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高等数学-函数、极限、延续1函数(1)函数的定义注意：仅当两个函数的对应规律和定义域均相同时,它们才是同一函数。例：/(%)=e比，与g(x)=x不是同一函数。(2)函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。(3)反函数(4)初等函数：由常数函数和基本初等函数经过有限次 四则运算和函数复合构成的函数。注意：熟练地将初等函数拆成若干个常数函数和 基本初等函数的四则运算或函数复合。2极限1）数列极限：lim x,二4性质：若教列收敛，则必有界，反之不一定成立。2）函数极限（1）当工78时，/（工）的极限：lim f（x）=Ax-00lim f（x）=A o lim/二 lim/二 A 14+8 XT-0（2）当工-m时，/（i）的极限：lim/（工）二/2/lim f（X）=A o lim f（x）=lim/二 41 X-Xq3）无穷小与无穷大（1）无穷小与无穷大的定义（2）无穷小的比较：设lim a（X）二0,lim夕（工）二0.若lim优（）二0,称a是比夕（工）高阶的无穷小，记作a（工）二o（夕（工）卜 P若lim 二3,称。是比少低阶的无穷小；P若lim 二c（c工0）,称。与夕为同阶无穷小；B特利也，若C二1,称a与夕（X）是等价无穷小，记作。Mx）.(3)等价无穷小代换定理若a a,夕；且l im夕一存在，则有：l im匕=l im.a a a几个常用的等价无穷小：)0时，sin x x,ta n x x,a rc sin x x,a rc ta n x x,l n(l+x)x,/_L cx-1 X,1-C 0 S X,a/1+x-1 X.2 n4)函教极限的四则运算法则5)两个重要极限 sin x 1l im-二 I;2 xl im(I+x)x=e工306)一个重要结论“0 x+bin00,n m.7)几种常用的求极限的方法(1)利用两个重要极限求极限(2)利用无有小的性质“无穷小与有界 函数的乘积是无有小”求极限(3)利用等价无有小代换求极限(4)利用洛必达法则求极酶加 x(ev-1)x2 1例 1 l im-=l im =1l n(l+x2)a。/(例 2 l im-二 hm 彳一二一。x ta n x 2。x 22例3 l im(工sin +sin2x)不存在X f co XY 2因为:l im x sin =l im x =2,l im sin 2x 不存在Y XT 00穷小与有界函数乘积是无穷小”性质)(1 Vl im 1+XT 0 2 X GO例 4 l im x sin =0(利用无 x 00 丫,3连续1)函数/(1)在点/连续的定义：l im/(x)=/(x0)go/在点 与连续 o l im+f(x)=l im f(x)=f(x0)X-X p X TS2)函数的间断点及其分类(1)点/为尤)的间断点(不连续点)：若满足下述三条中的任何一条：a)/(工)在点/没定义；b)l im/不存在;c)l im/(x)w/(x0).x-x0(2)间断点分类：第一类间断点：若l im*/(1)和l im/(l)均存在，称间断点/为/(X)的第一类间断点 X-Xq I p特别地，若l im/(x)存在，称间断点与为可去间断点。x-x0第二类间断点：不是第一类间断点的间断点。特别地，若l im/(x)=o o,称间断点/为无穷型间断点。x-x03)初等函数在其定义区间内是连续的。4)闭区间上连续函数的性质(1)有界性定理(2)最值定理(3)介值定理(4)零值点定理4m/、r+即 o x 1.要使/(%)在X=1处连续，则=?解：l im f(x)=l im(-+)=2+,%1%1 X+1l im/(x)=l imk(x-1)+3=3,/(I)=2+,X-1+Xfl+2+q=3,x 4,例2/(、)=0,的连续区间是：(-00,0)U(0,+8)x 0 x 0例4%=0是4%)=：的何种类型间断点?ex+12角轧 l imi=-l,x-0-ex+l2 _2 ex-1 1-e x 1 l im；=l im-=Lx-0+-x-0+ex+1 l+e x.x=0封)的第一类间断点中的啰趺型间断点。例5方程r-sin%-1=0在下列区间中至少有一根的区间是：B(A)(8,0)(B)(0,乃)(C)(肛4)(D)(4,y)-单元函数微分学1导数与微分1)导数的定义：f M=Km、)-/(/)=li mAXT。