一次函数综合应用.doc

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专题：一次函数综合应用
考点：
1. 求直线与x轴、y轴交点坐标；
2. 求直线解析式；
3. 求两直线交点坐标；
4. 比较两直线y值的大小关系；
5. 求直线与坐标轴围成的图形面积。

练习：
1．如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=﹣2x+6．
（1）求点C的坐标，
（2）根据图象回答，当x取何值时y1＞y2；当x取何值时y1＜y2？
（3）求△COB的面积。

2．如图，直线PA是一次函数y1=x+1的图象，直线PB是一次函数y2=﹣2x+2的图象．
（1）求A、B、P三点的坐标；
（2）根据图象回答，当x取何值时y1＞y2；当x取何值时y1＜y2？
（3）求四边形PQOB的面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1=﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y2=x交于点A．
（1）点A的坐标是　 　；点B的坐标是　 　；点C的坐标是　 　；
（2）根据图象回答，当x取何值时y1＞y2；当x取何值时y1＜y2？

5．在如图所示的平面直角坐标系中，直线AB：y=k1x+b1与直线AD：y=k2x+b2相交于点A（1，3），且点B坐标为（0，2），直线AB交x轴负半轴于点C，直线AD交x轴正半轴于点D．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）根据图象回答，不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集；
（3）若△ACD的面积为9，求直线AD的解析式；
*（4）若点M为x轴一动点，当点M在什么位置时，使AM+BM的值最小？求出此时点M的坐标．

6．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），
（1）点A的坐标是　 　，n=　 　，k=　 　，b=　 　；
（2）x取何值时，函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值；
（3）求四边形AOCD的面积．

2017年12月04日数学的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一．解答题（共7小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：y=﹣x+6；

（2）在y=﹣x+6中，令x=0，解得：y=6，
S△OAC=×6×4=12；

（3）设OA的解析式是y=mx，则4m=2，
解得：m=，
则直线的解析式是：y=x，
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，
∴当M的横坐标是×4=1，
在y=x中，当x=1时，y=，则M的坐标是（1，）；
在y=﹣x+6中，x=1则y=5，则M的坐标是（1，5）．
则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）．
当M的横坐标是：﹣1，
在y=﹣x+6中，当x=﹣1时，y=7，则M的坐标是（﹣1，7）；
综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）或M3（﹣1，7）．

2．在如图所示的平面直角坐标系中，直线AB：y=k1x+b1与直线AD：y=k2x+b2相交于点A（1，3），且点B坐标为（0，2），直线AB交x轴负半轴于点C，直线AD交x轴正半轴于点D．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）根据图象直接回答，不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集；
（3）若△ACD的面积为9，求直线AD的函数解析式；
（4）若点M为x轴一动点，当点M在什么位置时，使AM+BM的值最小？求出此时点M的坐标．

【解答】解：（1）把A、B两点代入，
得，
解得：，
故直线AB的函数解析式为y=x+2；

（2）由图象可得不等式的解集是：x＜1；

（3）因为，
得CD=6，所以D点坐标（4，0），有
，
解得，
故直线AD的函数解析式为y=﹣x+4；

（4）作点B关于x轴的对称点E（0，﹣2），连接AE交x轴于点M，
设直线AE解析式为y=k3x+b3，
则，
解得：，
即y=5x﹣2，当y=0时，x=，
故点M的坐标为．

3．如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1＞y2？
（2）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式．
（3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积？

【解答】解：（1）依题意得
解方程组，
得，
∴C点坐标为（2，2）；
根据图示知，当x＞2时，y1＞y2；

（2）如图，过C作CD⊥x轴于点D，
则D（2，0），
∵直线y2=﹣2x+6与x轴交于B点，
∴B（3，0），
①当0＜x≤2，此时直线m左侧部分是△P′Q′O，
∵P′（x，0），
∴OP′=x，
而Q′在直线y1=x上，
∴P′Q′=x，
∴s=x2（0＜x≤2）；

