高中数学课件：3.1.2 空间向量的数乘运算 探究导学型.pdf

探究导学iXS!3.1.2空间向量的数乘运算基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业温馨提示如果您在现看本译件的过 程中出现压字现象，请关 闭所有如灯片，重新打开 可正常1看.1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行（共线）向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.口首页5口未页Kp3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论,并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业I基础速填分1.实数与向量的积口首页5未页定义实数人与空间向量a的乘积是一个向量,这种运算称 为向量的数乘记作入a长度向量入a的长度是向量a长度的ILL倍方向当人0时,入a与向量a方向相同:当入0时,入a与向量a方向相反运算律分配律：X（a+b）=入a+-b 结合律：入（ua）=（入口）a基础新知预习要点互动探究典例透析导悟口课时提升作业2.平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系是:互相平行或重合充要 对空间任意两个向量a,b(bWO),存在惟一实数人,条件使产=人b未页口首页仃点P在 直线，上的充 要条件存在实数t满足等式 丽=5K+ta 在直线，上取 向量赢二a,则加二而+tJS向量a为直线，的方向向量口首页(,、未页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟口课时提升作业3.共面向量定义平行于同个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存 在惟一的有序实数对(x,v)使p=xa+yb点P位于 平面ABC内 的充要条件存在有序实数对(x,y),使而二x嘉+y/空间任点0,有OPOa+xX+y/0基础新知预习要点互动探究典例透析导悟口课时提升作业I自我小测O1.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(A.共面向量 B.共线向量C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量【解析】选A.因为2a-b=2 a+(-l)b,所以2a-b与a,b共面.)口首页5未页2.已知空间四边形ABCD,E,F分别是AB与AD边上的点，M,N分基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业别是BC与CD边上的点，若尊=入醺,无=XAD,CM=（llCB,CN二jllCD,则向量ef与MN满足的关系为（）A.EF=MNC.|EF|=|MN|B.EF|MND.|EF|MN|【解析】选B.屈近二九赢九五=九而，即在=九丽.同理口首页未页厮二|Ll丽因为日丽|九丽,所以在|而b即乐|而又人与 口不一定相等，故由不一定等于|乐.二I基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业3.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则2=【解析】b与a的方向相反，所以实数入0,|a 所以|入|=R=9.I b|7答案：7口首页S未页b.b，二I基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业4.设0为空间中的任意一点，若向量b=丽，则向量2ab=(a-b).【解析】由 2AB=2(OB-OA)=2(b-a)=-2(a-b).答案：-2口首页S未页.爨爆寓麴嬷急基础新知预习要点互动探究典例透析导悟口课时提升作业一、空间向量的数乘运算探究1:完成下面几个填空，明确空间向量数乘运算中实数与 向量变化的几种情况.(1)变化1：当入=0时，对任何向量a,入a=.(2)变化2：当a=0时，对任何实数人，入a都是.口首页S未页基础新知预习变化3：当入WO,a20时，入a是非零向量，并且人与a数 乘的几何意义就是把向量a沿着向量a的方向或a的反方向放大 要点互动探究典例透析导悟课时提升作业或缩小 倍.(4)变化4：对于确定的实数人和空间向量a,当入0时向量入a与a方向,当 入0时 入a与a方向.答案：(1)0(2)0|人|(4)相同相反口首页未页二I基础新知预习 二I要点互动探究典例透析导悟 二I课时提升作业口首页口未页探究2：完成下面几个填空，明确空间向量的数乘运算与空间 向量加减运算的关系及数乘运算律，得出相应的结论.(D关系：a+a+a=,对应数乘运算是实数与向量 相乘.向量a的相反向量是,向量a加向量a的两个相反向 量的结果为.结论：空间向量的数乘运算是线性运算的一种，其实质是空间 向量的加减运算.二I基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业(2)运算律：(3+2)a=；3a+2a=.3(2a)=；2(3a)=.