Ax XTO X-Xo尸(x)存在 o 草x)=(x)2)导数的几何意义：/(%)表示曲线/=/在点(/,/)处切线的斜率。3)可导与连续的关系：可导二连续，反之不一定成立巳寸巳寸求求S-r s rAn巳寸X=X=yX=V7-XyXn-rX巳寸求3求X/n=S-$AU-X/|1V7目求X为中=AU=XV7XFF可巳寸X求对边=X=为ffiMSMS的的rsiI占小4巳寸可类复-XF旦里=XO方5V/分=AZU/1!7445)4-F CL例1设/(%)=x+1+%0“1解：/(x)在l im(%-广x4=1处可导，/(x)在x=l处连续,X+1+q)=l im 左(x 1)+3=/(I),即：2+q=3,则 q=l Xf1+又由/(X)在X=1处可导，则/W,/=l im4+1 _ 3“I=hm 2(1-刈(1)=W贝I左二一 1.x 左(1 1)+3 3x 1X-1(X-1)(%+1)=1,二k.例2由方程y二a rc ta n(x+y)所确定的隐函数y(x)的导数解：心 1+(工+,)2(1+得y二1(工+疔例3曲线L:S14在：土相应点处的切线方程为：Dy-c o s 2 4(A)2+y-3=0(B)-2勿+广2=0(C)2a/Tx-j-3=0(D)2瓜+,-2=0解：与 ,=2si n2/|.=-2,/=?对应点为(W，0),at 丁 c o st/=丁 4 2切线方程：丁二-2a/T(x 即：2 JT x+y-2=0硼曲得，则L是c1 1(A)2dx(B)2dx(Q dx(p)dx例5谩f(x)在品=/o处可导，耳英)=2求l imAr-O/(%+淘一/(%Av)Av角的 出口)3+一/H N AQ/GJAv-O=W)=4Av2微分中值定理1)罗尔定理若/在上连续,在 则在(“M内至少存在一点2)拉格朗日中值定理若/(工)在，以上连络在(,6)内可导，且/()二/3),，使得:/(4)=0.(,6)内可导，则在(,6)内至少存在一点，使得：/睛)二b-a3)洛必达法则简略地讲，l im 幺立二l img g 注意：仅适用于 土及巴型未定式，对于0,o o型，00-00型0 00以及0 ,1 00,00。型标式，必须先通过 变形化成-000型或一型未定式，再运用洛必00达法则。例1在下列函数中，在指定区间上满足拉格 朗日定理条件的是：D(A)/)二卜一1|(0 x 3)(B)/(x)-2+|x|(-1 x l)(C)/(0 x 1)(D)/(x)=4x3-5x2+x-2(0 xi Lx.I n x V.si n 2 xli m tan.y I n x li m li m：li m-例5 l im 朋、=l im e-二 e=自+、=小”二夕,“、二 e 二 1 10+o+3导致应用1)函数的单调性与极值(1)极值嫌疑点：驻点(导数为零的点)及导数不存在的点。(2)单调区间的求法：极值嫌疑点将/的定义域分成若干子区 间，判断/在每个子区间的符号，若为正，则该子区间为单增区间 0否则，为单减区间。(3)极值点的求法：第一充分条件：若在极值嫌疑、。的两侧，/变号，则/为极值点。若由正变负，则工。为极大值点；若由负变正，则工。为极小值点。若在极值嫌疑点、。的两侧，广不变号，则工。不是极值点。该充分条件适用于所有 极值嫌疑点的判肌第二充分条件:若/(/)w 0,则/为极值点/(/)0,则仆为极小值点；若/(一)。+的垂直渐近线。4）闭区间,们上连续的函数/（X）的最值：求出色/）内/（X）的所有极值嫌疑点，比 较极值嫌疑点及端点处 函数值的大小,其中最大者为函数的最 大值，最小者为函数的 最小值。5）弧微分曲线V=/（X）的弧微分：ds=J1+j/2 dx曲线（x 的弧微分：杰二，2+俨/y=例1下列命题正确的是：D(A)单调函数的导数必为单 调函数(B)设厂()为单调函数，则“X)也是单调函数(C)设/(、)在()内只有一个驻点 则/必为/(%)的极值点(D)设/*)在()内可导,且有一个极值 点x0,则/Vo)=0例2关于函数/二y%(io-%),正确的结论是：c(A)没有极值(C)只有一个极值，且是极大值(B)只有一个极值，且是极小值(D)有多于一个极值解：:，10-2xV%2(10-x)2极值嫌疑点：%!