1、第十章 多元函数微分学第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分及应用全微分及应用第四第四节节 多元复合函数和隐函数的求导法则多元复合函数和隐函数的求导法则第五节第五节 偏导数在几何上的偏导数在几何上的应用应用第六节第六节 多元函数多元函数的的极值极值12 本章将以二元函数为主要对象，可将二元函数微积分学的结论推广更多元的函数.第一节 多元函数的基本概念一一、区域、区域二、多元函数的二、多元函数的概念概念三、二三、二元函数的元函数的极限极限四、二四、二元函数的连续性元函数的连续性3一、一、区域区域1.邻域邻域点集称为点 P0 的 邻域邻域.
2、例如例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为4在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.52.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属
3、于 E.6(2)聚点聚点若对任意给定的 ,点P 的去心邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集.E 的边界点)7D(3)开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;8例如，例如，在平面上开区域闭区域9 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区
4、域.o 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,界域界域.否则称为无无10二、二、二元函数二元函数的概念的概念 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式多变量之间依赖关系举例：1112 抛开上述三个例题的具体含义，仅从数量关系来看，它们具有共同的属性，抽出这些共性，概括出二元函数的定义 定义定义1 113二二元函数的定义域元函数的定义域 同一元函数一样，函数的定义域和对应法则是二元函数的两个要素对于以解析式表示的二元函数，其定义域就是使该式子有意义的自变量的变化范围对于
5、实际问题，在求定义域时，除使该式子有意义外，还要符合具体问题的实际意义 二元函数的定义域比较复杂，可以是全平面，可以是一条曲线，也可以是由曲线围成的部分平面等 二元函数的定义域的求法同一元函数，可用不等式组或集合的形式表示14例如,二元函数定义域为圆域说明说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球15 【例例】求下列函数的定义域D，并画出其图形16 解 （1）因为要使函数有意义，应有所以，函数的定义域D是以x=2,y=3为边界的矩形闭区域（见图）17 （2）因为要使函数 有意义，应有即1x2
6、+y24所以，函数的定义域D是以原点为圆心的环形区域，是有界区域（见图）18 （3）要使函数有意义，则有即1x+y2所以，函数的定义域D是一个条形区域，是无界区域（见图）.19二二元函数的几何意义元函数的几何意义 已知一元函数（即二元方程）一般表示平面上一条曲线对于二元函数（即三元方程），由空间解析几何知识知道，它在空间直角坐标系中一般表示曲面 设P(x,y)是二元函数z=f(x,y)的定义域D内的任意一点，则相应的函数值是z=f(x,y)，于是，有序数组x,y,z确定了空间一点M(x,y,z)当点P在D内变动时，对应的点M就在空间变动，一般地形成一个曲面我们称之为二元函数z=f(x,y)的图
7、形（见图）定义域D就是曲面在xOy面上的投影区域2021 例如，函数 的图形是球心在原点、半径为a的上半球面（见图）22三、二元函数的极限 则称则称 A 为函数为函数 z=f(x,y)当当 时的极时的极限限，设函数设函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义(点点 P0 可以除外可以除外)，如果当如果当点点 P(x,y)无限地接近于点无限地接近于点 P0(x0,y0)时，时，记为 定义定义2 2对应对应的函数值的函数值z 趋近于一个确定的常数趋近于一个确定的常数A，2324 若当点趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在.函
8、数仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同不同.如果它们都存在,则三者相等.与累次极限【例例2 2】当当(x,y)沿沿 y 轴趋向于原点轴趋向于原点，解解考察函数考察函数25教材教材P216P216但是，当点但是，当点(x,y)沿着直线沿着直线 y=k x(k 0)趋向于点趋向于点(0,0)时时，即当即当 y=k x，而当点而当点(x,y)沿沿 y 轴趋向于原点，轴趋向于原点，有有随着随着 k 的取值不同的取值不同，时，时，26 求 解 令u=x2+y2，因为当x0,y0时u0，所以本例表明，二元函数的极限问题有时可以转化为一元函数的极限问题来解【典型例题典型例题1 1】27 求 解
9、 当x0,y0时，x2+y2为无穷小，而 为有界变量，故 【典型例题典型例题2 2】28 求【典型例题典型例题3 3】分分 析析(x,y)(0,0)时，分子、分母的极限均为0，可将分母有理化，消去零因子29 解30三、二元函数的连续性 设函数设函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)的的某一邻域内有定义，某一邻域内有定义，且等且等于它在点于它在点 P0 处的函数值，处的函数值，如果当点如果当点 P(x,y)趋向于点趋向于点P0(x0,y0)时，时，函数函数 z=f(x,y)的的极限存在，极限存在，定义定义 3则称函数则称函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)处连续处连续.
