2022年数学81《向量的坐标表示及其运算》教案.pdf

8.1（1）向量的坐标表示及其运算（1）一.教学内容分析按现行上海市中学校数学课程标准，本章内容是在中学学习了向量的基本概念、向量的加法、减法、实数与向量的积等基础之上的后继学习.但与中学有所不同的是，中学教材对向量的学习是以“形”为主，主要从“形”的角度绽开，而本章内容就主要是以“数”为主，从“数”的角度进行论述.当然，由于向量本身所具有的数形结合的特点，本章教材在以“数”为主旨处理教学内容的同时并没有弱化向量的“形”的方面的特点，而是二者相得益彰，互为依靠、互为补充.以“数”为主旨讨论向量，其核心手段是向量及其运算的坐标表示.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，向量的加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积等就完全可以用它们的坐标的加法、减法、数乘、数量积等运算来进行，使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.这样，就使得许多问题，可以转化为熟知的数量的运算进行解决.向量及其运算的坐标表示，一方面为用代数方法处理几何问题供应了通 道，另一方面也为向量概念推广到高维空间指明白途径，同时，它也是高中数学中描述与处理如立几、解几、三角等诸多问题的一个有力的工具，在高考中也占有一个重要的位置.作为本章的第一课时，本节课的主要内容是向量的坐标表示及其运算.它是本章重要的基础性与前提性内容，它引入了将向量问题代数化的基本手段与方法向量的坐标表示.本节内容课本上的基本处理方法是在引入一些相关的基础性的概念之后，通过任意向量都可以正交分解为基本单位向量 的线性组合，在向量的正交分解的基础上抽象概括出向量的坐标表示形式，并依据向量的正交分解的本质得到向量坐标形式下的运算法就本节课要着力解决三个问题：-是要解决引入向量的坐标形式的必要性的问题，以引起同学学习的动机，二是要解决如何引入向量的正交分解及如何由此抽象出向量的坐标形式或者说是如何让同学懂得向量坐标的本质的问题，三是要解决引入向量坐标形式以后如何以坐标形式进行运算的问题.作为本节课（本章的第一个课时）来说，其次个问题是重中重之中，由于假如同学不能懂得向量的坐标是怎么来的，它的本质是什么，就会对后继学习带来肯定的困难.因此，我们在课上要对这-点特殊的重视.二.教学目标设计1.明白基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；会用坐标表示向量；会用 两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题2.经受如何将位置向量及任意向量表示为基本单位向量的线性组合这一正交分解的过程，以及经受如何通过向量的正交分解的本质概括抽象出向量的坐标表示的过程，初步形成抽象思维的才能；懂得平面对量与一对有序实数对的-对应关系，懂得向量的坐标表示方法及其运算法就；体会数形结合的思想方法3.感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；进展从数学的角度分析和解决问题的才能，以及通过积极参加数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯.教学重点及难点教学重点是如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用；教学难点是对向量的正交分解的过程的懂得以及由向量的正交分解抽象出向量的坐标表示的过程的懂得四.教学流程设计题问境情到回返任意向量的 正交分解任意向量的 坐标表示知起点与终点的 向量的坐标表示小结与作业五.教学过程设计一.情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员 A、B、C、D在-个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演(1)如在某时刻四名队员A、B、CD保持如图1所示的平行四边形队形.队员A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处,队员D位于距EF边2米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？说明此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处.这个图形比较特殊，同学很快 就会得到答案，这时老师引入其次个问题.(2)如在某时刻,四名队员a、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形.队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF 边4米距FG边5米处.你能确定此时队员 C的位置吗？说明不要求同学写出结果，只引导同学摸索.这个图形更为一般一些，同学解决的可能不是很顺，这时，老师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了，引起同学学习的爱好与探究的欲望二.学习新课1.向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做 基本单位向量，分别记为i,j,如图，称以原点o为起点的向量为 位置向量，如下图左，0 A 即为-个位置向量.摸索1：对于任一位置向量 0 A,我们能用基本单位向量 i,j来表示它吗？