=0,x2=5,x3=10,X G(-00,0),/0;X G(0,5),尸0;x e(5,10),/x)0;x g(10,+c o),/(%)0;V TX e(-,0),0；I E(0,H 0；I E(),y”0,i：(-且2 2例4鲍尸-藕与水平渐近线x+x-2的繇教九 C(4)1 2(C)3(D)4解：y 二 _-_ 二 _-_x i x-2(x+2)(x-1)eA exlim-二 co,lim-二 oo,3-2 厂+i-2-r 41 x-+x-2:垂直渐近绦 工二-2,x=1.X X XH r e r e r e乂 lim-=hm-=hm =+a),14 w x-+x-2 位 2 工+1,4+*2elim-二 0,x x+x-2:水平渐近绦 尸0._ 1 y7_ _侈区 函9K)=a sira c+siif tvif e=w攵b t;iWL:/zK4(4)-2(B)2(Q|V3-V3角率 iTQc)=ac ojst+c o 3x;=Q BP d zc。器+c o sr=Q:a=2三单元函数积分学1不定积分1）不定积分的概念（1）原函数：若/（X）=/（X）,则称一（%）为/（%）的一个原函数。（2）不定积分：/（X）的全体原函数称为/（X）的不定积分。j/（x）6/x=F（x）+C2)积分法(1)第一换元积分法(凑微分法)(2)第二换兀积分法：x二(/)、f dx 二 j 山二尸+C 二/(夕一|(尤)+C其中，尸注意：三角换元的应用，a/x2+a2 dx,令x=a ta n f;j yja2-x2 dx,令尤二“sin/;j a/x2-a2dx,令不=“sec/.(3)分部积分法：w(x)t/v(x)=i/(x)v(x)-jv(x)6?w(x)注意:xnexdx-xndex,x c o s xdx-xnd sin x,J J J J/+1/+1xn In xdx-In xd-,xn a rc sin xdx-a rc sin xd-,J J +1 J n+1ec o sx d”两次分部积分解方程，两次要拿同样的函数。例1下列公式中不正确的是：A(A)dI f(x)dx=f(x)d j f x)dx=df(x)(C)j/a粒=/+C(D)j#(x)=/(x)+C例2下列各式中正确的是：A(A)f ff(3-2x)dx=-f(3-2x)+C(B)j ff(3-2x)dx=-f(3-2x)+C(C)j ff(3-2x)dx=f(3-2x)+C(D)j ff(3-2x)dx=-f(3-2x)+C例 3 若/(sin 2 x)=ta n 2 x(0 x 1),则/(%)是：B(A)一1+C(0 x l)-l n(l-x)-x-C(0 x l)1-x(C)l n(l-x)-x+C(0 x 1)(D)-In x-x+C(0 x 1)解：广融2%)二产工，即：/5=41-sm x 1-t/(/)二 j,d f=(一1+上)由二 +CJ It J 1 一例4设叱是/（、）的原函数，则 xj xf(x)d x是：A,1?(A)111忖-51n 2%+C(B)x In x-x+C（C）In x+C，In x、解：/（、）=i 一(D)l n x-x+C1-In x-2，X1-In xx1 2-dx=In x-In x+C2例5若泥、是/(x)的原函数，求jxf x)dx解：f(x)=(xexy=(1+x)ex9j xf x)dx=xf(x)-j/(x)dx-x(l+x)ex-xex C=x2ex+C2定积分、广义积分1)定积分概念af(x)dxJ a呼。2小巧 1=1定积分的几何意义：当/(%)2 0时，表示由直线 x=轴，曲线丁=/(%)围成的曲边梯形的面积2)定积分的性质(1)线性性(2)对积分域的可加性a(3)dx-b-aJ a(4)若在/上，f(x)g(x),则gdx J a J aP b(5)若在,切上，加 S/S,则加(3-)S f(x)dx-ooJ。f(x)dx,cf(x)d x+J-X(2)无界函数的广义积分：设/(x)4(。山上连陵/人=F(x):;且 lim/(x)=oo,则：f(x)d x a+alim f(x)d x 4 o+J a+设/()在a,6)上连续，1 limX T b|/)在a,c)U(c,b 连续li r b r b-1)/(工)=*,则：f(x)d x:lim f(x)dx a 7 _ o+J aH 1 i m/(x)=co,仅当 f d x,f(xdx x-c a c均收敛时，该广义积分收敛，1 1/(x)d厂/(x)0工+7(工)心;a a c否则，该广义积分发散例1下列式中正确的是：B(A)若 j f(x)dx-0,则/(x)必为奇函数(B)1 exldx g(x)和直线x=a.x=b(a g(y)和直线V=c,y=d(c d)围成的图形的面积：S=1(y)-g(y)故J c(4)由曲线尸=r(。),射线。