8.1向量的坐标表示及其运算.ppt

8.1向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示及其运算一、基本概念一、基本概念*实数与向量的乘积的意义实数与向量的乘积的意义:*实数实数与非零向量与非零向量 的乘积是一个向量的乘积是一个向量,记作记作:*对向量对向量 的模和方向规定如下的模和方向规定如下:(2)(2)当当 时时,与与 的方向相同的方向相同;当当 时时,与与 的方向相反的方向相反;(3)(3)当当 时时,;,;(4)(4)任何实数任何实数与零向量的乘积为与零向量的乘积为 零向量零向量.*两个非零向量平行的充要条件两个非零向量平行的充要条件:*单位向量的定义及其计算公式单位向量的定义及其计算公式:*把模为把模为1 1的向量叫做单位向量的向量叫做单位向量.*对于任意的非零向量对于任意的非零向量 ,与它同方向的单位向与它同方向的单位向 量叫做向量量叫做向量 的单位向量的单位向量.记作记作:*单位向量的计算公式单位向量的计算公式:向量作为一种常见的数学概念向量作为一种常见的数学概念.它是即有它是即有大小又有方向的大小又有方向的.前面已学习了其前面已学习了其“形形”的的相关知识相关知识,本节开始就要研究其本节开始就要研究其“数数”的相的相关知识关知识-向量的坐标向量的坐标.引入引入:1.1.平面内建立了直角坐标系平面内建立了直角坐标系,点点A A可以用什么来可以用什么来 表示表示?2.2.平面向量是否也有类似的表示呢平面向量是否也有类似的表示呢?A(a,b)abxyO1 1，在平面直角坐标系中，方向与，在平面直角坐标系中，方向与x x轴和轴和y y轴轴正方向正方向分别分别相同的两个相同的两个单位向量单位向量叫做叫做基本单位向量基本单位向量，分别记为，分别记为A112，以原点，以原点O为起点，为起点，A为终为终点的向量点的向量 为叫做为叫做点点A的的位位置向量置向量，如图，如图，OA即为一个即为一个位置向量位置向量.1）平面内每一点都有对应的位置向量。）平面内每一点都有对应的位置向量。调用几何画板xyOMN(x,y)A在上式中，在上式中，向量向量OA能表示成两个相互垂直的向量能表示成两个相互垂直的向量i、j 分别乘以实数分别乘以实数x、y后组成的和式后组成的和式，该和式称为，该和式称为i、j 的的线线性组合性组合，这种向量的表示方法叫做，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解向量的正交分解。3，向量的坐标表示：，向量的坐标表示：xyOA在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在唯在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在唯一一个与它相等的位置向量一一个与它相等的位置向量.即即平面内任一向量平面内任一向量都可以用基本单位来表示都可以用基本单位来表示.(x,y)总结总结:有序实数对有序实数对(x,yx,y)记作记作:任意向量任意向量(平移平移)位置向量位置向量(唯一确定唯一确定)向量向量 的坐标的坐标.由此可得由此可得,相等的向量具有相同的坐标。相等的向量具有相同的坐标。二、向量的坐标运算二、向量的坐标运算(有了向量的坐标表示之后有了向量的坐标表示之后,向量的向量的运算就可以转化为其坐标的相应运算运算就可以转化为其坐标的相应运算)向量模的计算公式向量模的计算公式:上述法则实现了由向量的作图法运算上述法则实现了由向量的作图法运算(形形)转化为向量的转化为向量的坐标法运算坐标法运算(数数),化繁为简化繁为简.例例1.如图，写出向量如图，写出向量 的坐标的坐标.结论：结论：任意向量坐标任意向量坐标 =终点坐标终点坐标 -起点坐标起点坐标 xyOP(x1,y1)Q(x2,y2)即即如图，设如图，设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是平是平面直角坐标系内的任意两点，如何面直角坐标系内的任意两点，如何用用P P、Q Q的坐标来表示向量的坐标来表示向量PQPQ？4，平面内任意两点平面内任意两点间的向量的坐标：间的向量的坐标：xyOA(2,1)B(-3,2)C(-1,3)D(x,y)第八八章平面向量的坐标表示8.1.1 向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示及其运算8.1.2 向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示及其运算观察平行量观察平行量 ,它们的坐标有怎样的关系？它们的坐标有怎样的关系？满足这一关系的两个向量必定平行吗？满足这一关系的两个向量必定平行吗？必要性：必要性：，由平行向量基本定理知：，由平行向量基本定理知：存在唯一实数存在唯一实数 ，使，使，则，则因此因此证：当证：当 时，充要条件显然成立，现考虑时，充要条件显然成立，现考虑的情形，的情形，此时此时 不全为零，不妨设不全为零，不妨设平面向量平行条件的坐标表示平面向量平行条件的坐标表示定理：定理：已知任意向量已知任意向量的的充要条件充要条件是是证：当证：当 时，充要条件显然成立，现考虑时，充要条件显然成立，现考虑的情形，的情形，此时此时 不全为零，不妨设不全为零，不妨设充分性：充分性：则则令令 ，则，则，因此，因此证毕证毕平面向量平行条件的坐标表示平面向量平行条件的坐标表示定理：定理：已知任意向量已知任意向量的的充要条件充要条件是是特别地，若特别地，若 不平行于坐标轴不平行于坐标轴，则上式可化为则上式可化为两个向量平行的两个向量平行的充分条件充分条件是是相应坐标成比例相应坐标成比例.即即平面向量平行条件的坐标表示平面向量平行条件的坐标表示定理：定理：已知任意向量已知任意向量的的充要条件充要条件是是例例2.是坐标原点，是坐标原点，当，当 为何值时，为何值时，三点共线？三点共线？分析分析：三点共线的充要条件是三点共线的充要条件是解：解：化简得：化简得：解得：解得：或或因此因此 时，时，三点共线三点共线.或或思考思考 取何值时，取何值时，能够构成三角形？能够构成三角形？四、定比分点定义及公式四、定比分点定义及公式图示图示P在线段在线段P1P2反向反向延长线上延长线上P在线段在线段P1P2延长线上延长线上P在线段在线段P1P2上上外分点外分点内分点内分点分点分点的的位位置置P P P12 2P P P12 2P P P12 2练习：设线段的长为5cm，写出点P分有向线段所成的比：点P在 上，1cm;点P在 的延长线上，10cm.例：已知 的坐标分别为 ,求点P的坐标 。2,已知A（3,2），B（8,3）求线段AB的中点G坐标求点A关于点B的对称点H的坐标若 ,求点E的坐标若点C分有向线段 AB 的比2，求点C的坐标求点D(0.5，y)分有向线段 AB 的比 及y值。