如上图右，设假如点 A的坐标为（X,y）,它在小x轴，y轴上的投影分别为 M,N,那 么向量 0 A能用向量 0 M与oM来表示吗？（依向量加法的平行四边形法就可得OA=OM+ON），0 M与ON能用基本单位向量i,j来表示吗？（依向量与实数相 乘的几何意义可得 Oivf=xLON=yj）,于是可得：OA=OM+ON=xi+y j由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任位置向量 0 A都能表示成两个相互垂直的基本单位向量 i,j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.2.向量的坐标表示摸索2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量 a,我们都能将它正交分解为基本单位向量i,j的线性组合吗？如下图左可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量 a都存在一个与它相等的位置向量 0 A.由于这一点，我们讨论向量的性质就可以通过讨论其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量 i,j的线性组合，所以平面内任意的一个向量 a都可以正交分解为基本单位向量 i,j的线性组合.即：a=OA=xi+y j上式中基本单位向量i,j前面的系数x,y是与向量a相等的位置向量 0 A的终点A的 坐标由于基本单位向量i,j是固定不行变的，为了简便，通常我们将系数 x,y抽取出来，得到有序实数对（x,y）.可知有序实数对（x,y）与向量a的位置向量 0 A是 对应的.因而可用有序实数对（x,y）表示向量3,并称（x,y）为向量a的坐标，记作：3=（x,y）说明（x,y）不仅是向量a的坐标，而且也是与 a相等的位置向量 0 A的终点a的坐 标！当将向量a的起点置于坐标原点时，其终点 a的坐标是唯独的，所以向量 a的坐标也 是唯独的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简洁化明显，依上面的表示法，我们有：i=（0,1,0（0,0）.（1,0）J例1.（课本例题）如图，写出向量 a,b,c的坐标.解：由图知a=（1,2）与向量b相等的位置向量为 0 A，可知 b=0 A=（1,2）与向量c相等的位置向量为 0 B,可知 c=0 B=（12）说明对于位置向量 a,它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量b,c，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是确定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算:3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设九是一个实数，a=(x1，=x2,y2).-y 1，b-=+=+由于 a-lx,xj yi j,b(x2,x2i y2 j y3*y2)所以 a fxi,yj)(y2f)xj yj x2i y2j=()-xj x2i.yj y2T-A,=X=A(+)=X+九=(九 A)Xi X2 i Yt y2 j为 X2M y2 a xj yj xj yj x1，y。于是有：(yyj 丫?)Xi x2)yi y2i为,一4（”,入必）说明上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和（差）的横坐标等于它们对应 的横坐标的和1差），两个向量的和（差的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和（差），可笼统地简称为：两个向量和（差）的坐标等于对应坐标的和（差）；同样，其次个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的 积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.4.应用与深化下面我们来讨论刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题:解：如上图右，向量 PQ如何用OQ 0 P=()-()=,2,丫2 Xi,y1)x2 占2 Yi从而有PQ x2Xi,y2 yi说明上面这个式子告知我们：平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差,可简称为“任意向量坐标 看点坐标-起点坐标”例3.(课本例题)如图，平面上 A、R C三点的坐标分别为(2,1)、(一3,2)、(_1,3).(1)写出向量a(5,b(5的坐标；(2)假如四边形 ABCD是平行四边形，求 D的坐标.解：(1)AC=(_ 1 2,3 _ 1)=(3,2)BC=(-1-(-3),3-2)=(2,1)(2)在上图中，由于四边形 ABCD是平行四边形，所以 DC=AB设点D的坐标为(Xo,yD),于是有(_1_Xo,3_yD)=AB又 AB=(-3-2,2-1)=(-5,1)故(-1-Xd,3-丫口)=(-5,1)1 Xn=5 Xd=4由此可得J D U解得5.3-yD=1 lyD=2因此点D的坐标为(4,2).练习：(1)请大家用两分钟的时间解答本节课一开头我们所提出的在某时刻 I2，健美操队员C的位置问题.