=a,9=/3(a 0)及直线y=0,x=见1=6(0)及直线x=04=c,y=d(c g(x),x=6绕x轴旋转而成的旋转体P b体积：V=7Tf x)-gx)dxJ a3)平面曲线的弧长(1)直角坐标下：曲线y=/(x)(x(6)的弧长：s=J yl+yr2dx(2)参数方程下：曲线=9(0(云.)的弧长：s=+2(.例1求由曲线x=y2.y=-%和y=1围成的图形的面积。解：y2-(-yWy=-|例2由曲线y=，和直线=2X-1及X轴所围成的图形绕X轴旋转所生成的旋转体 体积是：D例)3(A)f f(C)X4dx-7T=571 71 713 2 5 6 30利用定积分的几何意义,/a2 4 dx(a。)的值为:Cjr jr(A)0(B)-a2(C)-a2(D)荷2 4I 4f 1 o8P-i 1+0 P-I=夕（S03+KJ SO0-l4J-f I Of I8%（外。：-=*【*【避理即为因即回Z外o”二 d此外!s（=d圃米G防（0 f o/1州二/七口气 二邛”+（九 二S：押耳即（45,50）浦一。S 03-二 4四向量代数与空间解析几何1向量代数1）向量概念设 4（xl,yl,zl),S(X25J；2522），则 48 二、2 一，1，九 一 71522 Z，其方向余弦：co s a/一口*2 1)2+(%-乃+(Z2-Z jr，cos/?2/1_/)2+(%-乃)2+(Z2-zj ZTX2-XZ2-Z 22）向量的运算a2那2(1)加减法:a i b=x1 士 工2 M 士 Z2)a,b 二a b cos6)=x1x2+y1y2+z1z 2,其中 J 为，旃夹角。(4)向量积：q x B如下定义:其模=sin(q,B)；其方向垂直于见及且x B合右手法则。i j k-axb=X 为 句 2 y 2 Z3)两向量间的关系 -(1)a与b垂直 o a6=0 0 再9+升必+巳,二。(2)q与B平行 o q x 3=0 =了2 V 2 Z?-(3)与B的夹角：c o s6=a b例1设向量”3,5,-2二2,1,4,要使得向量+踵直于z轴，则2的值应等于：C(A)0(B)-2(C)2(D)1解：ka b 32+2,52+1,-22+4),则(筋+：).1=0,即：-22+4=0,2=2.例2已知三点财(5,3,2)4(1,-4,6),尸(-3,7,1).下列结论正确的是：D(A)三点在一条直线上(B)三点构成非等腰三角形(C)三点构成等腰三角形(D)三点构成等腰直角三角形 解：7可二4,7,4,|/四二9;而二4,11,5,囚尸9;MP=一8,4,-1,|尸卜 9;2例3设向量a=2,4,41=0,6,3,则a与b的夹角为:a rc c o s、a/5刀 a-b 36 2角牛：COS(P 二|一|一|=-7=j=琲|6屈小例4设1为非零向量，下列命题中错误的是：D(A)1片存在实数九 使二(B)a/b 2x b=Q 2 2(C)a-Lb a-b=0(D)J_ b o(+/)(-6)=-b例5设花】均为向量，下列等式中正确的是：A2 一 2(A)(a+b)-(a-b)=2(B)a(a-b)=a ba-b7 7(C)(a-b)2=a b(D)(a+b)x(a-b)=ax a-bx b2空间解析几何1)平面方程(1)点法式:平面过点。(2/。，句)，法失、=4,瓦C,平面方程：/(%-%)+8(一%)+C(z-Z。)=0(2)一般式：/%+By+Cz+。=0(3)截距式：-+-=1 a b c2)两平面平行、垂直条件平面;T：/1%+Bxy+Cz+A=0,%：+B2y+C2z+D2=0,-与和垂直 o 1 1 与 o，勺=0 o 44+BB2+CjC2=0_ 一 一 A B C与孙平行O/2 O=-=1 2 12 A2 B2 C23)1发方程标准式方程：x-x 0(3)4)两LLL5)iL过点M 0(工 0，0，o），方向+m 失It0 _ Z _ z o n二,m，参旦 里殷直与与xx式式的方程：方平/0Z 0+行、垂交式条L 2L 2与mn t1工+2 X+BB1+2y+C +D C 2Z+D=02=。