结论：空间向量的数乘运算满足分配律(入+u)a=与 结合律人(u a)=.答案：3a 3 a-a-a5a 5a 6a 6a 入a+ua(入 P)a口首页口未页基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业【探究总结】对空间向量数乘运算的三点说明（1）大小、方向判断：空间向量数乘运算的结果仍是一个向量,可以根据定义来判断它的方向和大小.向量a的模可以扩大（当 I入|1时），也可以缩小（当|人时）；向量a的方向可以不改 变（当人0时），也可以改变（当入0时）.口首页S口末页口基础新知预习要点互动探究典例透析导悟口课时提升作业(2)与实数运算的区别与联系：实数与向量可以求积，但是不 能进行加减，如入+a,入-a是没有意义的.数乘向量与数与数 的乘法是有区别的，前者是一个向量，后者是一个实数.(3)类比推广：空间向量的数乘运算在形式上与平面向量没有 多大的区别，只是将适用范围由平面推广到了空间.口首页S未页基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业二、共线（平行）向量阅读共线向量的充要条件，探究下面几个问题.探究1：定理中为什么要规定b#0?提示：若b=0,当a#0时我们知道，零向量与任何向量都是共 线向量，此时找不到惟一实数入，使a=Ab.口首页S口末页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业探究2：根据定理中的“充要条件”这四个字，写出对应的充 分性与必要性.提示:必要性：若ab(bWO),则有a=、b,其中人是惟一确定的实数.也就是说必要性是 共线向量的性质定理.充分性：若存在惟一实数入，使a=、b(b#O),是说充分性是共线向量的判定定理.口首页缶未页 3S,探究提示：明、确谁在条件的 位置上 J则有ab.也就基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业【拓展延伸】共线向量定理推论的证明推论：如果，为经过已知点A,且平行于已知向量a的直线，那么对空间任一点0,点P在直线，上的充要条件是存在实数3满足等式加=+口首页S口末页二I基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业口首页6、口未页证明：因为/a,所以对于/上任意一点P,存在惟一的实数3使得而=ta又因为对于空间任意一点0，AP=OP-OA,所以 OP-OA=ta,OP=OA+ta.若在/上取X=a,则有所=OA+tAB.又因为魂=丽-巡所以加=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB.(*)(*)二I基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业t=l，oP=1(OA+OB).注：其中向量a叫做直线，的方向向量.和都叫空间直线的向量表示式，是线段AB的中点向量公式.口首页S未页基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业【探究总结】共线(平行)向量的充要条件(1)三点P,A,B共线的充要条件有：存在实数t使得而=，即处11防存在实数t,使得丽=Q+t屈；存在有序实数对(x,y),使得加=x5X+y而(其中x+y=D.口首页S口末页基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业判断向量a,b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上.（3）常见结论：零向量与任何空间向量都是平行向量；若 直线，过点A且与向量a平行，则点P在直线，上=加=5X+ta.口首页S口末页基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业三、共面向量探究1:根据共面向量的定义，探究下面几个问题.(1)向量a与向量b分别为异面直线，m的方向向量，则向量a与 向量b不是共面向量，正确吗？提示：不正确.由共面向量的定义：平行于同一平面的向量叫 共面向量，则任意两个向量都是共面向量.口首页S口末页基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业(2)共面向量是否一定在同一个平面内？提示：共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一 平面内.几个向量共面是指它们平行于同一个平面或在同一个 平面内，并不是指它们一定在同一平面内.口首页S口末页口基础新知预习要点互动探究典例透析导悟口课时提升作业探究2：根据共面向量的充要条件，探究下面几个问题.空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明.提示：不一定.对于空间任意两个向量，它们 总是共面的，但空间任意三个向量就不一定 共面了.例如：对于空间四边形ABCD,两运 AD这三个向量就不是共面向量.