10、31 若函数若函数 f(x,y)在开区域（或闭区域）在开区域（或闭区域）D内的每内的每一点连续，称函数一点连续，称函数 f(x,y)在在D内连续，或者称内连续，或者称f(x,y)是是D内的连续函数内的连续函数 若函数若函数f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)处不连续，则称处不连续，则称P P0 0为函数为函数f(x,y)的间断点的间断点32【例例5】函数在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.教材教材P217P2173334教材教材P218P21835教材教材P218P218习题习题10-110-11 1、2
11、 2、第二节 偏导数一、一阶偏导数一、一阶偏导数二、二、高阶偏导数高阶偏导数36一、一阶偏导数1、一阶、一阶 偏导数的概念偏导数的概念 定义定义在点在点存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数的偏导数，记为的偏导数，记为的某邻域内的某邻域内极限极限设函数设函数注意注意:37 同样可定义对同样可定义对 y y 的偏导数为的偏导数为若函数若函数 在域在域 内每一点内每一点 处对处对 x则该偏导数称为则该偏导数称为偏导函数偏导函数,也简称为也简称为偏导数偏导数 ,记为记为或或 y 偏导数存在偏导数存在 ,38偏导数的记号 是一个整体的记号，不能看作分子分母之商.注注 意意39例如例如,三元函数 u
12、=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)40是曲线是曲线在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线对对 y 轴的轴的2、一阶、一阶 偏导数的几何意义偏导数的几何意义41函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!4243例例1.教材教材P221P221例例2.例例3.求的偏导数。解解:44教材教材P221P221二、高阶偏导数 设设 z=f(x,y)在域在域 D 内存在
13、连续的偏导数内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数的二阶偏导数.按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列四个二阶有下列四个二阶偏导数偏导数:45其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。类似可以定义其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。类似可以定义更高阶的偏导数更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数数例如，例如，关于关于 的三阶偏导数为的三阶偏导数为 关于关于 的的 阶偏导数阶偏导数,再关于再关于 的一阶偏导的一阶偏导数为数为4647例例4.教材教材P222P222则定理
14、定理.例如例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等(证明略)4849教材教材P222P222习题习题10-210-21 1、2 2、3 3、5 5、第三节 全微分及应用一、全微分一、全微分的定义的定义二、全微分的应用二、全微分的应用50 定义定义 如果函数如果函数 z=f (x,y)在定义域在定义域 D 的内点的内点P P(x,y)可表示成可表示成其中其中 A,B 不依赖于不依赖于
15、x,y,仅与仅与 x,y 有关，有关，则称函数则称函数称为函数称为函数在点在点(x,y)的的全微分全微分,记作记作若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,f(x,y)在点在点P P(x,y)可微，可微，处的处的全增量全增量则称此函数在则称此函数在D D 内可微内可微.一、全微分的定义51(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即52定理定理1 1(必要条件)若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微可微,则该函数在该点连续且偏导数必存在,且有注意注意:定理1 的逆定
16、理不成立.偏导数存在函数 不一定可微 !即:5354定理定理2(充分条件)若函数的偏导数则函数在该点可微.三元函数的全微分为 二元函数的全微分为例例2.计算函数在点(1,2)处的全微分.解解:例例3.计算函数的全微分.解解:教材教材P224P22455可知当二二、全微分的全微分的应用应用（近似计算）（近似计算）由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)56例例5.5.计算的近似值.解解:设,则取则教材教材P225P225习题习题10-310-31 1、2 2、5 5、57第四节 多元复合函数与隐函数的求导法则一、多元一、多元 复合函数的求导法则复合函数的求
17、导法则585960例例1.设设解解:教材教材P227P2276162教材教材P227P22763教材教材P228P22864教材教材P228P22865教材教材P229P22966教材教材P229P229解解:典型例题典型例题1.设 67为简便起见,引入记号典型例题典型例题2.设 f 具有二阶连续偏导数,求解解:令则68二、二、隐函数的求导法则隐函数的求导法则 两端两端对对 x 求导，求导，设方程设方程 F(x,y)=0 确定了函数确定了函数 y=y(x)，得得则则这就是一元这就是一元 隐函数的求导公式隐函数的求导公式.69 两边分别对两边分别对 x，y 求求导，导，设方程设方程 F(x,y,
18、z)=0 确定了隐函数确定了隐函数 z=z(x,y),若若 Fx，Fy，Fz 连续，连续，得得这就是二元隐函数的求导公式这就是二元隐函数的求导公式.所以所以7071教材教材P230P230例例9.设解法解法1 利用隐函数求导再对 x 求导教材教材P230P23072解法解法2 利用公式设则教材教材P230P2307374教材教材P230P230习题习题10-410-41 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、第五节 偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线75一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程设空
