最基本任意恒成立问题-单参双参.doc

解：（1） ∵f'（x）=x﹣+（a﹣1）=
∴当﹣1＜a≤0时，
x∈（0，﹣a）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（﹣a，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
当a≤﹣1时，
x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（1，﹣a）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（﹣a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）>-1对对任意x1，x2∈（1，+∞），且x1≠x2恒成立
不妨设，则上式等价于在恒成立
构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则在单调递增
g'（x）=x+，则x+>0在恒成立
∴在恒成立，令==
∴=

参变分离解决恒成立问题，本题综合了函数奇偶性和单调性，建立了不等式关系；

在横向复合导数的处理上，可以采用参变分离的方法，利用图象是否存在交点来判定导数的零点，从而研究原函数的单调区间，再结合原函数的特殊零点。但在解决方程：时，可以虚设一个；已知，函数的图象与轴相切．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ），设切点为，
依题意，即解得
所以．当时，；当时，．
故的单调递减区间为，单调递增区间为．
（Ⅱ）令，．
则，令，则
不定的横向复合导数，采用了二次导处理；存有特殊零点；二次导之后研究是复杂的横向复合函数；可以采用参变分离处理，通过的图像交点来判定的零点，从而判定的单调区间；
为单调递增函数；所以分，两种情况讨论；
（ⅰ）若，因为当时，，，所以，
所以即在上单调递增．又因为，所以当时，，
从而在上单调递增，而，所以，即成立；
（ⅱ）若，可得在上单调递增．
因为，，
所以存在，使得，
且当时，，所以即在上单调递减，
又因为，所以当时，，
从而在上单调递减，
以上部分的分析似乎让题目变得复杂：当，有根，设零点为，则，单调递减，，单调递增，由图象可知，，单调递减，可得。

而，所以当时，，即不成立．
纵上所述，的取值范围是

已知函数
（Ⅰ）求函数处的切线方程。
（Ⅱ）若为实数，函数上的有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）试问是否存在，使得恒成立？若存在，请写出的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。
双参，连不等式，恒成立，采用了先找后证明的方式；
解：（Ⅰ）因为， 所以函数在处的切线方程为y=1
（Ⅱ）因为，，由，令，得
当时，；当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减。
所以函数在处取得极大值。因为函数在区间上有极值，
所以，解得。
（III）因为过点，结合函数的图象可知，当时，直线与函数的图象恒有公共点，不合题意，所以，又，故。
在不等式中，令，得，又，所以。
以下证明，时命题成立，即证恒成立
因为。（*）
（i）设，则，令，得。
则在区间上单调递减，在区间上单调递增。所以，即不等式成立。
（ii）设，则，
令，得，则在区间上单调递增，在区间上单调递减。
所以，即不等式成立。
综上可知（*）式成立，即存在，满足题意。

已知函数．
(Ⅰ)求函数的单调区间和极值；
(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ），，
所以 ．
当时，；当时，．
因此，在上单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）不等式化为，
所以对任意恒成立．
令，则．
令，则，
所以函数在上单调递增．
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．
故整数的最大值是．

设，函数．
（1）若函数，讨论的单调性．
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）
①当a＞0时，，,
∴在单调递减，在单调递增；
②当a=0时，，∴在单调递减，在单调递增；
③当时，，
∴在和单调递减，
在单调递增；
④当时，，恒成立，此时函数单调递减．
（2）若对恒成立，即对恒成立，则，
设，则，
当时，，函数递增；当时，，函数递减，所以当时，，∴．
∵无最小值，∴对恒成立不可能．
∵对恒成立，∴，即对恒成立．
设，∴，当时，，函数递减；
当时，，函数递增，所以当时，，∴．
综上可得，．

已知函数 , a, b Î R且a > 0
（1）若 a == 2, b == 1,求函数 f (x) 的极值；
（2）设，（i）当 a == 1 时，对任意 x Î(0, +都有g(x) ³ 1 成立，求b的最大值
（ii）设 g ¢( x) 是 g ( x) 的导函数,若存在 x > 1, 使 g(x) + g¢(x) = 0 成立,求的取值范围.
Ⅰ)当，时，，定义域为。所以。     .令，得，，列表：

由表知的极大值是，的极小值是。     . ......4分
(Ⅱ)① 因为，当时，。
因为在上恒成立，所以在上恒成立......5分 
记，则。
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是增函数；
所以；所以的最大值为。     ......8分
②因为，所以。由，得，整理得...9分.
因为，所以。设，则
因为，恒成立，所以在是增函数，所以，
所以，即的取值范围为。     ......12分

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