口首页S未页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟口课时提升作业未页口首页6(2)共面向量的充要条件中为什么要规定：向量a,b不共线？提示：若向量a,b共线，则空间中的任何向量都与向量a,b共 面.(3)根据“充要条件”这四个字写出对应的充分性与必要性.提示：必要性：若向量p与不共线向量a,b共面，则存在惟一 的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb.充分性：若向量a,b不共线且存在惟一的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb,则向量p与不共线向量a,b共面.基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业【探究总结】空间向量共面充要条件与常见结论(1)P,A,B,C四点共面的充要条件：存在有序实数对(x,y),使得方=xAS+y运对于空间任意一定点0,有所:/+xAS+y运空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y，z),使得丽=x5X+y至+z氏(其中x+y+z=D.口首页S口末页二I基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业(2)常见结论：空间任意的两向量都是共面的；三个非零向量a,b,c,其中任意两个向量不共线，则它们共面的充要条件：存在三个非零实数2,m,n,使2a+mb+nc=0.口首页S未页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业类型一空间向量的数乘运算L下面实数入，U与向量a,b的运算不正确的是（）A.入(ua)=(X u)aB.（入+口）a=X a+u aC.入(a+b)=X a+X bD.入a（入WO）与a的方向相同口首页仃未页二I基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业2.已知空间四边形ABCD,连结AC,BD,设M,G分别是边BC,CD的中点，化简下列各表达式.1.(1)AB+-(BD+BC).2.1,(2)AG(AB+AC).2口首页S未页基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业【解题指南】1.从空间向量数乘运算的运算律和数乘运算的大 小与方向进行思考.2.利用图形中三角形某边上的中线与平行四边形法则的联系，对向量式子进行化简.口首页S口末页ZI基础新知预习 二I要点互动探究 典例透析导悟 课时提升作业0【自主解答】1.选D.当入0时，与a的方向相同；当人0时,与a的方向相反._ 1 _ _ _ _ _2.（1）AB+-（BD+BC）=AB+BG=AG._ 1 _ _ _ _ _（2）AG一（AB+AC）=AG-AM=MG.口首页口未页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟口课时提升作业【规律总结】空间向量表示的两个技巧(1)明确目标：由题意逆向推导，借助平行四边形法则与三角 形法则寻找目标向量与已知向量间的联系.(2)借助图形：充分利用图形中线段长度间的关系与线段所在 直线间的位置关系，寻找两个向量间的数乘关系，从而能用一 个向量表示另一个向量.提醒：利用图形的几何性质是解决问题的有力手段.口首页S未页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟 二I课时提升作业【变式训练】已知正方体ABCD-AiBRiDi，点E,F分别是上底面和侧面CD1 的中心，求下列各式中的X,y的值：（1）AQ=x（AB+BC+CC；）,则*=（2）AE=AA+xAB+yAD,贝族=-，=-AF=AD+xAB+yAAp 贝族二，y=口首页未页【解析】（1）根据向量加法的首尾相连法则，x=L 基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业由向量加法的三角形法则得，杷=西+祥，由平行四边形法则和向量相等得，“二（短?+4坨=|（赢+X6）；所以0=也所以 x=y=1.（3）由向量加法的三角形法则得，点=近+金，由平行四边形口首页g未页法则和向量相等得，加=?所以与=立+/+;可，+DD所以x=y=L答案：1(2)1 1(3)12222 2类型二 共线向量定理的应用基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业1.设2是空间两个不共线的向量，已知赢=2ei+ke2，CB+Se 国=2ee2且A,B,D三点共线，则k=.2.如图，已知长方体ABCD-AiBiCR中，M为DD1的中点，N在AC 上，且AN：NC=2：L E为BM的中点，求证：4,E,N三点共线.口首页未页二I基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业【解题指南】1.利用三点共线借助向量构造与k有关的方程.2.