ifom s；11o平行os II2o 平关系；*0J Qmz一 Z 0一,nLm m i20ji:A xX-X 2/2 _nO/1/,+“I I 2n 1+8y+Cz+D+n(n0,220；n oo s II与垂直与平行innn oo s 1A B C,s，二 0 o A I+B m i C n06）二次曲面（1）柱面方程：只含两个变量的方程其图形是柱面，缺少哪个变量柱面的母线就平行于哪个轴。例如：/（、/）二0表示准线为；4）=（），母线平行于2轴的柱面。z=0（2）旋转曲面：曲线广；“/）三。绕，轴旋转所产生的旋转曲面方程为几677）二0；z=0曲线：；、）=绕）;轴旋转所产生的旋转曲面方程为,）=0.z=0（3）二次曲面：2 2 2球面：（X-。）2+（y-3）2+（Z-c）2=R 2；椭球面：F+=r+=1；a b c2 2 2 2 2椭圆抛物面：-一+，一=z（p0,q0）;锥面：r+,-r=0；2p 2q a1 b2 c22 2 2 2 2 2单叶双曲面：+-=1；双叶双曲面：+f=I；a b c a b c例1平行于盗口经过点4(4,0,-2)和直8(2)的平面方程是：C(A)x-4j+2 z=0(B)3 x+2 z-8=0(C)3 y-z-2=0(D)3x+3y+z-10=0解；/才二-2,1,31,i j%法关“二 xi二一2 1 3=3 j-k,1 0 0平面方程：3y-(z+2)二0例2过两点“(3,-2/)和4(-1,0,2)的直线方程是：B(4)斓上的(2,0,0)(B)工。y平面上的直纥I(C)过fi(2,0,0)1平行于yO z平面的平面(D)过点(2,0,0)的任意平面例4两直线良；3x+z=4L.:y+2z=9 6x-y=7 人、,十 的关系为：A3y+6z=1(A)平行但不重合(B)重合(C)垂直(D)相交但不垂直i J解:S二3 0 10 1 2i 6y+3,力二60-1 03 66 z 36 J+18 人,*s2例5下列关于曲面方程的结论中，错误的是:(A)2/+/+z=0表示椭圆抛物面(B)BV+2 y2=i+3z?表示双叶双曲面(C)/+/(z _ 1)2二0表示圆锥面(D)/二5%表示抛物柱面例6空间曲线:Z=?+2f，在,0丁坐标平面上的投影曲线为：D z=4-3x2-2y2(A)/+y2=(B)/+2/=i(C)4-3/一2丁=0(D)2,2 1x+丁二 1z 二 0五 多元函数微分法及其运用1偏导数与全微分1）偏导数（1）偏导数的定义：/Oo/o）二l imAx-0/(4+Ax4o)-/(/4o)Ax（/,九）二li m,九+八/)一/(4,九)Ayr 0Ay（2）偏导数的求法：多元函数对求偏导数时，仅把工视为变量，其余变量 均视为常量，利用一元函数的求导法则去求即可。2）高阶偏导数93a2zdxa:2吮（，丁）dza2z(尸-3丁 dx dxdy2 ZdzQ2 z3）全微分dz 二区 dx+里 dy dx dyo z o z o u-=-+dy du dyo z o vA A d v dy单元隐函数y=y(二),二-二 dx F：dz F dz F7 一 一 ，7 一一二了二元隐困数z=z(x,y),4)复合函数微分法z=f(u,v),u=(p(x,y),V=(x,y),复合函数 z=/夕(y),夕(工，y)dz dz du d z 加=-+-,8、du dx dv dx5)隐函数微分法(1)单元隐函数微分法二元方程口工.)=0确定了(2)二元隐函数微分法三元方程F(x,y,z)=0确定Ox?。y?6)方向导教与佛度(1)方向导致二元函数z=/()在尸(工,川沿方向和方向导数为：=c o s a+c o s,其中c o sa,c o s夕为的方向余弦。dl dx dy三元函数=/(工，丁)在尸(工，)沿方向7的方向导教为：d u d u d u n du 廿 41r n、山后 人什-=-c o s c r+-c o s p+c o s/,其 甲c o sa,c o s 夕，c o sy为/的 万 向 余以。d1 dx dy dz(2)梯度三元函数=在尸(、，y,z)处的楞度为：；二元函教的佛度是类似的。