称随机变量序列X”依概率收敛于4,记作XJf.2.切比雪夫大数定律设耳,工,X，相互独立，且具有相同的数学期望(X)=,D(x)有上界，则有x=Zx*依概率收敛于，即了上*=13.辛钦大数定律设乂,工,A；,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望E(XJ=/=1,2,)，则有X=ZX*依概率收敛于4,即了2.k=4.伯努利大数定律设巴是重伯努利试验中事件A发生的次数，每次试验中事件A发生的Yl ri p概率为P,则有工依概率收敛于p,即2一L-p.n n第31页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册注：要注意对比每个大数定律的条件和结论，辛钦大数定律和切比雪夫大数定律一 1 都要求式,入2,，X”,相互独立且(X)=，结论都是X=XX,依概率收敛于期望.所不同的是辛钦大数定律还要求,X”,同分布，而切比雪夫大数定律不要求同分布，但要求入,入2，一.，%/一的方差有公共的上界.通过将二项分布 分解为个独立同分布的0-1分布之和，我们可以发现伯努利大数定律可以同时看做 辛钦大数定律和切比雪夫大数定律的特殊形式.3)中心极限定理设式,入2,X”,相互独立，服从同一分布，具有数学期望和方差,E(XJ=,Q(XD=cr2o,(4=1,2,)，则随机变量之和k的标准变化 k=n(n nfXk-w量工=2 i J一旦丁的分布函数/(%)对任意的满足lim Fn(x)=lim P =.注：中心极限定理可以帮助我们处理分布未知的随机变量，只要趋近于无穷大，那 么随机变量序列的和的形式就近似地服从某正态分布，其中正态分布的参数通过数字 特征的相关公式和性质计算可得，再借助正态分布的标准化或对称性计算概率即可.4、样本及抽样分布第32页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册1)简单随机样本在数理统计中，我们往往研究有关对象的某一项数量指标.为此，考虑与这 一数量指标相联系的随机试验，对这一数量指标进行试验或观察，随机试验中所 有可能的结果称为总体；每一个可能的观察值称之为个体；总体中所含有个体的 总数称之为总体的容量.下面介绍在数理统计中经常出现的一个概念.简单随机样本：设X是具有分布函数b(x)的随机变量，工,工产,%,是具有同一分布函数的相互独立的随机变量，则称工,入2,X”为从分布函数月(%)得到的容量为n的简单随机样本，简称样本，它们的观察值玉,马，、称 为样本值，又称为X的个独立的观察值.2)统计量定义设工,乜,X”是来自总体X的一个样本，g(X,X2,X)是工,工,的函数，若g中不含未知参数，则称g(X1,X2,X”)是工,入2,X”的一个统计量.常用的统计量一 1 样本均值：x=-Yxi.,；=i1 n _ 1 C n _样本方差：相=一 x,-xY=7 s；刀；一1M TIM)第33页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册样本标准差：s=Jy（xz-J）2；1 M注：样本均值和样本方差是数理统计中最重要也是最常考的两个统计量，我们需要牢 记其定义形式.样本左阶原点矩：4=Zx：#=l,2,；n/=i1 n _样本左阶中心矩：Bk=y(Xj-X)k,k=2,3,-.,=1一 1 n特殊地，样本一阶原点矩即为样本均值，即4=x=Zx,我们后面要讲到的参 n,-=1数估计中的矩估计法就是使用的这个形式的样本矩.统计量的常用性质设，工,是来自总体X的一个简单随机样本，同时设,反,S2是样本均值和样本方差，则总有E(X)=jU,D(X)=,E(S2)=(.n3）抽样分布/2分布设入户工,工是来自总体N（0,l）的样本，则称统计量/2=X：+X；+X；服从自由度为的42分布，记为彳2/2（）.第34页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册注：/分布满足如下性质（1）设力：/（），竭力2（%）,且y2,若相互独立，则有Z12+/22（+2）；（2）若疗,2（）,则有（力2）=,。（/2）=2.，分布X设xn（o,i）,y/（），且x,y相互独立，则称随机变量，二 7丫/n服从自由度为的，分布，记为，（）.F分布设。7（勺），%/（%）,且相互独立，则称随机变量尸二访）服从自由度为（,2）的F分布，记为尸尸（勺,2）注：设随机变量厂厂（利,），则,/（,加）.F5、参数估计1）矩估计法原理一 1 n一般来说，总体X的期望石（X）是待估参数的函数.基于样本矩x=x依 n/=i 第35页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册概率收敛于相应的总体矩石（X），样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连 续函数，我们就用样本矩作为相应总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应 总体矩的连续函数的估计量，这种估计方法称为矩估计法.步骤矩估计法一般常用的做法是样本均值代替总体期望.矩估计法的解题过程：1）计算总体的期望E（x），一般来说，（X）是待估参数。的函数，也即E（X）=g（e）；2）从等式（x）=g（e）中反解出e：e=g-i（x）；_ 1 n3）用样本均值x=弋替E（X）,即可得到参数。的矩估计量：0=g-xy n i=l2）最大似然估计法原理设总体x属于离散型，其分布律为Px=x=（x；e）,其中夕为待估参 数.设乂,乜,X”是总体的一个样本，则工工,的联合分布律为口夕（玉;6）.又设4%,Z是样本工,工,X的一个样本值，则易知样/=1本 式,入2,X 取到观察值用,工2,，毛的概率为L（e）=（再,2/一，；8）=II0（%；8），L（e）称为样本的似然函数.Z=1一个容易理解的想法是，既然式,工,X.取到了观察值%,吃,，/，第36页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册那么这个事件发生的概率应该会比较大.因此，自然地，我们应该寻找使似然函 数L(e)达到最大值的。.抽象成数学模型就是取。使得 区,、2,，演;G)=m产.这样得到的。=衩再,2,工)称为e的最大似然估计值，相应的统计量。=0(X|,X2,X”)称为夕的最大似 然估计量.如果总体x属于连续型，其概率密度为/(%/)，则我们只需将上文中的似然函数(。)改为(。)=区,马，；)=II/(项；)即可.Z=1在大多数情况下，(9)是可导的.因此，由微积分相应的知识可知，我们只需求解方程当粤=0即可.又由于ln(9)与L(6)在同一处取到极值，为了 dO方便求导，很多时候往往转而求解方程n L=o.ae最大似然估计法的计算步骤：1)写出样本似然函数，即样本的联合分布，对于离散型随机变量，其样本似然函数为：nL(8)=PXx=斗,X,=%,X=%=口 PXi=%；Z=1对于连续型随机变量，其样本似然函数为：*9)=百/(专6)；Z=12)若似然函数存在驻点，可通过求导得到似然函数的最大值，即由也2=0,求解 de出。的估计值)；第37页，共38页2022年军队文职考试数学1备考手册3）若似然函数不存在驻点，即竺”0或竺竺0,则可利用似然函数的单调性 d3 d3得到未知参数的取值.第38页，共38页