②当2＜x＜3，此时直线m左侧部分是四边形OPQC，
∵P（x，0），
∴OP=x，
∴PB=3﹣x，
而Q在直线y2=﹣2x+6上，
∴PQ=﹣2x+6，
∴S=S△BOC﹣S△PBQ=
=﹣x2+6x﹣6（2＜x＜3）；

（3）直线m平分△BOC的面积，
则点P只能在线段OD，即0＜x＜2．
又∵△COB的面积等于3，
故x2=3×，
解之得x=．
∴当x=时，直线m平分△COB的面积．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y=x交于点A．
（1）点A的坐标是　（6，3）　；点B的坐标是　（12，0）　；点C的坐标是　（0，6）　；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）直线l1：y=﹣x+6，
当x=0时，y=6；当y=0时，x=12，
∴B（12，0），C（0，6），
解方程组：得：，
∴A（6，3）；
故答案为：（6，3）；（12，0）；（0，6）；
（2）设D（x，x），
∵△COD的面积为12，
∴×6×x=12，
解得：x=4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y=kx+b，
把C（0，6），D（4，2）代入得：，
解得：，
则直线CD解析式为y=﹣x+6；
（3）存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，

如图所示，分三种情况考虑：
（i）当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90°，得到四边形OP1Q1C为正方形，此时Q1P1=OP1=OC=6，即Q1（6，6）；
（ii）当四边形OP2CQ2为菱形时，由C坐标为（0，6），得到Q2纵坐标为3，
把y=3代入直线OQ2解析式y=﹣x中，得：x=﹣3，此时Q2（﹣3，3）；
（iii）当四边形OQ3P3C为菱形时，则有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，此时Q3（3，﹣3），
综上，点Q的坐标是（6，6）或（﹣3，3）或（3，﹣3）．

6．如图，直线PA是一次函数y=x+1的图象，直线PB是一次函数y=﹣2x+2的图象．
（1）求A、B、P三点的坐标；
（2）求四边形PQOB的面积．

【解答】解：（1）∵一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，∴A（﹣1，0），
一次函数y=﹣2x+2的图象与x轴交于点B，∴B（1，0），
由，解得，∴P（，）．
（2）设直线PA与y轴交于点Q，则Q（0，1），直线PB与y轴交于点M，则M（0，2），
∴四边形PQOB的面积=S△BOM﹣S△QPM=×1×2﹣×1×=．

7．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n），
（1）点A的坐标是　（0，1）　，n=　2　，k=　3　，b=　﹣1　；
（2）x取何值时，函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值；
（3）求四边形AOCD的面积；
（4）是否存在y轴上的点P，使得以点P，B，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵函数y=x+1的图象与y轴交于点A，
∴令x=0时，y=0+1，解得y=1，
∴A（0，1），
∵y=x+1的图象过点D，且点D的坐标为（1，n），
∴n=1+1=2，
∴D（1，2），
∵一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1）与D（1，2），
∴解得，
∴一次函数的表达式为y=3x﹣1
故答案为：（0，1），2，3，﹣1．
（2）由一次函数图象可得当x＞1时，函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值；
（3）∵D（1，2），
∴直线BD的解析式为y=3x﹣1，
∴A（0，1），C（，0）
∴S四边形AOCD=S△AOD+S△COD=×1×1+××2=
（4）①当DP=DB时，设P（0，y），
∵B（0，﹣1），D（1，2），
∴DP2=12+（y﹣2）2=DB2=12+（2+1）2，
∴P（0，5）；
②当BP=DB时，DB=，∴P（0，﹣1﹣）或P（0，﹣1）；
③当PB=PD时，设P（0，a），则（a+1）2=1+（2﹣a）2，解得a=，
∴P（0，）．
综上所述点P的坐标为（0，5），（0，﹣1﹣），P（0，﹣1）或（0，）．

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