d x dy dz-4 例2 例z aV s o c eX 在 zJ 贝于 空寸y 4 nA ABV-y d-3 z-V 3-5+-y 3-d z-6-6V n 11S e+V s o c e X-7-20=工 Z V/3 32 sts o c e2X/ZIV/axA-一B-4VX2处 o的偏导了 62-一D2-7W vk/3 5z2X求 接 直z 6导o解：u=x2+y2,v=,ydz dz du dz dv.dz 1 dz-二-F-2 X-F-8x du dx 8v 8x 8u y 8v例3 z二/+y In y-y在二二1,y=1处的全微分d z等于：C(4)dx+dy(5)dx-dy(C)dx i 2dy(D)dx-2dy例4函数f(x j)=2 _y2在点(1,2)处，沿方向7=，+/的方向导数是：A(A)-四(B)桓(C)-2(D)2c o s 6=3,解：c o sa=-9V2=C(x _y),a/l(,)例5函数f(x j)在点(/j。)可微，是函数f(x，y)在点(%，%)存在偏导数的：B(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)既非充分也非必要条件(D)充分必要条件2偏导数的应用1)空间曲线的切线与法平面x 二空间曲线F:!(-.)=!(0,（0,0）不是极值点；在点（1,1）处，8 2-4 C=9-36 0,故（0,0）是极小低点六重积分1二重积分n1)二重积分的定义：jj/()d o二独2/(4，%)明 D i=l2)二重积分的几何意义：当/(%,丁)20时，表示以积分区域D为底，以曲面 z二/(、4)为曲顶的曲顶柱体的体积。3)性质：(1)线性性(2)对积分域的可加性(3)若在区域。上，/(x,y)4 g(几 y),则“jjg(x,y)d。D D(4)若/(九y)在区域。上的最大值和最小值分别为M,明则有：mS f x,y)do MS,其中S为区域。的面积。D(5)重积分中值定理：设/(几y)在区域D上连续，则至少存在一点(J加)e D,使得：jj f(x,y)d(y=4)二重积分的计算(1)直角坐标系下二重积分的计算X 型区域,(%)S,4%(%)jf f(x,y)da=dxjy2(x)aD丫 型区域。：cSySd,Xj(j)x x2(y)jf 广力；/(几丁)心D 注：y二月(%),y=为(X)分别为平行于斓的直线穿区域。时的穿入、穿出曲线;X二MU),=分别为平行于轴的直线穿区域。时的穿入、穿出曲线；(2)极坐标系下二重积分的计算区域。ses夕，Pi(e)4 0 sp2(。)，jj/(5二 j：D 13 2P lf(p cos 仇 p sin 6)pdp注：p二p1(e),p二。2(。)分别为从极点出发的射线穿区域。时的穿入、穿出曲线。(3)交换积分次序例1设。是以0（0,0）,为顶点的三角形区域，f（x,y）在。上连续，下列式中错误的是：Bf(x,y)dx(8)D心D(x,y)dxdy=：dy /(1,y)th(C)Dx,y)dxdy=dx f(x,y)dyJ 0 J-x例2设(D)分/二（加(C)4dx2/（二,y）dy,下列各式中正确的是 04I2!i/（，）办(B)例3设D是四分之一圆域：x2+f(x2+y2)dxdy=jj sindxdyf（x,y）dx0.下列各式中正确的是：C|j sin(x2+y 2)dxdy=2 itde01Psin p 2 dp（y）d他二/（，）办D重积ID人/()劫+：c土 土(C)jjsin(x2+y2)dxdy=j2j p sin p2 d p(D)jjsin(x2+2)t/xrf=j2Oj sinp2t/pD D例 4 计算j J1-X 2 一 y 2办办,其中+D解：原式二kd ep2Pdp,1 I?-=f02-?-(l-p2)2l s 乙 Jn!3sin,J-1)，9J)3 3 2例5 设人二 jj l n(x+y)d c r,/2=jj sin2(x+y)do,I3D Djj(+,d o,其中DD d 040,L x+y SI,比较它们的大小。2解：(x,y)D时,l n(x+.y)sin2(x+j;)(x+y)2故人S(4A2三重积分1)三重积分制定义：jjj/(八%z)人二也f/6,/“J A匕 Q i=l2)三重积分制计算：(1)直角坐标系下：将。投影在坐标面工0y上，投影区域为Dn,:。x b,yx)y o-i=12)性质：(1)线性性(2)对积分域的可加性(3)积分值与积分路径的方向无关3)计算：转化为定积分，、x=(p(t)(1)L:八)a t Py二卜j/(工，)办=/0)+甲)打(2)L:y-(x),a x bL/(,y)ds=/,1+)打I:二(),c y dL/()八二/卜(丁),1+工二注：定积分的上限不小于下限，将曲线方程代入被积函数，再利用ds 的公式。(x+y)d s,其中上是半径为，圆心在原点的上半圆周。