4-2--高阶线性方程解一般理论、基本解组.doc

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4.1 高阶线性方程一般理论(General Theory of Higher order Linear ODE)

[教学内容] 1. 介绍高阶线性微分方程一般形式; 2.介绍高阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理; 3. 介绍线性微分方程解的叠加原理（Superposition Theory);4. 介绍高阶线性方程解线性相关和线性无关性概念和判定；5.介绍高阶线性方程通解结构定理；6. 介绍刘维尔公式及其应用.
[教学重难点] 重点是知道并会运用线性方程的叠加原理、高阶线性方程的通解结构； 难点是如何判定线性方程解线性无关性
[教学方法] 预习1、2；讲授3
[考核目标]
认识高阶线性微分方程一般形式; 2. 知道线性方程解线性无关的概念; 3. 会判定函数和线性方程解的线性无关性;4. 知道齐次线性方程通解结构和非齐次线性方程通解结构. 5.知道刘维尔公式及其应用.

1. 认识n阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程.
称为n阶齐次线性微分方程;
称为n阶非齐次线性微分方程，其中f(t)为非零函数.
线性方程柯西问题解的存在唯一性定理：考察上述n阶非齐次线性微分方程，若都是[a, b]上连续函数，则对和任意n个实数，方程(**)存在满足初始条件的唯一解.
声明：以下总假设方程（*）和（**）满足柯西问题解的存在唯一性定理条件.

2. 齐次线性方程(*)解的叠加原理、函数的线性无关性、Wronsky行列式、方程（*）的通解结构 (证明细节参见教材)
（1） 叠加原理：设为齐次线性微分方程（*）的解函数，则都是齐次线性微分方程(*)的解.
（2） 设都是定义在[a, b]上函数，若存在不全为零的常数使得，则称在区间[a, b]上线性相关，否则则称在区间[a, b]上线性无关.
（3） 设都是定义在[a, b]上具有k-1阶连续导函数的函数，则称如下行列式为这些函数Wronsky行列式.
（4） 函数组线性相关的必要条件：设都是定义在[a, b]上具有k-1阶连续导函数的函数，若它们线性相关，则它们的Wronsky行列式恒为零.
（5） 方程（*）解函数线性无关充要条件：设都是定义在[a, b]上方程（*）的解函数，则它们线性无关它们的Wronsky行列式在[a, b]上处处不为零.
（6） 若n个函数都是方程（*）的解函数且线性无关，则称其构成了方程（*）的一个基本解组.
（7） 齐次线性方程（*）的通解结构定理：设构成了方程（*）的一个基本解组，则方程（*）的任一解可表为，其中常数由初始条件确定，.
（8） 由齐次线性方程的叠加原理和通解结构定理知，方程（*）的所有解函数构成了一个n维的线性空间.

3. 非齐次线性方程的通解结构定理
考察非齐次线性方程（**），设为方程（*）的一个特解，为方程（*）的一个基本解组，则方程（**）的任一解可表为，其中由初始条件确定.

4. 例题讲解
例40. 证明函数组在实直线R上线性无关，但它们的Wronsky行列式恒等于0，这是否和教材P124定理4矛盾？如果不矛盾，它该例说明了什么？
解：当时，.
当时，.
这说明Wronsky行列式恒等于0. 考察方程.
当时，上述方程为，得到；
当时，上述方程为，得到.
这说明函数组在R上线性无关.
这是否和教材P124定理4并不矛盾！原因是定理4中函数组为齐次线性方程的解函数.

例41. 验证为方程的基本解组，并求出满足初始条件的特解，其中.
解：直接代入验证知，，因此，为方程的两个解函数. 下面验证它们是线性无关的. ，因此，由解函数线性无关判定定理知，是线性无关的. 因此，证为方程的基本解组. 方程的通解为，为任意常数.
由初始条件知，，，解得
，因此所求特解为.

例42. （1）考察微分方程. 若为方程的任意两个解，则它们Wronsky行列式（常数）.
（2） Liouville公式：考察二阶齐次线性方程，其中 . 假设为方程的一个非零解，则(a)函数为方程的解充要条件是,其中. (b) 方程的通解为，其中为任意常数.
（3） 已知是微分方程一个特解，试求该方程的通解，并确定函数？
证明：（1）记，下证.
由行列式定义的函数的导数公式（参见《数学分析》下P124 习题8），我们得到
. 得证.
（2） 仿照（1）可证（a）

结论成立.
（b）求解方程得到，满足的解.
此时相应的和是线性无关的，它们构成了原齐次线性方程的基本解组，因为它们Wronsky行列式不为零.
改写为，由再次改写上述方程为
，这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到，
，特别地，取C=0得到解函数. 因此，由齐次线性方程通解结构定理知，结论成立.
（3） 记，由上述公式得到，. 因此，原方程一个基本解组为，于是所求通解为，为任意常数.
将代入原方程得到，，得到.

作业41. 证明非齐次线性微分方程的叠加原理：设分别为非齐次线性微分方程
和的解.
证明：为方程的解.

作业42. (1) 验证为方程的基本解组.
(2) 验证为方程的基本解组.
作业43. 已知为方程的一个非零解，运用Liouville公式求出方程一个基本解组，并求出满足初值条件的特解.

思考44. （1）考察二阶齐次线性方程，其中 . 设是方程在区间(a, b)上一个非零解（即在区间(a, b)上不恒等于0），试证解函数在区间(a, b)上只有简单零点（称满足且的零点为简单零点）. 并由此进一步证明，在任意有限闭区间上至多有有限个零点，从而每一个零点都是孤立的.
（2）考察二阶齐次线性方程，其中 . 若为方程的一个基本解组，则方程的系数函数由这个基本解组唯一确定且没有公共零点.

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