要证明A1，E,N三点共线，只需证明AE”，两向量共 线，也就是证存在实数人使Af二21AH口首页S未页【自主解答】L由已知二基础新知预习二要点互动探究 二典例透析导悟课时提升作业BD=CD-CB=(2ere2-(ei+3e2=er4e2，由A,B,D三点共线得与共线，即存在实数人使得处=九的 Jf|U2e1+ke2=入(e4e2)二入 e4 入 e2,所以入=2,k=-4入=-8.答案：-8首页7口未页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业口首页5未页2.0/A=AN-AA；=|AC-AA；2 .,3=-(AB+AD AA.),3 2 1i iAjE=-(AjB+AjM)=-(AB-AA】+AM-AA,)1.，=-(AB-AA)+(AD+DM-AA)1 1 ,=-(AB+AD+-AA,-2AA.)2 2 1 1i _、_,3_=-(AB+ADAA.),2 2 1所以Tg=a屋N，且有公共点Aj所以Aj1 4 1,N三点共线.基础新知预习要点互动探究典例透析导悟口课时提升作业【规律总结】共线向量定理的应用(1)证明三点共线：证明立体几何中的三点共线问题，可以用 三点构造两个向量，证明这两个向量共线，进而就能证明三点 共线.(2)利用共线向量定理求字母的值：列方程(组)：已知三点共 线时，可先转化为向量共线，再利用共线向量的充要条件，列 出有关系数的方程(组)求出对应系数的值.口首页S未页基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业【拓展延伸】向量的基线平行与向量平行的区别向量的基线是指向量的有向线段所在的直线，向量平行或向量 共线是指所在的基线平行或重合，只有当向量平行且在同一条 基线上的点不在另一条基线上时，两条基线才平行，这也是利 用向量平行证明直线平行应注意的问题.口首页S口末页二I基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业【变式训练】已知A,B,C三点共线，则空间任一点0,存在三个不为零的实数人，m,XOA+mOB+nOC=0,那么入+m+n的值为口首页S未页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业【解析】因为A,B,C三点共线，所以存在唯使赢=k/,即丽-:=k(反-而)，T(k-l)OA+OB-kOC=0.XlOA+mOB+nOC=0,令人二kT,m=l,n=-k,则入+m+n=O.答案：0实数k,口首页小口未页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业类型三 共面向量定理的应用1.对于空间任意一点0和不共线的三点A,B,C,若有6OP=OA+2OB+3OC,贝口（）A.四点0,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点0,P,B,C必共面D.五点0,P,A,B,C必共面口首页S未页基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业2,已知两个非零向量4，2不共线，如果屈二巧+02,及=2e1+8e2,AD=3er3e2,则A,B,C,D四点（填“共面”或“不共面”）.3.求证：如果三个不共面的向量a,b,c满足等式（a+lb+k3c=0,那么瓦二卜2=13=0.口首页S口末页基础新知预习【解题指南】L根据题设中的等式特点等价转化，化简最后得 出结论.要点互动探究典例透析导悟课时提升作业2.欲证明四点A,B,C,D共面，只需证明两证X5共面即 可，根据向量共面的条件，只要能找到实数x,y使得丽=xAC+yAD成立即可说明四点共面3.本题从正面证明无从入手，可考虑反证法.口首页未页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业0【自主解答】1.选B.将等式6加=京+2而+3反变形为 3OP-3OC=OA+2OB-3OP,可得 3(OP-OC)=OA-OP+2OB-2OP,即为3国=PX+2丽，得而前+2而，3 3由向量共面的条件易知而，凤丽三向量共面，它们又有公共点P,则得四点P,A,B,C必共面.口首页缶口未页基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业2-AB=xAC+yAD,BPe1+e2=x(2e1+8e2)+y(3e1-3e2),移项化简得(2x+3y-l)eT+(8x-3y-l)e2=0,由于非零向量e1，e2不共线，rZ/f2x+3y-l=0,1 18x-3y-l=0 5 5于是与=-AC+-AD,_ 5 5故三向量亚运xs共面，它们又有公共点A,所以A,B,C,D四点共面.口首页5未页答案：共面基础新知预习3.假设k2,卜3中至少有一个不为0,不妨设lWO,则由要点互动探究典例透析导悟课时提升作业k k._ _Ka+lb+k3c=0得c=La-b,由向量共面定理可得三向量 卜3 k3a,b,c共面，与已知条件三向量a,b,c不共面矛盾，所以假设不成立，即&*=k3=0.口首页未页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟口课时提升作业口首页S未页【规律总结】应用空间向量共面定理的三个策略(1)恰当转化：转化是一种重要的数学思想方法，将式子转化 为共面向量定理的形式，可快速找到解题思路.