解：L:x=aco st0t=0,0 x 1;P Q:x=l,0j；1;QO:y=x,0 x，l im%见二%n=1%00 00 00q1时，级数发散；q=1时，级数乙敛散性不定。n=l n=l n=l3)几个主要级数的敛散性：00(1)等比级数小1时收敛，夕41时发散。n=4)交错级数Z(-1广：n=100若 Z(T)%满足：*J+i(2)l im un=01 nr 9n=100 00则 (T)i j收敛,且 (T)1”/n=1 n=15)绝对收敛、条件收敛00 00若Z%收敛，称叫绝对收敛;n=1 n=100 00 00若何做散，忆收敛,称条件收敛。n=1 n=1 n=100 00 00注：若必悭散未必发散。但是若用比值判别法得到z|叫假散,n=1 n=1 n=00此时 发散。n=1例1下列命题正确的是：Cco 00 co 00(4)若发散，则l im 工0(8)若,匕都发散，则(+、)发散 J 00 1 1 1n=1 n=n-n=100 00(C)若收敛，且 0,则：收敛 n=1 n=1)若级数的部分和数列有界，则级数收敛例200解：若 收敛，则1而”。，则从某项开始，04：00(C)l im S可能不存在一00(B)l im/存在 o o(D)Sj为单调数列2 1111）累蒙数收敛域的求法（1）收敛半给K的求法：对于累双数,p二lim冬，则：=o i|。当 ptO时，R 二 L 当 p 二。时，R 二+co;当 p 二 co 时，R=0P（2）收敛的求法:首先求收敛半桂K,则收敛区间为：（-仁K）；再和断累级数在瑞在 x二土 K的收敛性，最后确定收敛城。2）累级教的性质00（1）累双数勾/在收敛域上收敛。二 0在收敛区间（-R,R）内可逐项求导和逐项积分：00J)二(二 000n-1 n a flx：S(X)dx=(anxn)dx=H=0=0Q0a x11 dx=V a n j nn=0n+1 A0n+1注；利用曷级费的性质求累破费的和函费。3）几个常用函数的幕级数展开式_8 na)/=土n=0(X)x；n=0(2n+l)!(X)x +o o)(4)00COSX=Zn=0(1)N(2)！(X)x-poo)1 o olW(-1x1)1-X n=000 ln(l+x)=Zn=0(I)，77+1注:借助上述函数的幕级数展开式、幕级数的性质,求给定函数的幕级数的展开式。(-1x 00二 limn T 600 1,x|1,原级数发散；故收敛区(-U)当工二一时，00累留数为工二 0成；当工二00令当当即即间+1Rn法。2二 二，x|1时收敛域为：-1,1例3偏级数工-工3+/一+（_）12+1+（一 的和函数是：B(4)arctan x(5)-丁(C)sin x(D)x co s x1+x:f-1V+1例4累级数2(-1X1)的和函数是:n=(A)xsin x 00解i：n-（一1）:向X n00 x21+x200 xtn-x l n(l-x)(Z)x l n(l+x)(-1)W+1-Xn00n00，设s(x)二 n=(-1产-A,n11+XS(x)-S(0)=j Sf(x)dx=j(-l)w+1X n+l二 x l n(l+x)例5/(x)二展成x-1的嘉级数。3-x解；f(X)-7-X 1dx=l n(l+x),0 1+x00又 S(0)=0,故 S(x)=l n(l+x),Zn=2-1)2(1-*-1 J2.二 5t(L n=0 x-1 Tn=in=0(1)2+1 x-121,即-1 x 33傅里叶级数1）以2为周期的函数展为傅里叶级数：（1）狄利克莱收敛定理若以2为周期的函数/（工）在-，上满足狄氏条件：连续，或至多有有限个第一类间断点；至多有有限个极值点，00则/的付氏级数+（”cos 工+sin 工）收敛，且2”=1当工是/（工）的连续点时，红+2 i-cos 1+小in/?)=f(x);当工是/(工)的 间 断 点 时，+(。cos 工+6“sin 1)二/(-+0)+/_12 2 =1 2其中，an-/(x)cosnxt/x,n=0,1,2,-;bn-f(x)sin nxdx,=1,2,（2）奇偶函数的傅里叶级数：若/（%）是以2为周期的满足收敛定理的奇函数，/（工）的付氏级数为正弦级教若/（工）是以2/为周期的满足收敛定理的借函数，/（x）的付氏级数为正弦级数工.C 0 S X,其中JI Jf(x)cos nxdx,=0,1,2,；n=12)以2/为周期的函数的傅里叶级数若/(%)是以2/为周期的满足收敛定理条件的函数，则/(%)的付氏级数oo+V(a c o s x+b sin 区 x)收敛，且2 y/I当X是/(x)的连续点时，申+当元是/(X)的间断点时，回+2oon=l0077=1nrc 7 c o s x+bI.nn、sm x)-I/(x+O)+/(x-O)其中，a=；j(x)c o s 子1 J n兀=?J_/(x)smTxdx,xdx,二02；n=1,2,nnnbnn兀 7 c o s x+bInnsin 子 x)=/;2注：2/为周期的奇偶函数的傅里叶级数与以2为周期的情形类似。