19、间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.76考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为77曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.78例例1.求圆柱螺旋线 对应点P处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即解解:由于对应的切向量为在,故教材教材P233P23380教材教材P233P233二、曲面的切平面与法线设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在M处的切向量处
20、的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线81令令则则切平面方程为切平面方程为82法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.83特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令84例例3.求旋转抛物面面在P点(2,-3,6)处的切平面及法线方程.解解:所以球面在点(2,-3,6)处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量令教材教材P234P23486教材教材P234P234
21、87教材教材P235P235习题习题10-510-51 1、2 2、3 3、4 4、第六节 二元函数的极值与最值一、二元函数的极值一、二元函数的极值二、二元函数的最值二、二元函数的最值三、条件极值三、条件极值88一、二元函数的极值 设函数设函数),(yxfz=在点在点),(00yx的某邻域的某邻域内有定义，对于该邻域内异于内有定义，对于该邻域内异于 的点的点),(yx若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf 则称函数在则称函数在),(00yx有有极极小值小值；极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点),(00yx899
22、0例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.马鞍面马鞍面定理定理1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz=在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零：0),(00=yxfx，0),(00=yxfy.91 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？例如例如,点点)0,0(是函数是函数xyz=的驻
23、点，的驻点，但不是极值点但不是极值点.又又 0),(00=yxfx,0),(00=yxfy，令令 Ayxfxx=),(00，Byxfxy=),(00，Cyxfyy=),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02-BAC时具有极值，时具有极值，当当0 A时有极小值；时有极小值；（2)2)02-BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）时可能有极值时可能有极值,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论92定理定理2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz=在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连
24、续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，02=-BAC求函数求函数),(yxfz=极值的一般步骤：极值的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步第三步 定出定出的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.932-BAC解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点:(0,0),(1,1).第二步第二步 判别判别.在点(0,0)处为极小值.解方程组求二阶偏导数在点(1,1)处教材教材P236P236例例.讨论函数及是否取得极值.解解:显
25、然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此为极小值.正正负负0在点(0,0)并且在(0,0)都有 可能为典型典型例题选讲例题选讲二、二元函数的最值 求最值的一般方法：求最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值.96最最值应用
26、问题值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的极值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,为极小 值为最小 值(大大)(大大)依据解解:设水箱长,宽分别为 x,y,则高z为则水箱所用材料的表面积为：令得驻点根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.教材教材P236P236三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限
27、制例如,转化方法2，条件极值的拉格朗日乘数法：设二元函数设二元函数 z=f(x,y)和和 (x,y)在所考虑的区域在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，内有连续的一阶偏导数，且且 不同不同时为零，时为零，可用下面步骤来求：可用下面步骤来求：(1)构造辅助函数构造辅助函数称为称为拉格朗日函数拉格朗日函数，l l 称为拉格朗日乘数；称为拉格朗日乘数；(2)解联立方程组解联立方程组 求函数求函数 在约束条件在约束条件 下下的极值，的极值，100 在实际问题中，往往就是在实际问题中，往往就是所求的极值点所求的极值点.即即得可能的极值点得可能的极值点(x,y)，此法称拉格朗日乘数法此法称拉格朗日乘数法.101102教材教材P238P238103教材教材P238P238习题习题10-610-61 1、2 2、3 3、4 4、教材教材P239P239复习题十复习题十1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、7 7、8 8、1010、1111、
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