平面向量的坐标表示及其运算.doc

一. 情境引入
上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米,宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演.
（1）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图1所示的平行四边形队形.队员A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处。你能确定此时队员C的位置吗？
［说明] 此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处。这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题。
（2)若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形。队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处。你能确定此时队员C的位置吗？
二．学习新课
1。 向量的正交分解
我们称在平面直角坐标系中,方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,如图,称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，即为一个位置向量。
思考1：对于任一位置向量，我们能用基本单位向量来表示它吗？
如上图右，设如果点A的坐标为,它在小x轴,y轴上的投影分别为M，N，那么向量能用向量与来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得），与能用基本单位向量来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得）,于是可得:
由上面这个式子,我们可以看到:平面直角坐标系内的任一位置向量都能表示成两个相互垂直的基本单位向量的线性组合,这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解。
2。向量的坐标表示
思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量，我们都能将它正交分解为基本单位向量的线性组合吗?如下图左。
显然,如上图右,我们一定能够以原点O为起点作一位置向量,使.于是,可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在一个与它相等的位置向量。由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现。由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合，所以平面内任意的一个向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合。即：
==
上式中基本单位向量前面的系数x，y是与向量相等的位置向量的终点A的坐标。由于基本单位向量是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x，y抽取出来,得到有序实数对（x，y）.可知有序实数对（x,y）与向量的位置向量是一一对应的。因而可用有序实数对（x,y）表示向量，并称(x，y)为向量的坐标,记作:
=（x，y）
［说明］(x,y)不仅是向量的坐标，而且也是与相等的位置向量的终点A的坐标！当将向量的起点置于坐标原点时，其终点A的坐标是唯一的，所以向量的坐标也是唯一的。这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.
显然，依上面的表示法，我们有：。
例1. 如图，写出向量的坐标.
解：由图知
与向量相等的位置向量为，
可知
与向量相等的位置向量为,
可知
[说明］对于位置向量，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量,我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量,直接就写出任意向量的坐标的方法呢?答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：
3.向量的坐标表示的运算
我们学过向量的运算,知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？
设是一个实数，
由于
所以
于是有：
［说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差）的横坐标等于它们对应的横坐标的和（差），两个向量的和（差）的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和（差），可笼统地简称为：两个向量和（差）的坐标等于对应坐标的和（差);
同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积,数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积。
4.应用与深化
下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量,如何直接写出任意向量的坐标的问题：
例2.如下图左，设、是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P、Q的坐标来表示向量?
解：如上图右,向量
从而有
［说明］上面这个式子告诉我们：平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标—起点坐标"。
例3.如图,平面上A、B、C三点的坐标分别为、、.
(1）写出向量的坐标;
(2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.
解：（1）
（2)在上图中,因为四边形ABCD是平行四边形，所以
设点D的坐标为,于是有
又
故
由此可得 解得
因此点D的坐标为.
练习：（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻,健美操队员C的位置问题.即：在某时刻,四名队员A、B、C、D保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处,队员D位于距EF边4米距FG边5米处。你能确定此时队员C的位置吗？
解：以点F为坐标原点,以边FG为x轴，以边FE为y轴,建立如上图右所示直角坐标系。则依题意有A（2,1），B（6，3），D（4，5),设C（x,y），则由ABCD是平行四边形可得：
又
故
于是 x=8， y=7,即C（8,7）.
答:队员C位于距EF边8米、距FG边7米处。
（2）在某时刻，四名队员A、B、C、D保持平行四边形队形。已知队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员C位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置。你能确定此时队员D可能的位置区域吗？
解：以点F为坐标原点,以边FG为x轴,以边FE为y轴,建立如上图右所示直角坐标系。依题意有A（2，1），B（6,3），设D(x，y）,则由ABCD是平行四边形可得:
又D（x，y)，所以可得C（x+4,y+2）
由题意
于是可得队员D可能的位置区域如图所示阴影部分（除去点B)：
例4。已知向量与,求的坐标。
解：因为,
所以
三．巩固练习
1。 如图,写出向量的坐标。
2。已知，若其终点坐标是（2，1),则其起点的坐标是；若其起点坐标是（2,1），则其终点的坐标是。
3.已知向量与,求及的坐标。
解：1。由题意：
2。设起点的坐标是(x，y），则（2，1)-（x，y）=（—1，2)，解得：(x,y）=(3，—1)，即起点的坐标是(3，—1）；
设终点的坐标是（x，y），则（x，y)-（2，1） =（—1，2),解得：（x，y）=(1,3），即起点的坐标是（1,3）。
3. =3
=3
［另法]:==
拓展内容:
1、已知向量.
（1）在坐标平面上,画出向量；并求= ；
（2）若向量终点Q坐标为,则向量的始点P坐标为_______；
（3）向量的模与两点P、Q间距离关系是.
若 ,则
练习1：已知向量，求
[说明］ 在问题一中，先给出向量，要求学生在坐标平面上画出向量,增强数形结合的解题意识，感悟向量的模即平面上两点的距离.由此发现并掌握向量模的求法及几何意义.安排（2)小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向量都可转化为位置向量.通过自由向量与位置向量的学习,引出向量平行的概念.
向量平行的概念：对任意两个向量，若存在一个常数，使得成立，则两向量与向量平行，记为：。
2。在坐标平面上描出下列三点，完成下列问题：
（1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：

向量坐标
(1,2）
(2，4)
(3，6）
向量的模

（2)通过画图,你得出什么结论?
三点A、B、C在一条直线上
(3）分析表格中向量的模，你发现了什么?
(4）分析表格中向量，你还发现了什么？
，，
［说明］ 养成解题后反思的习惯,总结如何判断三点共线？
方法一:计算三个向量的模长关系.
方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数.
(5)分析表格中向量坐标，你又发现了什么？
向量坐标之间存在比例关系。
思考：如果向量用坐标表示为，则是的( ）条件。
A、充要 B、必要不充分
C、充分不必要 D、既不充分也不必要
由此,通过改进引出
课本例5 若是两个非零向量，且，
则的充要条件是.
分析:代数证明的方法与技巧，严密、严谨。
证明：分两步证明,
(Ⅰ）先证必要性:
非零向量存在非零实数，使得,即
,化简整理可得：，消去即得
（Ⅱ）再证充分性:
(1)若，则、、、全不为零，显然有，即
(2）若，则、、、中至少有两个为零。
①如果,则由是非零向量得出一定有，,
又由是非零向量得出,从而，此时存在使，即
②如果,则有,同理可证
综上,当时，总有
所以，命题得证.
[说明] 本题是一典型的代数证明，推理严密,层次清楚，要求较高,是培养数学思维能力的良好范例。
练习2：
1．已知向量，,且，则x为_________；
2．设=(x1，y1）,=（x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ )
① 存在一个实数λ，使=λ或=λ； ②;③(+）//(－)
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
3．设为单位向量,有以下三个命题：（1）若为平面内的某个向量，则；（2)若与平行，则;（3）若与平行且，则。上述命题中，其中假命题的序号为；
［说明] 安排此组练习快速巩固所学基础知识,当堂消化,及时反馈。
知识拓展应用
3:已知向量，且A、B、C三点共线，则k=____
(学生讨论与分析）
［说明] 三点共线的证明方法总结：
法一：利用向量的模的等量关系
法二：若A、B、C三点满足，则A、B、C三点共线。
*法三：若A、B、C三点满足，当时，A、B、C三点共线.