3)对于半周期区间(如0,或0,/)上的函数/(%),可以先进行奇延拓或偶延拓,再展为正弦级数或余弦级数。例1设/(X)是C/二求/(%)的1解：S(-n例 2 设/(%)二 则 S(.：)|f解：将/(.12为周期的函数，它在-1上的表达式为,，-x 0O,0 x 尊里叶级数在二二-3处的值。)=肾万)=宁=-乙 乙x,0 x 0G.5 Q 00一 S 二 b sin 其中 b=一/(x)sin nxdx,n Tti 八71,一 工 1 2的值是：c3 3(8)7(C)三(D)04 4n _-nE)奇延拓，S=T=-例3将/。）=X,一乃工工工。一,、.e r0,0X7T角笔%=f f(x)dx f xdx=乃Jf 九、一九 2an=f/(x)c o s7wiv=f x c c snxdx=1(1),?,n2 兀一冗 冗J一九 U7l1 1 1 ro(1 严bn f(x)smnxdx x sin mz/r=-,n=l?2 1(1),7 c o s nx+-sin nx,x e(石 7i)4=n7i n九常微分方程1)可分离变量方程：广二/(门/)d x解 法：-=f(x)dx,j-y二 j f(x)dx2)一 阶线性方程；y +P()y 二 0(x)通解：y 二 J(j 0 J7%+C)2可降阶方程1)y二/(x):直接积分n次,得通解。2)y 二八2)：令丁二 P,则 y 二?d x(P(cj再求解4二 d x=/()：先求解?二/(p),得通解p二(p(x,cj,d x*得 y 二(/)(x,c1)dx+c23)令二p,则yJpg,先求解p?二/(y,p),得通解p二夕(y,cj,ay dy再求解以二 d x夕(y,c)得jd y-二1+C 2夕(y,cj例1方程xy-y In y二。满足y1二e的解是：Bc si n tan(力)尸e2r尸/(C)e 2(D)尸e 4副 办 人 dy dx ,解：-二一,-二一,l n(l n j?)=In x+cp In y=ex,y-eIn y x J y In y J x由y u i二e得：C=1,故选B例2解微分方程/-y二(1+1)3x+1jj_d j j_d解：y 二 用 4(工+1)30)X+L1x+C二(x+l)2(x+l)t/x+C例3过(/0)口垂直于x轴的动直线与过原点的曲线y二y(x)(x 0,y 0)以及、轴围成曲边梯形，其体积为/(0,函数y(x)所满足的微分方程是：A 33二 1(5)二 1(C)-二 3y+l(D)y二 3尸+1解：y(x)dx=y3(x),两边求导得：y=3y2乂 即 3二1 03二阶线性微分方程解的结构二阶线性非齐次：y+p（x）/+q（x）丁二/（工）（。）二阶线性齐次：/+p（%）/+q（x）v 二 o（。）（1）若K（X）,1y 2（灯是）的解，则CJ1+02%是位）的解，且当九，匕 线性无关时，C.i（x）+C21y2（%）是（，）的通解。（2）若y是）的通解，一是（）的特解,则丁二丫+1是（。）的通解4二阶常系数线性微分方程的求解1）二阶常系数线性齐次微分方程的求解特征方程：r+pr+L。若特征根为两相异实根八，4，则（。）的通解为:v=ge，+c2er2X;若特征根为两相等实根r,则仙）的通解为：尸c-+。2工屋；若特征根为共能复根r二。士/，则（。）的通解为:二 ceax co s P x i c2xeax sin B x2)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法：=+_/,其中y是的通解，是的特解。(1)/(%)=%)/、,尸(%)为多项式特解y*=p0(%)e其中0(%)为与尸(%)同次的多项式,。若4不是特征根笈=1,若4是特征单根2,若4是特征重根(2)f(x)=A sin J3x+B co s J3x特解y*=xk(a sin 夕x+3 c o s 夕x),其中Jo,若士 不是特