(2)列方程(组)：证明四点共面时，可先转化为证明向量共面，再利用共面向量定理，列出系数x,y的方程(组)，求出x,y,问题得证.(3)正难则反：当直接证明难以入手时常采用反证法，反证法 是先否定命题结论，然后进行推理，推出矛盾，从而否定假设,肯定原命题正确.【变式训练】（2014 梅州高二检测）对于空间任意一点。和基础新知预习要点互动探究典例透析导悟口课时提升作业不共线的三点A,B,C,且有加=x5X+y丽+z氏（X，丫，zR）,贝！Ix+y+z=l是四点P,A,B,C共面的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件口首页S未页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟口课时提升作业口首页6未页【解析】选C.若x+y+z=l,则原式可变形为而=（l-y-z）0A+y0B+z0C0P-0A=y（0B-0A）+z（0C-0A）所以丽=y蠲+z运所以P,A,B,C四点共面.反之，若P,A,B,C四点共面，由 共面向量定理的推论知对空间任一点0,有加二氏+sE+t）（其中s,t是唯一的一对有序实数）.因为京=而_反国=OB-OC,贝U丽=（l_s-t）庆+s5K+t弧 令x=l-s-t,y=s,z=t,贝！）有x+y+z=l.二I基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业【加固训练】在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是A.0M=20A-0B-0C_ 1_、1_ 1_B.OM=-OA+-OB+-OC 5 3 2C.MA+MB+MC=OD.OM+OA+OB+OC=0口首页S未页二I基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业【解析】选C.空间的四点P,A,B,C共面只需满足加=x5X+y丽+z%且x+y+z=L可判断A,B,D不正确.对于C,可化为 MA=-MB-MC,符合共面向量定理.口首页S未页【拓展类型】空间向量的数乘运算在几何证明中的应用基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业1.如图所示，四边形ABCD,ABEF是平行四边形且不共面，M,N分别是AC,BF的中点,则下面说法错误的是（）A.直线CE与直线MN平行B.向量国与向量乐为共线向量口首页未页C.四边形MNEC为梯形D.M,N,E三点共线二I基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业2.如图所示，已知E,F,G,H分别是四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中点.求证：（1）E,F,G,H四点共面.BD 平面EFGH.口首页S未页基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业【解题指南】1.解答本题可先利用已知条件将向量厮，而分别 用其他向量表示出来，结合数乘运算观察向量直瓦屋间的关系.2.(1)运用共面向量证明.(2)用线面平行的判定定理证明线面平行.口首页S口末页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业口首页S未页【自主解答】1.选D因为M,N分别是AC,BF的中点，四边形ABCD,ABEF是平行四边形，tIUmn=ma+af+fn=-ca+af+-fb,2 2MN=MC+CE+EB+BN=-CA+CE-AF-FB,2 2IU-CA+AF+-FB=-CA+CE-AF-FB,2 2 2 2CE=CA+2AF+ra=2(MA+AF+W=2Nm,所以 函I丽 即直线CE与直线MN平行，国与市共线四边形MNEC为梯形，而得不出M,N,E三点共线.2.连结BG,则日丽+小丽+；+基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业=eb+bf+eh=+eB所以E,F,G,H四点共面.因为丽可一是海一海-AB1-=BD,2所以EHBD.又因为EHu平面EFGH,BDC平面EFGH,所以BD 平面EFGH.口首页S未页基础新知预习要点互动探究 二I典例透析导悟 课时提升作业【规律总结】利用空间向量证明线面平行的方法证明线面平行问题可转化为证明空间向量的共面问题，向量共 面可以根据向量共面的条件来判断与证明，具体做法是证明直 线所在向量与平面内两个不共线向量共面，再由直线不在平面 内证明线面平行.口首页S口末页基础新知预习要点互动探究典例透析导悟课时提升作业【变式训练】（2014 赣州高二检测）在正方体ABCD-AiBRDi中，M,N分别 是AC,BQ1的中点，求证：MN平面ABD.【证明】0JMN=qN-qM=lqB_lqc=1（da-d）=1da；,所以乐|西;因为MN平面AiBD,DAU平面ABD，所以MN 平面ABD.口首页S未页