即：在某时刻t2，四名队员A B、C、D保持如下列图的平行四边形 队形.如下图左，队员 A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员 C的位置吗？言!7clHD.8m*BA10mri!_ H/GD-4,5).b？)F A2)cyO x解：以点F为坐标原点，以边FG为x轴,以边FE为y轴，建立如上图右所示直角坐标系.就依题意有 A(2,1),B(6,3),D 4,5),设Cx,y),就由ABCD是平行四边形可得:AC=AB AD(2,4(6,6)又 AQ_(_y)=(2,1)2,y 1)x,(x故 2.y 1)6,6)(x于是 x=8,y=7,即 C(8,7).答：队员C位于距EF边8米、距FG边7米处.(2)在某时刻t3,四名队员 A、B、G D保持平行四边形队形.已知队员A位于距EF解：以点注坐标原点，以边FG为x轴,以边FE为y轴，建立如上图右所示直角坐标系.依题意有A(2,1),B(6,3),设Dx,y，就由ABCD是平行四边形可得:DC AB(4,又 Dx,y),所以可得 Cx+4,y+2)2)由题意5x+410 x 64$y+2w8 2 y 6于是可得队员D可能的位置区域如下列图阴影部分(除去点 B)：jyE-.cBH62FbG例4.已知向量a=(4,-1)与b=(5,2),求2a+3b的坐标.解：由于 2a=(8,-2),3b=(15,6)所以 2a+3b=(8+15,-2+6)=(23,4)三.巩固练习1-如图，写出向量 a,b,c的坐标.2.已知a=41,2)，如其终点坐标 2,1),就其是 起点的坐标是；如其起点坐标是(2,1),就其终点的坐标是3.已知向量 a=(-2,3)与 b=(1,一5),求 3a-b及b-3a的坐标.解：1.由a=(2)(,b=(1)(),(c2.设起点的坐标是(x,y)得：(x,y=(3,-1),即起点的坐标是(3,-1)题 意：=1(),-1，就(2,1)-(x,y)=(-1,2),解设终点的坐标是(x,y),即起点的坐，就(x,y-(2,1)=-1,2),解得：(x,y)=(1,3)标是(1,3).3.3a-b=3_7,14)-(1,-5)=(-7,14)b _ 3a=(1,_5)-2,3)=(7,_14)另法:b 3a=(3a b)=(7,14)=(7,14)四.课堂小结：本节课我们讲了哪些内容？（请同学作答）1.向量的正交分解（是如何对向量进行正交分解的？）2.向量的坐标表示（是用什么表示向量的坐标的？）3.向量的坐标运算（运算法就是什么？）五.作业布置1.已知 a=(2,0=L+1,3)速 a),b 别为()(A)3,3),(3,-3)(3,3),(1,-3)1,3),3,3),(3,-3)b与a b的坐标分2.如点A坐标为2,-1）AB的坐标为（4,6）,就B点的坐标为)(A)(-2,-7)(B)2,7)(C)6,5)(D)2,5)_ _=_=1 -3.已知 a(x,4(3,2).a 0就乂=,y=一),b y 一 如 4.已知AB=(2-x)(1x)，且AB的坐标所表示的点在第四象限，就 x的取值范畴是5.已知 A(5,-2),B(2,-5),C(7，D(4,1),求证:AB=CD.=+=6.已知 a 1,(11,7),c xa yb.求 x,y 的值.2),3,1)并且.2 2b,c7.已知 a(m n,2),(5,mn,a b.求 m,n.的值.b 且六.教学设计说明及反思在本节课的设计上，我是先用一-个实际的情境问题引入，引起同学学习的爱好，同时也在最终通过应用向量坐标这个工具对于这个问题的简便解决以及对于这一问题的进一步深化，使同学体会到引入向量坐标形式这个工具的必要性，并培育同学数学的应用意识，体会到数学是有用的，是有价值的；另外，在新授课内容的设计上，主要采纳了以学问内容本 身的规律关系而形成的继承关系为次序的直线型的设计，主要有四个板块：一是向量的正交分解，二是向量的坐标表示，三是向量的坐标运算，四是应用与深化.其中向量的正交分解是从介绍基本单位向量与位置向量的概念入手，然后通过先处理位置向量的正交分解，再处理任意向量的正交分解；向量的坐标表示也是先处理位置向量的坐标表示然后再处理可化为位置向量的向量的坐标表示，最终在讨论了坐标形式的运算之后才以例题的形式处理任意向量的坐标表示，这样设计的思路与课本上先交代任意向量都可以作一个与之相等的位置向量，然后只要讨论位置向量就能得到原先向量的性质的思路略有不同，这样设计的动身点主要是期望能够给同学的学习制造一个按学问自身的规律次序而层层递进的、螺旋上升的学习过程，使同学能够步步为营的在充分弄清前一个问题的基础上进入下一个问题，从而达到有效分散同学在学习中的难点的目的.在应用与深化这一板块上，我主要设计了五个问题，第一个问题是例1,置于向量的坐标表示这一板块之中，其目的是为了在初次接触坐标表示时，加深对位置向量与可化为位置向量的坐标的懂得，以及舒缓一下同学在较长时间的数学纯理论学习中所集合的紧急或疲惫心情，为下面的学习作点预备；其次个问题是例 2,解决任意向量的坐标表示问题，这也是这一节课必需要解决的一个重点问题；第三个问题是例 3,其目的是通过对任意向量的坐标表示公式的应用，强化对这一公式的记忆与把握，同是也为下-问题即引入问题的解决作学问与方法上的铺垫；第四个问题是解决引入的情境问题并作进一步深化；第五个问题是对向量坐标表示运算公式的应用.同时，最终又设置了三个小题，作为课内练习，机动使用.整个一节课，假如用一句话概括基本的设计思路，那就是：低起点（使同学简洁入手）、小步走（使同学简洁懂得）、重视过程（重视学问的发生过程及重视同学的学习过程）、强 化训练（训练是把握与提高的有效途径）